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江苏省徐州市棠张中学2013届高三11月周练理科数学试题


棠张中学周练(2012. 11.3)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题 纸的指定位置上. 1.已知集合 A ? ?1,3? , B ? ?1,2, m? ,若 A ? B ,则实数 m = 2.若向量 a ? (2,3), b ? ( x, ?6) ,且 a ? b ,则实数 x = ▲ ▲ . ▲ . ▲ .

3.在 ?ABC 中,已知 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3: 4 ,则 cos C ?

4.已知 p : x2 ? 4x ? 5 ? 0, q : x2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则 m 的最大值为 5. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a5 ? 5 , S5 ? 15 ,则数列 {

1 } 的前 100 项和为_ ▲ a n a n ?1

6. 已知向量 a , b 的夹角为 45°,且 | a |? 1, | 2a ? b |? 10 ,则 | b | =__________.

∥ 7.已知四边形 ABCD 为梯形, AB CD , l 为空间一直线,则“ l 垂直于两腰 AD, BC ”是“ l 垂
直于两底 AB, DC ”的 ▲ 条件(填写“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分也不必要”中的一个).

?? ? 1 ? 2? ? ? 2? ? = 8.若 sin ? ? ? ? ? ,则 cos ? ?6 ? 3 ? 3 ?



9.设向量 a ? (2cos ? , 2sin ? ), b ? (2cos ? , 2sin ? ), ,且直线 2 x cos ? ? 2 y sin ? ? 1 ? 0 与圆 ( x ? cos ? )2 ? ( y ? sin ? )2 ? 1 相 切,则向量 a 与 b 的夹角为 10.已知 f ( x) ? a ?
x

?

?

?

?



. .

1 是定义在 (??, ?1] ? [1, ??) 上的奇函数, 则 f ( x ) 的值域为 ▲ 2 ?1

1 1 . 记 等 比 数 列 则 m? ▲ .

?an ?

的 前

n 项 积 为 Tn (n ? N * ) , 已 知 am?1am?1 ? 2am ? 0 , 且 T2m?1 ? 128 ,

12. 已知曲线 y ? ? a ? 3? x3 ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? 1 在 ?1, 2? 上 单调递增,则 a 的范围为 ▲ .

1 1 ? x ? , x ? [0, ) ? ? 2 2 13. 已知函数 f ( x) ? ? 若存在 x1 , x2 ,当 0 ? x1 ? x2 ? 2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 f ( x2 ) 的取值范围是 1 x ?1 ?2 , x ? [ , 2) ? ? 2



??? ? ??? ? ???? 2 2 2 14. 在平面直角坐标系 xOy 中, A、B、 是圆 x +y =1 上相异三点, 设 C 若存在正实数 ?,? ,使得 OC = ?OA ? ?OB ,则 ? 2 ? ? ? ? 3?
的取值范围是 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分 14 分)
2 已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x ?

1 ( x ? R) . 2

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 在区间 [0,

?
4

] 上的函数值的取值范围.

16.已知函数 f ( x) ? m ? n ,其中 m ? (sin ?x ? cos?x, 3 cos?x) , n ? (cos?x ? sin ?x,

2 sin ?x) ,其中 ? > 0 ,若 f (x) 相邻两对称轴的距离大于等于
⑴求 ? 的取值范围.

? . 2

⑵在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边, a ? 17.(本小题满分 14 分)

3 , b ? c ? 3 ,当 ? 最大时, f ( A) ? 1,求 ?ABC 的面积.

某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成:①原材料费每件 50 元;②职工工资支出 7500+20x 元;③电力与机器保养等 费用为 x 2 ? 30 x ? 600 元.其中 x 是该厂生产这种产品的总件数。 (1)把每件产品的成本费 P ? x ? (元)表示成产品件数 x 的函数,并求每件产品的最低成本费; (2)如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 170 件且能全部销售,根据市场调查,每件产品的销售价为 Q ? x ? (元) ,且

Q( x) ? 1240 ?

1 2 (总利润=总销售额-总的成本) x ,试问生产多少件产品,总利润最高?并求出最高总利润。 30

18.(本小题满分 16 分) 设向量 a ? ( x,2),b ? ( x ? n,2x ? 1) (n ? N ? ) ,函数 y ? a ? b 在 [0,1] 上的最大值与最小值的和为 an , 又数列 {bn } 满足: nb1 ? (n ? 1)b2 ? ? ? 2bn?1 ? bn ? ( ⑴求 an 、 bn 的表达式. ⑵ Cn ? ?an bn ,问数列 {cn } 中是否存在正整数 k ,使得对于任意的正整数 n ,都有 C n ≤ C k 成立,若存在,求出 k 的值,若不 存在,说明理由.

9 n ?1 9 9 ) ? ( ) n?2 ? ? ? ? 1. 10 10 10

19.对于函数 f ( x ) ,若存在实数对( a, b ),使得等式 f (a ? x) ? f (a ? x) ? b 对定义域中的每一个 x 都成立,则称函数 f ( x ) 是 “( a, b )型函数”. (1)判断函数 f ( x) ? 4 是否为“( a, b )型函数”,并说明理由; (2)已知函数 g ( x) 是“(1,4)型函数”, 当 x ? [0, 2] 时,都有 1 ? g ( x) ? 3 成立,且当 x ? [0,1]
x

20.(本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? , ?bn ? 满足: a1 ? 3 ,当 n ? 2 时, an?1 ? an ? 4n ;对于任意的正整数 n

b1 ? 2b2 ? ?? 2n?1bn ? nan .设 ?bn ? 的前 n 项和为 S n .
(Ⅰ)计算 a 2 , a 3 ,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求满足 13 ? S n ? 14 的 n 的集合.

参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.3; 2..9; 3.

1 ; 4

4.2; 5.

100 ; 101

6. 3 2 ;

7.充分不必要; 8. ?

7 ? ;9. 9 3

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.

17



f ( x) ? m ? n ? cos2 ?x ? sin 2 ?x ? 3 sin 2?x ? cos2?x ? 3 sin 2?x
? 2 sin( 2?x ? T 1 2? ? ? ? ? ? ≥ ? 0 ? ? ≤1 6 2 2 2? 2? 2 ? ? 1 ⑵ ?max ? 1, f ( A) ? 2 sin( 2 A ? ) ? 1 ? sin( 2 A ? ) ? , 6 6 2 ? ? 13? ? 5? ? 0 ? A ? ? ,故 ? 2 A ? ? ? A? ,∴ 2 A ? ? 6 b 6 6 6 3 1 a 2 ? 3 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? ? (b ? c) 2 ? 3bc ? 9 ? 3bc ? bc ? 2 2 ),
∴ S ?ABC ?

?

1 1 3 3 . bc sin A ? ? 2 ? ? 2 2 2 2
7500 ? 20 x x 2 ? 30 x ? 600 8100 ? ? ? x ? 40 , x ? N * ???3 分 x x x

.(1) P ? x ? ? 50 ?

由基本不等式得: P ? x ? ≥ 2 当且仅当 分 (2)设总利润 y ? f ? x ? 元,则

8100 ? x ? 40 ? 220 ?????????5 分 x

8100 8100 ? x ,即 x ? 90 时等号成立,所以 P ? x ? ? ? x ? 40 , x ? N * ,每件产品的最低成本费为 220 元。? ??6 x x

f ( x) ? x[Q( x) ? P( x)] ? 1240x ? ??

1 3 x ? 8100 ? x2 ? 40x 30 x ? N ?且x ≤170 ????????9 分

1 3 2 x ? x ? 1200x ? 8100, 30

18





y ? a ? b ? x 2 ? (n ? 4) x ? 2 ,对称轴为 x ? ?
∴ an ? n ? 1

n?4 ? 0 ,∴ y 在[0,1]上递增, x ? 0 时, y ? ?2 , x ? 1 时, y ? n ? 3 , 2

9 n ?1 9 9 ) ? ( ) n?2 ? ? ? ? 1 10 10 10 9 n?2 9 9 ? ( ) n ?3 ? ? ? ? 1 令 n ? n ? 1 ,则 (n ? 1)b1 ? (n ? 2)b2 ? ? ? bn ?1 ? ( ) 10 10 10 9 n ?1 ? Sn 相减,得 b1 ? b2 ? ? ? bn?1 ? bn ? ( ) 10
∵ nb1 ? (n ? 1)b2 ? ? ? 2bn?1 ? bn ? ( 当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 1 , 当 n ? 2 时, bn ? S n ? S n ?1 ? (

9 n ?1 9 1 9 ) ? ( ) n?2 ? ? ? ( ) n?2 10 10 10 10

n ?1 ?1 ? ∴ bn ? ? 1 9 n?2 ?? 10 ? (10) ?

n?2

n ?1 ?? 2 ? ⑵ C n ? ?a n bn ? ? n ? 1 9 n ? 2 ? 10 ? (10) ?
C 2 ? C1 ?

n?2

, 设 存 在 正 整 数 k , 使 得 对 于 任 意 的 正 整 数 n , 都 有 Cn ? Ck 成 立 , ∵

3 23 ?2? ? 0 ,∴ C2 ? C1 , 10 10 9 n?2 8 ? n ? 当 n ? 2 时, C n ?1 ? C n ? ( ) ,∴当 n ? 8 时, Cn?1 ? Cn 10 100
当 n ? 8 时, Cn?1 ? Cn ,当 n ? 8 时, Cn?1 ? Cn ∴ C1 ? C2 ? ? ? C8 ? C9 ? C10 ? ? ,∴存在正整数 k ? 8 或 9,使得对于任意的正整数 n ,都有 Cn ? Ck 成立.

????????16 分 19.解: (1)函数 f ( x) ? 4 是“( a, b )型函数”?????????2 分
x
a 因为由 f (a ? x) ? f (a ? x) ? b ,得 16 ? b ,所以存在这样的实数对,如 a ? 1, b ? 16 ??????6 分

4 ,其中 2 ? x ?[0,1] , g (2 ? x) m 2 2 而 x ? [0,1] 时, g ( x) ? x ? m(1 ? x) ? 1 ? x ? mx ? m ? 1 ? 0 ,且其对称轴方程为 x ? , 2 m ? 1 , 即 m ? 2 时 , g ( x) 在 [0,1] 上 的 值 域 为 [ g (1), g (0)] , 即 [2, m ? 1] , 则 g ( x) 在 [0, 2] 上 的 值 域 为 ① 当 2 ?m ? 1 ? 3 4 4 ? [2, m ? 1] ? [ , 2] ? [ , m ? 1] ,由题意得 ? 4 ,此时无解?????????11 分 m ?1 m ?1 ?1 ? m ?1 ?
(2) 由题意得, g (1 ? x) g (1 ? x) ? 4 ,所以当 x ? [1, 2] 时, g ( x) ?

②当

m2 1 m m ? ? 1 ,即 1 ? m ? 2 时, g ( x) 的值域为 [ g ( ), g (0)] ,即 [m ? 1 ? , m ? 1] ,所以则 g ( x) 在 [0, 2] 上的值域为 2 2 2 4 4 ? ? m2 ?3 m ?1? ?1 ? ? m2 4 4 m2 ? ? 4 且 ? , 解 得 [m ? 1 ? , m ? 1] ? [ , ] , 则 由 题 意 得 ? m ?1? m2 4 4 m ?1 4 ? ? m ?1? ?1 ? m ?1 ? m ?1 ? 3 4 ? ? 1 ? m ? 2 ????????13 分

20. (Ⅰ)在 an?1 ? an ? 4n 中,取 n ? 2 ,得 a1 ? a2 ? 8 ,又, a1 ? 3 ,故 a 2 ? 5. 同样取 n ? 3 可得 a3 ? 7. ???????? 2 分 由 an?1 ? an ? 4n 及 an?1 ? an ? 4(n ? 1) 两式相减可得: an?1 ? an?1 ? 4 ,所以数列 ?an ? 的奇数项和偶数项各自成等差数列, 公差为 4 ,而 a2 ? a1 ? 2 ,故 ?an ? 是公差为 2 的等差数列,? an ? 2n ? 1. ???????? 5 分 (Ⅱ)在 b1 ? 2b2 +?? 2n?1bn ? nan 中令 n ? 1 得 b1 ? a1 ? 3. ???????? 6 分 又 b1 ? 2b2 ? L ? 2n bn?1 ? (n ? 1)an?1 ,与 b1 ? 2b2 ? L ? 2n?1bn ? nan 两式相减可得:

2 n bn?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan ? (n ? 1)(2n ? 3) ? n(2n ? 1) ? 4n ? 3 , bn ?1 ?

4n ? 3 4n ? 1 ,即当 n ? 2 时, bn ? n ?1 n 2 2


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