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山东省冠县武训高级中学高考数学 4.6 正弦定理和余弦定理复习题库


山东省冠县武训高级中学高考数学复习题库: 4.6 正弦定理和余弦定 理
一、选择题 1.在△ABC 中,C=60°,AB= 3,BC= 2,那么 A 等于( A.135° B.1 05° C.45° ). D.75°

解析 由正弦定理知 <AB,∴A=45°. 答案 C

AB 2 3 2 = ,即 = ,所以 sin A= ,

又由题知,BC sin A sin C sin A sin 60° 2

BC

2.已知 a,b,c 是△ABC 三边之长,若满足等式(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角 C 的大小 为( ). B.90° C.120°
2 2

A.60°

D.150°

解析 由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得(a+b) -c =ab , ∴c =a +b +ab=a +b -2abcos C, 1 ∴cos C=- ,∴C=120°. 2 答案 C 3.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 a=λ ,b= 3λ (λ >0),A=45°, 则满足此条件的三角形个数是( A.0 C.2 解析:直接根据正弦定理可得 ) B.1 D.无数个 = ,可得 sin B= sin A sin B
2 2 2 2 2

a

b

bsin A 3λ sin 45° 6 = = >1, a λ 2

没有意义,故满 足条件的三角形的个数为 0. 答案:A 4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 acos A=bsin B,则 sin Acos A +cos B 等于( 1 A.- 2
2

). 1 B. 2 C.-1 D.1
2 2

解析 根据正弦定理,由 acos A=bsin B,得 sin Acos A=sin B,∴sin Acos A+ cos B =sin B+cos B=1. 答案 D 5. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,若 a ? b ? 2c ,则 cosC 的 最小
2 2 2
2 2

1

值为( A.

) B.

3 2

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2

解析 cos C ? 答案 C

a 2 ? b 2 ? c 2 2c 2 ? c 2 1 ? 2 ? ,故选 C. 2ab 2 a ? b2

6.在△ABC 中,sin A≤sin B+sin C-sin Bsin C,则 A 的取值范围是(

2

2

2

).

? π? A.?0, ? 6? ?

?π ? B.? ,π ? ?6 ?
2 2 2

? π? C.?0, ? 3? ?

?π ? D.? ,π ? ?3 ?
2 2 2

解析 由已知及正弦定理有 a ≤b +c -bc,而由余弦定理可知 a =b +c -2bccos A,于 1 2 2 2 2 是可得 b +c -2bccos A≤b +c -bc,可得 cos A≥ ,注意到在△ABC 中,0<A<π ,故 A 2

? π? ∈?0, ?. 3? ?
答案 C 7.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b) -c =4,且 C=60°,则 ab 的值 为( 4 A. 3 解析 ). B.8-4 3
2 2 2 2

C.1

2 D. 3 4 ,两式相减得 ab= ,选 A. 3

?? a+b? -c =4 ? 依题意得? 2 2 2 ? ?a +b -c =2abcos 60°=ab

答案 A 二、填空题 8.如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC=2 3,点 D 在 BC 边上,∠ADC=45°,则 AD 的长度等 于________.

解析 在△ABC 中,∵AB=AC=2,BC=2 3,∴cos C= 正弦定理得, = , sin C sin∠ADC 答案 2

3 1 ,∴sin C= ;在△ADC 中,由 2 2

AD

AC

∴AD=

2 1 × = 2. sin 45° 2

9. 在锐角△ABC 中, , , 分别为角 A, , 所 对的边, a b c B C 且 3a=2csin A, C=________. 角 解析:根据正弦定理, = , sin A sin C
2

a

c

由 3a=2csin A,得 = , sin A 3 2 ∴sin C= π 答案: 3 10.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acosA,则 sinA∶sinB∶sinC 为______. 3 π ,而角 C 是锐角.∴角 C= . 2 3

a

c

答案 6∶5∶4 11.若 AB=2,AC= 2BC,则 S△ABC 的最大值________. 解析 (数形结合法)因为 AB=2(定长),可以令 AB 所在的直线为 x 轴,其中垂线为 y 轴建 立直角坐标系,则 A(-1,0),B(1,0),设 C(x,y),由 AC= 2BC, 得 ?

x+1?

2

+y = 2 ?

2

x-1?

2

+y ,化简得(x-3) +y =8,

2

2

2

即 C 在以(3,0)为圆心,2 2为半径的圆上运动, 1 所以 S△ABC= ·|AB|·|yC|=|yC|≤2 2,故答案为 2 2. 2 答案 2 2

b a tan C tan C 12.在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 + =6cos C,则 + a b tan A tan B
的值是________. 1 4 2 3 2 2 2 解析 法一 取 a=b=1, cos C= , 则 由余弦定理得 c =a +b -2abcos C= , c= ∴ , 3 3 3 2 2 在如图所示的等腰三角形 ABC 中,可得 t an A=tan B= 2,又 sin C= ,tan C=2 2, 3 tan C tan C ∴ + =4. tan A tan B

3

法二 由 + =6cos C,得

b a a b

a2+b2 a2+b2-c2 =6· , ab 2ab

3 2 tan C tan C ?cos A+cos B?= 2 2 即 a +b = c ,∴ + =tan C? ? 2 tan A tan B ?sin A sin B? sin C 2c = 2 2 2=4. cos Csin Asin B a +b -c 答案 4 三、解答题 13.叙述并证明余弦定理. 解析 余弦定理:三角形任何一边的 平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的
2 2 2 2 2

余弦之积的两倍.或:在△ABC 中,a,b,c 为 A,B,C 的对边,有 a =b +c -2bccos A,

b2=c2+a2-2cacos B,c2=a2+b2-2abcos C,
法一 如图(1),

图(1)

a2=BC·BC
→ → → → =(AC-AB)·(AC-AB) →2 → → →2 =AC -2AC·AB+AB →2 → → →2 =AC -2|AC|·|AB|cos A+AB =b -2bccos A+c ,即 a =b +c -2bccos A. 同理可证 b =c +a -2cacos B,c =a +b -2abcos C. 法二
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2





图(2) 已知△ABC 中 A,B,C 所对边分别为 a,b, c,以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴建立直角坐 标系,如图(2)则 C(bcos A,bsin A),B(c,0), ∴a =|BC| =(bcos A-c) +(bsin A) =b cos A-2bccos A+c +b sin A =b +c -2bccos A. 同理可证 b =c +a -2cacos B,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

c2=a2+b2-2abcos C.

4

14.在△ABC 中,a、b、c 分别为 A、B、C 的对边,B= 解析:由余弦定理 b =a +c -2accos B 2π 2 2 =a +c -2accos 3 =a +c +ac=(a+c) -ac. 又∵a+c=4,b= 13,∴ac=3. 联立?
? ?a+c=4, ?ac=3, ?
2 2 2 2 2 2

2π ,b= 13,a+c=4,求 a. 3

解得 a=1 或 a=3. 15.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA= 3 acosB. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值.

cos A-2cos C 2c-a 16.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 = . cos B b sin C (1)求 的值; sin A 1 (2)若 cos B= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. 4 解析 (1)由正弦定理,设 = = =k, sin A sin B sin C 2c-a 2ksin C-ksin A 2sin C-sin A 则 = = , b ksin B sin B cos A-2cos C 2sin C-sin A 所以 = . cos B sin B 即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). 又 A+B+C=π ,

a

b

c

5

所以 sin C=2sin A,因此 sin C (2)由 =2 得 c=2a. sin A 1 由余弦定理及 cos B= 得 4

sin C =2. sin A

b 2=a2+c2-2accos B=a2+4a2-4a2× =4a2.
所以 b=2a.又 a+b+c=5.从而 a=1,因此 b=2.

1 4

6


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