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高中数学新课标典型例题 绝对值不等式


典型例题一
例 1 解不等式 x ? 1 ? 2x ? 3 ? 2 分析:解含有绝对值的不等式,通常是利用绝对值概念 a ? ?

?a(a ? 0) ,将不等式中 ?? a(a ? 0)

的绝对符号去掉,转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组) ,再去求解.去绝对值符号 的关键是找零点(使绝对值等于零的那个数所对应的点) ,将

数轴分成若干段,然后从左向 右逐段讨论.

解:令 x ? 1 ? 0 ,∴ x ? ?1 ,令 2 x ? 3 ? 0 ,∴ x ?

3 ,如图所示. 2

(1)当 x ? ?1 时原不等式化为 ? ( x ? 1) ? ?(2 x ? 3) ? 2 ∴ x ? 2 与条件矛盾,无解.

3 时,原不等式化为 x ? 1 ? ?(2 x ? 3) ? 2 . 2 3 ∴ x ? 0 ,故 0 ? x ? . 2 3 (3)当 x ? 时,原不等式化为 2 3 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 2 .∴ x ? 6 ,故 ? x ? 6 . 2
(2)当 ? 1 ? x ? 综上,原不等式的解为 x 0 ? x ? 6 . 说明:要注意找零点去绝对值符号最好画数轴,零点分段,然后从左向右逐段讨论,这 样做条理分明、不重不漏.

?

?

典型例题二
例 2 求使不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 有解的 a 的取值范围. 分析:此题若用讨论法,可以求解,但过程较繁;用绝对值的几何意义去求解十分简 便. 解法一:将数轴分为 ?? ?,3?,[3,4],(4,??) 三个区间 当 x ? 3 时,原不等式变为 (4 ? x) ? (3 ? x) ? a, x ?

7?a 7?a ? 3 ,即 有解的条件为 2 2

a ? 1;
当 3 ? x ? 4 时,得 (4 ? x) ? ( x ? 3) ? a ,即 a ? 1 ;

a?7 a?7 ? 4 ∴ a ? 1. , 有解的条件为 2 2 以上三种情况中任一个均可满足题目要求,故求它们的并集,即仍为 a ? 1 .
当 x ? 4 时, 得 ( x ? 4) ? ( x ? 3) ? a , 即x?

解法二:设数 x ,3,4 在数轴上对应的点分别为 P,A,B,如图,由绝对值的几何定 义,原不等式 PA ? PB ? a 的意义是 P 到 A、B 的距离之和小于 a . 因为 AB ? 1 ,故数轴上任一点到 A、B 距离之和大于(等于 1) ,即 x ? 4 ? x ? 3 ? 1 ,故 当 a ? 1 时, x ? 4 ? x ? 3 ? a 有解.

典型例题三
? ? ,0 ? y ? b ? , y ? (0, M ) ,求证 xy ? ab ? ? . 2M 2a

例 3 已知 x ? a ?

分析:根据条件凑 x ? a, y ? b . 证明: xy ? ab ? xy ? ya ? ya ? ab

? y( x ? a) ? a( y ? b) ? y x ? a ? a ? y ? b ? M ?

? ? ?a? ??. 2M 2a

说明:这是为学习极限证明作的准备,要习惯用凑的方法.

典型例题四
a 2 ? b2 a

例 4 求证

?a?b

分析:使用分析法 证明 ∵ a ? 0 ,∴只需证明 a ? b ? a ? a b ,两边同除 b ,即只需证明
2 2 2
2

a 2 ? b2 b
2

?

a b

2 2

?

a ,即 b

a a a ( )2 ? 1 ? ( )2 ? b b b


a a a a a a ? 1 时, ( ) 2 ? 1 ? ( ) 2 ? 1 ? ( ) 2 ? ;当 ? 1 时, b b b b b b

a ? b ? 0 ,原不等式显然成立.∴原不等式成立.
说明:在绝对值不等式的证明,常用分析法.本例也可以一开始就用定理:

a 2 ? b2 a

a ?b b ? ? a ? ?b a a

2

2

(1)如果

a ? 1 ,则 a ? b ? 0 ,原不等式显然成立. b b b b ? 1 ,则 ? ? ? b ,利用不等式的传递性知 a ? , b ? a ? b ,∴ a a a

(2)如果

原不等式也成立.

典型例题五
a?b 1? a ? b a 1? a b 1? b

例 5 求证

?

?



分析:本题的证法很多,下面给出一种证法:比较要证明的不等式左右两边的形式完全 相同,使我们联想利用构造函数的方法,再用单调性去证明. 证明:设 f ( x) ?

x 1 ? x ?1 1 . ? ?1? 1? x 1? x 1? x

定义域为{ x x ? R ,且 x ? ?1 } , f ( x) 分别在区间 (?? , ? 1) ,区间 (?1 , ? ?) 上是 增函数. 又0? a?b ? a ? b , ∴ f (a ?b) ? f (a ? b)



a?b 1? a ? b

?

a?b 1? a ? b

?

a 1? a ? b

?

b 1? a ? b

?

a 1? a

?

b 1? b

∴原不等式成立. 说明:在利用放缩法时常常会产生如下错误: ∵ a ? b ? a ? b ,1 ? a ? b ? 0 ,



a?b a b a b a?b . ? ? ? ? ? 1? a ? b 1? a ? b 1? a ? b 1? a ? b 1? a 1? b

错误在不能保证 1 ? a ? b ? 1 ? a ,1 ? a ? b ? 1 ? b .绝对值不等式 a ? b ? a ? b 在运用放

缩法证明不等式时有非常重要的作用,其形式转化比较灵活.放缩要适度,要根据题目的要 求,及时调整放缩的形式结构.

典型例题六
(a ? 1) 2 (a ? 1) 2 与 2 x ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0 (a ? R ) ? 2 2

例 6 关于实数 x 的不等式 x ?

的解集依次为 A 与 B ,求使 A ? B 的 a 的取值范围. 分析:分别求出集合 A 、 B ,然后再分类讨论. 解:解不等式 x ?

(a ? 1) 2 (a ? 1) 2 , ? 2 2

?

(a ? 1) 2 (a ? 1) 2 (a ? 1) 2 ? x? ? , 2 2 2

∴ A ? x 2a ? x ? a 2 ? 1 , a ? R . 解不等式 x 2 ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0 , [ x ? (3a ? 1)]( x ? 2) ? 0 . 当a ?

?

?

? 1? 1 时(即 3a ? 1 ? 2 时) ,得 B ? ? x 2 ? x ? 3a ? 1 , a ? ? . 3? 3 ? ? 1? 1 时(即 3a ? 1 ? 2 时) ,得 B ? ? x 3a ? 1 ? x ? 2 , a ? ? . 3? 3 ?

当a?

当a ?

?2a ? 2, 1 时,要满足 A ? B ,必须 ? 2 故1 ? a ? 3 ; 3 a ? 1 ? 3 a ? 1 , ? ?2a ? 3a ? 1, 1 时,要满足 A ? B ,必须 ? 2 3 ?2 ? a ? 1;
?a ? ?1, ? ?? 1 ? a ? 1,

当a?

∴ a ? ?1 . 所以 a 的取值范围是 a ? R a ? ?1 或1 ? a ? 3 . 说明:在求满足条件 A ? B 的 a 时,要注意关于 a 的不等式组中有没有等号,否则会导 致误解.

?

?

典型例题七
例 6 已知数列通项公式 an ?

sin a sin 2a sin 3a sin na ? ? ??? 对于正整数 m 、 n ,当 2 3 2 2 2 2n

m ? n 时,求证: am ? an ?

1 . 2n

分析:已知数列的通项公式是数列的前 n 项和,它的任意两项差还是某个数列的和,再 利用不等式 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? an ,问题便可解决. 证明:∵ m ? n ∴ am ? an ?

sin(n ? 1)a sin(n ? 2)a sin ma ? ??? n ?1 n?2 2 2 2m

?

sin(n ? 1)a sin(n ? 2)a sin ma ? ??? n ?1 n?2 2 2 2m

?

1 2 n ?1

?

1 2n?2

1 1 (1 ? m ? n ) n ?1 1 2 ??? m ? 2 1 2 1? 2

1 1 1 1 (1 ? m ? n ) ? n (0 ? 1 ? m ? n ? 1) . n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 说明: n ?1 ? n ? 2 ? ? ? m 是以 n ?1 为首项,以 为公比,共有 m ? n 项的等比数列 2 2 2 2 2 的和,误认为共有 m ? n ? 1 项是常见错误. ?
正余弦函数的值域,即 sin ? ? 1 , cos ? ? 1 ,是解本题的关键.本题把不等式、三角函数、 数列、 n 个变量的绝对值不等式问题连在一起,是一个较为典型的综合题目.如果将本题中 的正弦改为余弦,不等式同样成立.

典型例题八
例 8 已知 f ( x) ? x 2 ? x ? 13 , x ? a ? 1 ,求证: f ( x) ? f (a) ? 2( a ? 1) 分析:本题中给定函数 f ( x) 和条件 x ? a ? 1 ,注意到要证的式子右边不含 x ,因此对 条件 x ? a ? 1 的使用可有几种选择:(1)直接用;(2)打开绝对值用 a ? 1 ? x ? a ? 1 ,替出 x ; (3)用绝对值的性质 x ? a ? x ? a ? 1 ? x ? a ? 1 进行替换. 证明:∵ f ( x) ? x 2 ? x ? 13 ,∴ f (a) ? a 2 ? a ? 13 , ∵ x ? a ? 1 ,∴ x ? a ? x ? a ? 1 . ∴ x ? a ? 1, ∴ f ( x) ? f (a) ? x 2 ? a 2 ? a ? x

? ( x ? a)( x ? a) ? ( x ? a)

? ( x ? a)( x ? a ? 1) ? x ? a ? x ? a ?1 ? x ? a ? 1 ? x ? a ? 1 ? a ? 1 ? a ? 1 ? 2( a ? 1) ,
即 f ( x) ? f (a) ? 2( a ? 1) . 说明: 这是绝对值和函数的综合题, 这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等 综合知识的运用.分析中对条件 x ? a ? 1 使用时出现的三种可能是经常碰到的,要结合求 证,灵活选用.

典型例题九
?x ? 0 ? 例 9 不等式组 ? 3 ? x 2 ? x 的解集是( ?3 ? x ? 2 ? x ?
A. x 0 ? x ? 2

) .

?

?

B. x 0 ? x ? 2.5

?

?

C. x 0 ? x ? 6

?

?

D. x 0 ? x ? 3

?

?

分析:本题是考查含有绝对值不等式的解法,由

3? x 2? x 3? x ? ,知 ? 0 ,∴ 3? x 2? x 3? x 3? x 2? x ? (0 ? x ? 3) . 3? x 2? x

? 3 ? x ? 3 ,又 x ? 0 ,∴ 0 ? x ? 3 ,解原不等式组实为解不等式

解法一:不等式两边平方得: (3 ? x) 2 (2 ? x) 2 ? (3 ? x) 2 (2 ? x) 2 . ∴ ( x 2 ? x ? 6) 2 ? ( x 2 ? x ? 6) 2 ,即 ( x 2 ? x ? 6 ? x 2 ? x ? 6)( x 2 ? x ? 6 ? x 2 ? x ? 6) ? 0 , ∴ x(6 ? x 2 ) ? 0 ,又 0 ? x ? 3 .

?x 2 ? 6 ? 0 ∴? ?0 ? x ? 3

∴ 0 ? x ? 6 .选 C.

解法二:∵ x ? 0 ,∴可分成两种情况讨论: (1)当 0 ? x ? 2 时,不等式组化为 解得 0 ? x ? 2 . (2)当 x ? 2 时,不等式组可化为

3? x 2? x (0 ? x ? 2 ) . ? 3? x 2? x

3? x x ? 2 (x?2) , ? 3? x 2? x

解得 2 ? x ? 6 . 综合(1)、(2)得,原不等式组的解为 0 ? x ? 6 ,选 C. 说明:本题是在 x ? 0 的条件下,解一个含绝对值的分式不等式,如何去绝对值是本题 的关键所在,必须注意,只有在保证两边均为非负数时,才能将不等式两边同时平方.另一 种方法则是分区间讨论,从而去掉绝对值符号.当然本题还可用特殊值排除法求解.

典型例题十
例 10 设二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0 ,且 b ? 0 ) ,已知 b ? a , f (0) ? 1 ,

5 f (?1) ? 1 , f (1) ? 1 ,当 x ? 1 时,证明 f ( x) ? . 4
分析: 从 a ? 0 知, 二次函数的图像是开口向上的抛物线; 从 x ? 1 且 f (?1) ? 1 , f (1) ? 1 知,要求证的是 f ( x) ?

5 ,所以抛物线的顶点一定在 x 轴下方,取绝对值后,图像翻到 x 轴 4

上方.因此抛物线的顶点的取值非常重要,也是解这道题的关键所在. 证明:∵ 2b ? (a ? b ? c) ? (a ? b ? c)

? a ?b ?c ? a ?b ?c ? f (1) ? f (?1) ? 1 ? 1

?2,
∴ b ? 1. 又∵ b ? a ,∴

b ? 1. a

∴?

b 1 ? ?1. 2a 2
b 4ac ? b 2 b2 )? ?c? , 2a 4a 4a

又 c ? f (0) ? 1 , f (? ∴ f (?

b b2 b2 ) ? c? ?c? 2a 4a 4a
?c? 1 b 1 5 ? ? b ? 1 ? ?1 ?1 ? . 4 a 4 4

而 f ( x) 的图像为开口向上的抛物线,且 x ? 1 , ? 1 ? x ? 1 ,

∴ f ( x) 的最大值应在 x ? 1 , x ? ?1 或 x ? ? ∵ f (1) ? 1 , f (?1) ? 1 , f ( ? ∴ f ( x) ?

b 处取得. 2a

b 5 )? , 2a 4

5 . 4

说明: 本题考查了绝对值不等式的性质、 二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维 的能力,关键是通过对参数 a , b , c 的分析,确定抛物线顶点的取值范围,然后通过比较 求出函数在 x ? 1 范围内的最大值.


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