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20140212常数函数与幂函数的导数


几个幂函数 的导数
高二数学 选修2-2

第 4章

导数及其应用

一、复习
1、 根据导数的定义,求函数 y=f(x) 的导数的步骤: 步骤: (1) 求增量 ?y ? f ( x ? ?x ) ? f ( x ); ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) (2) 算平均变化率 ? ; ?x ?x
( 3) 求极限 ?y y ? ? lim . ?x ? 0 ? x

2、 符号 f ?( x0 )与f ?( x) 各表示什么含义? 两者 有什么联系?

函数 f? (x) 在 x0 处的函数值,即: f ( x0 ) ? f ?( x ) x ? x0

显然,函数 y = f(x) 在 x0 处的导数 f? (x0) 就是导

1. 常数函数的导数 设y=f(x)≡C,C为常数,则C ’=0. 证明:f(x)=C,

∴ Δy=f(x+Δx)-f(x)=C-C=0.
?y ?0 ∴ ?x

?y lim ?0 C ’= ? x ?0 ?x

2. 函数y=x的导数
设函数y=f(x)=x,
f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x) ? x lim ? lim ?1 x’= ? x ?0 ?x ?0 ?x ?x

即x’=1.

3. 函数y=x2的导数
设函数y=f(x)=x2,
2 2 f ( x ? ? x ) ? f ( x ) ( x ? ? x ) ? x lim ? lim (x2)’= ? x ?0 ?x ?0 ?x ?x

? lim (2 x ? ?x) ? 2 x
?x ? 0

即(x2)’=2x.

4. 函数y=x3的导数
设函数y=f(x)=x3, (x3)’=
f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x)3 ? x3 lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x
2 2 2 ?x ? 0

? lim (3 x ? 3 x?x ? ?x ) ? 3 x

即(x3)’=3x2.

1 5. 函数y= 的导数 x
1 设函数y=f(x)= ,(x≠0) x
1 f ( x ? ?x) ? f ( x) 1 1 1 ( ) ' ? lim ? lim ( ? ) ?x ?0 ?x ?0 ?x x ? ?x x ?x x
?1 1 ? lim ?? 2 ?x ? 0 x ( x ? ?x ) x

1 1 ? ( ) ' ? ? 2 ( x ? 0) x x

6. 函数y=

x 的导数 x (x>0),

设函数y=f(x)=

f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x ? x ( x ) ' ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x

?x 1 ? lim ? ?x ?0 ?x ( x ? ?x ? x) 2 x

? ( x)' ?

1 2 x

( x ? 0)

由此我们推测,
对任意的幂函数y=xα,当α∈Q时,都 有

(x ) ' ? ? x

?

? ?1

(? ? Q)

例1.求下列函数的导数: 1 5 3 12 y ? y ? x . (1)y=x ;(2) 4 ;(3)
x

解:(1)y ’=(x12)’=12x11;
4 (2) y ' ? ( x ) ' ? ?4 x ? ? 5 x
?4 ?5

3 (3) y ' ? ( x ) ' ? ( x ) ' ? x 5
5 3

3 5

?

2 5

?

3 5 x
5 2

1 1 例2.设曲线 y ? 2 和曲线 y ? 在它们的交 x x

点处的两条切线的夹角为α,求tanα的值. 解:联立曲线方程
1 ? y? 2 ? ? x ? ?y?1 ? x ?

解得两曲线的交点为(1,1)。 设两曲线在交点处的切线斜率分别为 k1,k2,则

1 ?3 k1 ? ( 2 ) ' |x ?1 ? ?2 x |x ?1 ? ?2 x

1 ?2 k2 ? ( ) ' |x ?1 ? ? x |x ?1 ? ?1 x

由两角差的正切公式得

k2 ? k1 ?1 ? (?2) 1 |?| |? tanα= | 1 ? k1k2 1 ? (?1) ? (?2) 3

练习题 1.f(x)=1的导数是( A ) A.0 B.1

C.不存在

D.不确定

1 2.y’=f ’(x)= 2 ,则函数y=f(x)可以是 x 下列各式中的哪一个( B )
1 A. x 1 B.- x 1 D.- 3 2x

C.-2x-3

3.曲线y=x3在点P处切线斜率为k,当k =3时的P点坐标为( B )

A.(-2,-8)
B.(-1,-1),(1,1)

C.(2,8)
1 1 D.(- ,- ) 8 2

7 1 4.曲线 ? y ? x ? 0 上一点P(4, - )处 4 x

的切线方程是( A )

(A)5x+16y+8=0
(C)5x+16y-8=0

(B)5x-16y+8=0
(D)5x-16y-8=0

5.已知生产x个单位产品的总成本为
G(x),生产x个单位产品的边际成本为
x G’(x),若G(x)= 8 ? ,则生产8个单位产 8
2

品时,边际成本为( A ) (A)2 ( B) 8

(C)10

(D)16

6.点P在曲线y=x3-x+

2 上移动时,过P 3

点的切线的倾斜角的取值范围是( D )

(A)[0, π)
3? ? (B)(0, )∪[ , π) 4 2 ? 3? ? (C)[0, )∪( , ] 2 4 2 ? 3? (D)[0, )∪[ , π) 2 4

7.某质点的运动方程是s=t3-(2t-1)2, 则在t=1时的瞬时速度为 -1 。

8.已知f(x)= a0 x ? a1 x
n

n ?1

? ? ? an?1 x ? an

则[f(0)]’=

0

.

9.曲线y= 5 x 2 在点(1,1)处的切线方程 是 2x-5y+3=0 。

10.函数y=f(x)满足f(x-1)=1-2x+x2,

则y’=f ’(x)=

2x

.

11.质点运动方程是S=t4,则质点运动
加速度为 a=12t2 .

五、小结
1、 导数的定义 2、根据导数的定义,求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤 3、熟记以下导数公式:
(1) (C )?
( 2)

?0

( x n )? ? nx n ? 1

作业:
1 求下列函数的导数:

(1) y ? x

4

(2) y ? x

?3

1 (3) y ? x
4

(4) y ? x

2 求下列函数的导数:

(1) y ? x x

x (2) y ? 3 x


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