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《4.2 平面向量基本定理及坐标表示》 教案


平面向量基本定理及坐标表示
适用学科 适用区域 数学 新课标 基底的概念与平面向量基本定理 知 识 点 平面向量基本定理的应用 平面向量的坐标表示及运算 平面向量共线的坐标表示 1.了解平面向量基本定理及其意义. 教学目标 2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 教学重点 教学难

点 平面向量的坐标运算及用坐标表示平面向量共线 向量的坐标运算及共线条件 适用年级 课时时长 高三 60 分钟

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教学过程
课堂导入 音乐是人们在休闲时候的一种选择,不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐,还是高雅的古典音乐,它们都给了 人们不同的享受、不一样的感觉.事实上,音乐有 7 个基本音符:Do Re Mi Fa Sol La Si,所有的乐谱都是这几个音符的 巧妙组合,音乐的奇妙就在于此. 在多样的向量中,我们能否找到它的“基本音符”呢?

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复习预习 1.上节课已经学习过向量的数乘,所谓向量的数乘为________,记为________,它的长度与方向规定如下: (1)________=|λ||a|; (2)当________时,λa 的方向与 a 的方向相同;当 λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向________.

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知识讲解 考点 1 (1)定义 已知两个非零向量 a 和 b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ 叫做向量 a 与 b 的夹角. (2)范围 向量夹角 θ 的范围是[0,π],a 与 b 同向时,夹角 θ=0;a 与 b 反向时,夹角 θ=π. (3)向量垂直 π 如果向量 a 与 b 的夹角是2,则 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 两个向量的夹角

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考点 2

平面向量基本定理及坐标表示

(1)平面向量基本定理: 如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a =λ1e1+λ2e2. 其中,不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. (2)平面向量的坐标表示: ①在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i,j 作为基底,对于平面内的一个向量 a,有 且只有一对实数 x,y,使 a=xi+yj,把有序数对(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a=(x,y),其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐 标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标. ②设 OA =xi+yj,则向量 OA 的坐标(x,y)就是 A 点的坐标,即若 OA =(x,y),则 A 点坐标为(x,y),反之亦成立.(O 是坐标原点)

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考点 3

平面向量的坐标运算

(1)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a± b=(x1± x2,y1± y2); (2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB =(x2-x1,y2-y1); (3)若 a=(x,y),则 λa=(λx,λy); (4)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b?x1y2=x2y1.

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例题精析 【例题 1】 【题干】如图,在梯形 ABCD 中, AD∥BC,且 AD= BC,E,F 分别为线段 AD 与 BC 的中点.设 BA

1 3

=a, BC =b,试用 a,b 为基底表示向量 EF , DF , CD .

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【解析】 EF = EA + AB + BF =- b-a+ b= b-a, ? 1 1 ?1 DF = DE + EF =- b+? b-a?= b-a, 6 ?3 ? 6 ? 1 ?1 2 CD = CF + FD =- b-? b-a?=a- b. 2 ?6 3 ?

1 6

1 2

1 3

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【例题 2】 【题干】已知点 A(-1,2),B(2,8)以及 AC = AB , DA =- BA ,求点 C、D 的坐标和 CD 的坐标.

1 3

1 3

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【解析】设点 C、D 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),

得 AC =(x1+1,y1-2), AB =(3,6),
DA =(-1-x2,2-y2), BA =(-3,-6).

1 1 因为 AC =3 AB , DA =-3 BA ,
? ? ?x1+1=1 ?-1-x2=1, 所以有? ,和? ?y1-2=2 ?2-y2=2. ? ? ? ? ?x1=0, ?x2=-2, ? 解得 和? ? ? ?y1=4, ?y2=0.

所以点 C、D 的坐标分别是(0,4)、(-2,0), 从而 CD =(-2,-4).

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【例题 3】 【题干】 (1)在平面直角坐标系 xOy 中, 四边形 ABCD 的边 AB∥DC, AD∥BC.已知点 A(-2,0), B(6,8),

C(8,6),则 D 点的坐标为________. (2)已知向量 a=(m,-1),b=(-1,-2),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则 m=________.

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【解析】(1)由条件中的四边形 ABCD 的对边分别平行,可以判断该四边形 ABCD 是平行四边形.设

D(x,y),则有 AB = DC ,即(6,8)-(-2,0)=(8,6)-(x,y),解得(x,y)=(0,-2),即 D 点的坐标为(0, -2). (2)由题意知 a+b=(m-1,-3),c=(-1,2), 由(a+b)∥c 得(-3)×(-1)-(m-1)×2=0, 5 即 2(m-1)=3,所以 m=2.

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课堂运用 【基础】 1.(2012· 广东高考)若向量 BA =(2,3), CA =(4,7),则 BC =( A.(-2,-4) C.(6,10) B.(2,4) D.(-6,-10) )

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解析:选 A 由于 BA =(2,3), CA =(4,7),那么 BC = BA + AC =(2,3)+(-4,-7)=(-2,-4).

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2.(2013· 郑州模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量 a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量 c 都可以唯一 的表示成 c=λa+μb(λ、μ 为实数),则 m 的取值范围是( A.(-∞,2) C.(-∞,+∞) B.(2,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞) )

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3m-2 解析:选 D 由题意知向量 a,b 不共线,故 m≠ 2 ,解得 m≠2.

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3.已知点 A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),给出下面的结论: ①直线 OC 与直线 BA 平行;② AB + BC = CA ;③ OA + OC = OB ;④ AC = OB -2 OA . 其中正确结论的个数是( A.1 C .3 ) B.2 D.4

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解析:选 C

∵由题意得 kOC=

2-1 1 1 =-2,kBA= =-2,∴OC∥BA,①正确;∵ AB + BC = AC ,∴②错误; -2 0-2 1

∵ OA + OC =(0,2)= OB ,∴③正确; ∵ OB -2 OA =(-4,0), AC =(-4,0),∴④正确.

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【巩固】 4.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且 BP =2 PC ,点 Q 是 AC 的中点,若 PA =(4,3), PQ =(1,5),则 BC =________.

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解析: AQ = PQ - PA =(-3,2), ∴ AC =2 AQ =(-6,4).

PC = PA + AC =(-2,7),
∴ BC =3 PC =(-6,21). 答案:(-6,21)

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5.已知向量 a=( 3,1),b=(0,-1),c=(k, 3),若 a-2b 与 c 共线,则 k=________.

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解析:a-2b=( 3,1)-2(0,-1)=( 3,3), 又∵a-2b 与 c 共线, ∴(a-2b)∥c ∴ 3× 3-3k=0,解得 k=1. 答案:1

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【拔高】 6 . 如图,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点,已知 AM =c, AN =d,试用 c,d 表示 AB , AD .

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解:法一:在△ADM 中, 1 AD = AM - DM =c- AB ① 2 1 在△ABN 中, AB = AN - BN =d-2 AD ② 2 2 由①②得 AB =3(2d-c), AD =3(2c-d). 1 1 法二:设 AB =a, AD =b,因为 M,N 分别为 CD,BC 的中点,所以 BN =2b, DM =2a,于是有: 1 c = b + a, ? ? 2 ? 1 ? ?d=a+2b, 2 a = ? ? 3 解得? 2 ? ?b=3 d-c, c-d

2 2 即 AB =3(2d-c), AD =3(2c-d).

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7.已知 O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及 OP = OA +t AB ,试问: (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?在 y 轴上?P 在第三象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由.

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解:(1)∵ OA =(1,2), AB =(3,3), ∴ OP = OA +t AB =(1+3t,2+3t). 2 若点 P 在 x 轴上,则 2+3t=0,解得 t=-3; 1 若点 P 在 y 轴上,则 1+3t=0,解得 t=-3; ? ?1+3t<0, 2 若点 P 在第三象限,则? 解得 t<-3. ? ?2+3t<0. (2)不能,若四边形 OABP 成为平行四边形, ? ?1+3t=3, 则 OP = AB ,即? ? ?2+3t=3. ∵该方程组无解,∴四边形 OABP 不能成为平行四边形.

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课程小结
1.基底的不唯一性 只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对基底的选取不唯一,平面内任意向量 a 都可被这个平面的一 组基底 e1,e2 线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯 一的. 2.向量坐标与点的坐标的区别 要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它们完全一样,但意义完全不同,向量坐标中既有方向的信息也有大 小的信息.

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