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第一章1.1.7柱、锥、台和球的体积导学案


1.1.7

柱、锥、台和球的体积

吴兴昌

【学习要求】 1.理解祖暅原理的内容. 2.了解柱、锥、台体的体积公式的推导. 3.掌握柱、锥、台体和球的体积公式. 4.能运用公式求柱体,锥体,台体和球的体积. 【学法指导】 通过柱、锥、台和球体的体积公式的推导,提高空间思维能力和空间想象能力,增强探索问题和解决问题的

信心. 填一填:知识要点、记下疑难点 1.柱体的体积:一般柱体的体积公式 V= ,其中 S 为底面面积,h 为棱柱的高. 2.棱锥的体积:V = 3.棱台的体积:V= (S 为底面面积,h 为高),圆锥的体积为:V 圆锥= ,其中 S′,S 分别为上、下底面面积,h 为棱台的高. . .

圆台的体积公式为:V 圆台= 4.球的体积:V= . 研一研:问题探究、课堂更高效 [复习回顾]

问题 1 圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式? S
直棱柱的侧=

(c 为底面周长,h 为直棱柱的高),S

正棱锥的侧=

(c 为底面周长,h′为正棱锥的斜

高),S 正棱台的侧=

(c 为下底面周长,c′为上底面周长,h′为正棱锥的斜高).

注意:表面积等于侧面积与底面积的和. 问题 2 正方体、长方体、圆柱的体积计算公式?

V 正方体=

(棱长为 a), V 长方体=

(长宽高分别为 abc),V 圆柱= (S 为底面面积,h 为高).

(底面半径为 r 高为 h),

它们的体积公式可以统一为:V=

[问题情境] 上一节我们学习了几何体的表面积,一般地,面积是相对平面图形来说的,对于空间图形需要研究它们的体积,本 节我们就来研究柱体、锥体、台体、球的体积问题. 探究点一 祖暅原理 问题 1 我们已知等底等高的三角形之间面积相等(等积法),那么等底面积、等高的两个柱体或椎体是否体积相等 呢?

问题 2 取一摞书放在桌面上(如下图所示) ,并改变它们的放置方法,观察改变前后的体积是否发生变化?为什 么?从这个事实中你得到什么启发?

1/4

探究点二 棱柱、圆柱和球的体积 问题 1 等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系如何? 问题 2 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式,推测柱体的体积计算公式?

问题 3 底面半径是 r,高是 h 的圆柱体的体积的计算公式如何表示?

问题 4 观察下面的图,用同样大小的三个三棱锥能拼成一个三棱柱,说明了什么问题?

问题 5 由问题 4,你能得到锥体体积的计算公式吗?

问题 6 由锥体的体积公式,你能得出圆锥的体积公式吗?

问题 7 台体的上底面积 S′,下底面积 S, 高 h,则台体的体积是如何计算的?

问题 8 由台体的体积公式,你能得出圆台的体积公式吗?

问题 9 如何求球的体积呢?

问题 10 柱体、锥体、台体的体积公式间有怎样的关系?

[例题讲解] 例 1 如图所示,在长方体 ABCD—A′B′C′D′中,用截面截下一个棱锥 C—A′DD′,求棱锥 C—A′DD′的体积与剩余 部分的体积之比.

2/4

跟踪训练 1 正三棱柱侧面的一条对角线长为 2 且与该侧面内的底边所成角为 45° ,求此三棱柱体积.

例 2 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯(如图),共重 5.8 kg,已知螺帽的底面六边形边长是 12 mm,高是 10 mm, 内孔直径是 10 mm,这一堆螺帽约有多少个(铁的密度是 7.8 g/cm3,π≈3.14)?

2 跟踪训练 2 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证:(1)球的体积等于圆柱体积的 ; 3 (2)球的表面积等于圆柱的侧面积.

3/4

练一练:当堂检测、目标达成落实处 1.设正六棱锥的底面边长为 1,侧棱长为 5,那么它的体积为 A.6 3 B. 3 C.2 3 2.把球的表面积扩大到原来的 2 倍,那么体积扩大到原来的 A.2 倍 B.2 2倍 C. 2倍 3 D. 2倍 (

( D.2 )

)

3.直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,已知点 P、Q 分别为 AA1、CC1 上的点,而且满足 AP=C1Q,则四棱锥 B—APQC 的体积是 ( ) 1 1 1 2 A. V B. V C. V D. V 2 3 4 3

课堂小结: 1.求几何体的体积,需要求与其体积有关的各个量,但有时各个量不一定都要求出, 而只需求出与其体积有关的各量的组合. 2.“割补”是求体积的一种常用策略,运用时,要注意弄清“割补”前后几何体体积之间的数量关系. 3.解答组合体问题要注意知识的横向联系,善于把立体几何问题转化为平面几何问题, 运用方程思想与函数思想解决,融计算、推理、想象于一体. 4.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为

S′=S S′=0 1 1 V 柱体=Sh――――V 台体= h(S+ SS′+S′)―――→V 锥体= Sh. 3 3

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