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知识讲解


指数与指数幂的运算 【学习目标】 1.理解分数指数的概念,掌握有理指数幂的运算性质 (1)理解 n 次方根,n 次根式的概念及其性质,能根据性质进行相应的根式计算; (2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广,了解它是根式的一种新的写法,能正确 进行根式与分数指数幂的互化; (3)能利用有理指数运算性质简化根式运算. 2.掌握无理指数幂的概念,将指数的取值范围推广到

实数集; 3.通过指数范围的扩大,我们要能理解运算的本质,认识到知识之间的联系和转化,认识到符号化思想 的重要性,在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力; 4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识,能学会透过表面去认清事物的本质. 【要点梳理】 要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1.整数指数幂的概念

an ? a ?? a? ?? ?a n? Z* ? ? ?
n个 a

?

?

a 0 ? 1?a ? 0 ? 1 a ?n ? n (a ? 0, n ? Z* ) a
2.运算法则 (1) a ? a ? a
m n m? n



(2) a m

? ?

n

? a mn ;

am m?n (3) n ? a ?m ? n,a ? 0? ; a
(4) ?ab? ? a mb m .
m

要点二、根式的概念和运算法则 1.n 次方根的定义: n * 若 x =y(n∈N ,n>1,y∈R),则 x 称为 y 的 n 次方根. n 为奇数时,正数 y 的奇次方根有一个,是正数,记为 n y ;负数 y 的奇次方根有一个,是负数,记为
n

y ;零的奇次方根为零,记为 n 0 ? 0 ;
n 为偶数时, 正数 y 的偶次方根有两个, 记为 ? n y ; 负数没有偶次方根; 零的偶次方根为零, 记为 n 0 ? 0 . 2.两个等式 (1)当 n ? 1 且 n ? N 时,
*

? a?
n

n

?a;

(2) n a n ? ?

?a, (n为奇数) ?| a | (n为偶数)

要点诠释: ①要注意上述等式在形式上的联系与区别; ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值,尤其当根指数取偶数时,开方后的结果必为非负数,可先 写成 | a | 的形式,这样能避免出现错误. 要点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论,我们约定 a>0,n,m ? N ,且
*

m 为既约分数,分数指数幂可如下定义: n

an ? n a

1

a ? ( n a )m ? n a m m 1 an ? m an
要点四、有理数指数幂的运算 1.有理数指数幂的运算性质

m n

?a ? 0,b ? 0,? , ? ? Q?
(1) a ? a ? a
? ?

?

?

? ??

;

(2) (a ) ? a ; (3) (ab) ? a b ; 当 a>0,p 为无理数时,a 是一个确定的实数,上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释: (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质,将根式转化为分数指数幂运算; (2) 根 式 运 算 中 常 出 现 乘 方 与 开 方 并 存 , 要 注 意 两 者 的 顺 序 何 时 可 以 交 换 、 何 时 不 能 交 换 . 如
4
p

??

?

? ?

(?4) 2 ? ( 4 ? 4 ) 2 ;
(3)幂指数不能随便约分.如 (?4) ? (?4) .
2 4 1 2

2.指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的; 无括号先做指数运算. 负指数幂化为正指数幂的倒数. 底数是负数, 先确定符号, 底数是小数,先要化成分数,底数是带分数,先要化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指 数运算性质.在化简运算中,也要注意公式:a2-b2=(a-b) (a+b) , (a±b)2=a2±2ab+b2, (a±b) 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 3 2 2 =a ±3a b+3ab ±b ,a -b =(a-b) (a +ab+b ) ,a +b =(a+b) (a -ab+b )的运用,能够 简化运算. 【典型例题】 类型一、根式 例 1.求下列各式的值:
5 2 4 2 (1) 5 (?3) ;(2) 4 ( ?10) ;(3) 4 (3 ? ? ) ;(4) ( a ? b) .

?a ? b (a>b) ? 【答案】 -3; 10 ; ? ? 3 ; ?0    (a=b) ?b ? a  (a<b) ?
【解析】 熟练掌握基本根式的运算,特别注意运算结果的符号.
5 (1) 5 ( ?3) ? ?3 ; 2 (2) 4 ( ?10) ? 10 ; 4 (3) 4 (3 ? ? ) ?| 3 ? ? |? ? ? 3 ;

?a ? b (a>b) ? 2 (4) ( a ? b) ?| a ? b |? ?0    (a=b) ?b ? a  (a<b) ?
【总结升华】 (1) 求偶次方根应注意, 正数的偶次方根有两个, 例如, 4 的平方根是 ?2 , 但不是 4 ? ?2 . (2)根式运算中,经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况,应注意两者运算顺序是否可换,何时 可换. 举一反三: 【变式 1】计算下列各式的值:
3 2 6 8 (1) 3 ( ?2) ;(2) 4 (?9) ;(3) 6 (? ? 4) ;(4) 8 ( a ? 2) .

【答案】(1)-2;(2)3;(3) 4 ? ? ;(4) ?

?a ? 2(a ? 2) . ?2 ? a(a ? 2)

例 2.计算: (1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 ; (2)

1 1 ? . 2 ?1 2 ?1

【答案】 2 2;2 2 . 【解析】 对于(1)需把各项被开方数变为完全平方形式,然后再利用根式运算性质求解.对于(2) , 则应分子、分母同乘以分母的有理化因式. (1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 = ( 3) ? 2 3 ? 2 ? ( 2) + 2 ? 2 ? 2 3 ? ( 3) - 2 ? 2 ? 2 2 ? ( 2)
2 2 2 2 2 2

= ( 3 ? 2) ? (2 ? 3) ? (2 ? 2)
2 2

2

=| 3 ? 2 |+| 2 ? 3 |-| 2 ? 2 |

= 3 ? 2 + 2 ? 3 -( 2 ? 2 ) =2 2 (2)

1 1 ? 2 ?1 2 ?1

=

2 ?1 2 ?1 ? ( 2 ? 1)( 2 ? 1) ( 2 ? 1)( 2 ? 1)

= 2 ?1 ? 2 ? 1 =2 2 【总结升华】对于多重根式的化简,一般是设法将被开方数化成完全 n 次方,再解答,或者用整体思 想来解题.化简分母含有根式的式子时, 将分子、 分母同乘以分母的有理化因式即可, 如本例 (2) 中,

1 2 ?1

的分子、分母中同乘以 ( 2 ?1) . 举一反三: 【变式 1】化简:(1) 3 ? 2 2 ? 3 (1 ? 2) ? 4 (1 ? 2) ;
3 4

(2) x 2 ? 2 x ? 1 ? x 2 ? 6 x ? 9(| x |? 3) 【答案】(1) 2 ? 1 ; (2) ?

  ?3 ? x ? 1), ??2 x ? 2( (1 ? x ? 3). ??4   

类型二、指数运算、化简、求值 例 3.用分数指数幂形式表示下列各式(式中 a>0 ) :
2 (1) a ? a ; (2) a3 ? 3 a2 ; (3) a a ; (4)
5 11 3

y2 x

x3 y

3

y6 . x3

5

【答案】 a 2 ; a 3 ; a 4 ; y 4 【解析】先将根式写成分数指数幂的形式,再利用幂的运算性质化简即可. (1) a ? a ? a ? a 2 ? a
2 2
3 3 2 3 2 3

1

2?

1 2
2 3

? a2 ;
?a ;
3 4
11 3

5

(2) a ? a ? a ? a ? a
1 1 2 2

3?

(3) a a ? (a ? a ) ? (a ) ? a ; (4)解法一:从里向外化为分数指数幂

3 1 2 2

y2 x

x3 y

3

y2 y6 = x x3

x3 y 6 1 ( )3 = y x3

y2 x

x3 y 2 ? y x

1 y2 2 = ( x ? y) 2 x
1 2 ? y2 ? =? ? xy 2 ? ? x ?
5

1

= y4 解法二:从外向里化为分数指数幂.

y2 x
=[

x3 y
3

3

y2 y6 ( = x x3

x3 y

3

y6 1 )2 x3

y 2 x3 ( x y
1

1 1 1 y 2 x3 y 6 1 y6 1 3 2 2 2 2 = { [ ( ) ] } ) ] x y x3 x3
1 1

? y 2 ? 2 ? x3 ? 4 ? y 6 ?12 =? ? ?? ? ? 3 ? x ? ? ? y? ?x ?
=y
5 4

【总结升华】 此类问题应熟练应用 a n ? a m (a ? 0, m, n ? N * , 且n ? 1) .当所求根式含有多重根号 时,要搞清被开方数,由里向外或由外向里,用分数指数幂写出,然后再用性质进行化简.
n

m

举一反三: 【变式 1】把下列根式用指数形式表示出来,并化简
5 (1) a ? 2a ;

x x?3 x
3 ? 2 3

6

1

【答案】 (1) 210 a 10 ; (2) x



【变式 2】把下列根式化成分数指数幂: (1) 6 8 2 ; (2) a a ( a ? 0) ; (3) b3 ? 3 b2 ; (4)
3
7 12

1 x( 5 x 2 )2



【答案】 2 ; a ; b ; x
6

3 4

11 3

?

3 5

7 ? 7 ?6 【解析】 (1) 6 8 2 = 23 ? 2 ? ? 2 2 ? ? 212 ; ? ? 1 2

1

(2) a a ? a ? a 2 ? a 2 ? (a 2 ) 2 ? a 4 ; (3) b ? b ? b ? b 3 ? b 3 ;
3 3 2 3 2 11

1

3

3 1

3

(4)
3

1 x( 5 x 2 )2

=
3

1 x ? (x )
2 5 2

?
3

1 x?x
4 5

=
3

1 x
9 5

?

1
9 1

?

1
3

?x 5.

?

3

(x 5 )3
1 ? 4

x5
?1 1 ? 3 ? 1 2

例 4.计算:

7 ? ? 3 ? ? ? ?3 ? ( )0 ? ? ?81?0.25 ? (3 ) ? ; 8 ? ? 8 ? ? 1 (2) 73 3 ? 33 24 ? 63 ? 4 33 3 9
(1) (0.0081) (3) 3 ?125 ?
4

(?36) 2 ? 6 (? ? 4) 6 ? 3 (3 ? ? )3 .
?1 1

【答案】 3;0;2

1 1 2 ? 10 1 【解析】(1)原式= (0.3) ? ( ? ) 2 ? ? ? 3; 3 3 3 3 3 (2)原式= 73 3 ? 63 3 ? 23 3 ? 3 3 ? 0 ;

(3)原式=-5+6+4- ? -(3- ? )=2; 注意: (1)运算顺序(能否应用公式); (2)指数为负先化正; (3)根式化为分数指数幂. 举一反三: 【变式 1】计算下列各式:
4 1

1 ? 7 0 0.25 6 (1) ( ) 3 ? (? ) ? 8 ? 4 2 ? (3 2 ? 3 ) ; 8 6
【答案】 112; a . 【解析】(1)原式= 8
1 ( ?1)( ? ) 3

1

(2)

a 3 ? 8a 3 b a ? 23 ab ? 4b
2 3 2 3

? (1 ? 23

b 3 )? a . a

? 1 ? (2 ) ? 2 ? (2 ) ? (3 ) ? 2 ? 2
1

1 3 4

1 4

1 3 6

1 2 6

3 1 ? 4 4

? 2 2 ? 33 ? 112;

1

(2)原式 ?

a 3 (a ? 8b) (a ) ? 2a b ? (2b )
1 3 2 1 3 1 3 1 3 2

?

a3 a ? 2b
1 3 1 3

?a ?

1 3

a3

1 1 1 ? ? 3 3 1 3 3

(a ? 8b)
1 3 3

? a.

(a ) ? (2b )

【变式 2】计算下列各式:

1 1 ?3 3? 2 6 3 ( ) ?2 ? ( ) ? ? (1.03) 0 ? (? ) 4 2 6 6 3? 2 15 6 【答案】21+ 4 3 15 6 【解析】原式=16+ 6 +5+2 6 + . 6 =21+ 4 4
例 5.化简下列各式.

1

5x 3 y 2 (1) ; 1 1 ? ? ? ? 1 ?1 1 ? 5 ? ? x y 2 ?? ? x3 y 6 ? ? 4 ?? 6 ?
1

?

2

1

(2)

m ? m ?1 ? 2 m
? 1 2

?m

1 2



? 27 ? (3) (0.027) ? ? ? ? 125 ?

2 3

?

1 3

? 7? ??2 ? . ? 9?

0.5

【答案】 24 y 6 ; m

?

1 2

? m 2 ;0.09

1

【解析】(1)即合并同类项的想法,常数与常数进行运算,同一字母的化为该字母的指数运算;(2)对字 母运算的理解要求较高,即能够认出分数指数的完全平方关系;(3)具体数字的运算,学会如何简化运算. (1)

5x y 1 ? ? ? 1 ?1 1 ?? 5 1 3 6 2 ? x y ? x y ? ? ?? ? 4 ?? 6 ?
2 1 1 1 1

?

2 3

1 2

? 6 ? ( ? )?( ?1)? 3 2 ? 2 ?( ? 6 ) ? 5 ? (?4) ? ? ? ? x 3 y ? 5?
? 24 x y ? 24 y
0 1 6 1 6
2

1 ? ?1 ? 2 2 m ? m ? ? 1 1 ? m ? m ?1 ? 2 ? ? 2 ? ? m ? m2 (2) 1 1 1 1 ? ? m 2 ? m2 m 2 ? m2

? 27 ? 3 ? 7 ? (3) (0.027) ? ? ? ??2 ? ? 125 ? ? 9? 125 25 5 5 =( 3 0.027)2 ? 3 =0.09 ? ? =0.09 27 9 3 3
举一反三: 【变式 1】化简:
3

2 3

?

1

0. 5

xy 2 ( xy )3 .
5 6 7 6

【答案】 x y

1

1

1

3

3 1

5

7

【解析】原式= [ xy 2 ( x 2 ? y 2 )3 ]3 ? ( xy 2 ? x 2 ? y 2 ) 3 ? x 6 y 6 . 注意:当 n 为偶数时, a n ?| a |? ?
n

?a(a ? 0) . ??a(a ? 0)
? 2 3

【变式 2】化简

x ?2 ? y ?2 x
? 2 3

?y

?

2 3

?

x ?2 ? y ?2 x
? 2 3

?y

【答案】 ?2

3

xy xy
? 2

【解析】应注意到 x 3 与x ?2 之间的关系,对分子使用乘法公式进行因式分解,

原式 ?

( x 3 )3 ? ( y 3 )3 x
? 2 3

?

2

?

2

?y
2 3

?

2 3

?

( x 3 )3 ? ( y 3 )3 x
? 2
? 2 3

?

2

?

2

?y
?

?

2 3

? ( x 3 )2 ? x

?

2

?

?y

?

2 3

2

? ( y 3 )2 ? [( x 3 )2 ? x 3 y

?

2

?

2 3

? ( y 3 )2 ]

?

2

? ?2( xy)

?

2 3

? ?2

3

xy . xy

【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质;(2)被开方数分母为 1,且不含非正整数指数幂;(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数. 【变式 3】化简下列式子: (1)

3? 3 2 ? 2? 3

(2) 4 2 ? 2 6

(3) x2 ? 2x ? 1 ? 3 x3 ? 3x2 ? 3x ? 1

【答案】 2 2 ? 6 ; 4 18 ? 4 2 ; ? 【解析】 (1)原式 ?

?2x(x ? ?1) ??2(x ? ?1)
2(3 ? 3) 2 ? ( 3 ? 1) 2 ? 2(3 ? 3) 3? 3

2(3 ? 3) 2? 4?2 3

?

?

2(3 ? 3)2 2(12 ? 6 3) ? ?2 2? 6 6 (3 ? 3)(3 ? 3)

(2)

( 4 18 ? 4 2)2 ? ( 4 18)2 ? 2 4 18 ? 4 2 ? ( 4 2)2

? 18 ? 2 4 18? 2 ? 2 ? 3 2 ? 2 4 62 ? 2 ? 4 2 ? 2 6 ? 0
∴由平方根的定义得: 4 2 ? 2 6 ? 4 18 ? 4 2 (3)
3

x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 1 ? 3 (x ? 1)3 ? x ? 1

?x ? 1(x ? ?1) x 2 ? 2x ? 1 ?| x ? 1|? ? ??x ? 1(x ? ?1) ?2x(x ? ?1) . ? x 2 ? 2x ? 1 ? 3 x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 1 ? ? ??2(x ? ?1)
3

例 6.已知 x ? x 【答案】
1 2

1 2

?

1 2

x2 ? x 2 ?3 ? 3 ,求 2 的值. x ? x ?2 ? 2

?

3

1 3
? 1 2

【解析】 从已知条件中解出 x 的值,然后代入求值,这种方法是不可取的,而应设法从整体寻求结果 与条件 x ? x
1 2

? 3 的联系,进而整体代入求值.

x ? x ? 3 ,? x ? 2 ? x ?1 ? 9 ,? x ? x ?1 ? 7 ? x2 ? 2 ? x?2 ? 49 ,? x2 ? x?2 ? 45

1 ? 2

x ? x ? 3 ( x ? x )( x ? 1 ? x ?1 ) ? 3 = ? 2 47 ? 2 x ? x ?2 ? 2 3 ? (7 ? 1) ? 3 15 1 ? ? = 45 45 3
【总结升华】 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系,然后采用“整体代换”或“化简 后代换”方法求值.本题的关键是先求 x 2 ? x
3 ? 3 2

3 2

?

3 2

1 2

?

1 2

及 x ? x 的值,然后整体代入.
2

?2

举一反三: 【变式 1】求值:
1 ? 1 2

(1)已知 x 2 ? x

? 5 ,求
b

x2 ? 1 的值; x
a

(2)已知 a>0, b>0, 且 a =b , b=9a,求 a 的值. 【答案】 23; 4 3 【解析】熟练掌握幂的运算是关键问题.
1

(1)由 x 2 ? x

?

1 2

? 5 ,两边同时平方得 x+2+x-1=25,整理得:x+x-1=23,则有
1
b a

x2 ? 1 ? 23 ; x

1

a

1

(2)a>0, b>0, 又∵ a =b , ∴ (ab ) b ? (ba ) b ? a ? b b ? a ? (9a) 9
8 1 8 2 4

∴ a 9 ? 99 ? a ? 3 ? a ?

3.


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