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专题3.10 判断点在圆内外,向量应用最厉害(解析版)


【题型综述】
点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种:①利用设而不求思想求出圆心坐标,然后计算圆 心到点的距离并和半径比较得解;②向量法,通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系:如已知 AB 是 圆 的 直 径 , G 是 平 面 内 一 点 , 则 GA? GB? 0 ? 点 G 在 圆 内 ; GA ? GB ? 0 ? 点 G 在 圆 外 ;

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? GA ? GB ? 0 ? 点 G 在圆上.③方程法,已知圆的方程 M : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,点 N ( x0 , y0 ) ,则

( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点 N 在 圆 M 内 ; ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点 N 在 圆 M 上 ; ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点 N 在圆 M 外.
四点共圆问题的解题策略:①利用四点构成的四边形的对角互补;②利用待定系数法求出过其中 三点的圆的方程,然后证明第四点坐标满足圆的方程.

【典例指引】 类型一 向量法判定点与圆的位置关系

x2 y 2 2 例 1 【2015 高考福建,理 18】已知椭圆 E: 2 + 2 = 1(a > b > 0) 过点 (0, 2) ,且离心率为 . a b 2
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设直线 x = my - 1 ,(m ? R)交椭圆 E 于 A,B 两点, 判断点 G (- ,0)与以线段 AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由. 【解析】解法一:(Ⅰ)由已知得

9 4

ì b = 2, ? ì a =2 ? ? 2 ? ? c = , 解得 í b = 2 , í 2 ? ? a ? ? a 2 = b2 + c2 , ?c= 2 ? ?
所以椭圆 E 的方程为

x2 y 2 + =1 . 4 2

(Ⅱ)设点 A( x1 y1 ), B( x2 , y2 ), AB 中点为 H( x0 , y0 ) .

ì x = my - 1 ? 由 í x2 y 2 得(m2 + 2) y2 - 2my - 3 = 0, 学科&网 ? + =1 ? ? 4 2
2m 3 2 , y1 y 2 = 2 , 从而 y 0 = 2 . 2 m +2 m +2 m +2 9 2 5 2 5 25 2 2 2 2 2 所以 GH| = ( x0 + ) + y 0 = (my 0 + ) + y 0 = (m +1) y 0 + my 0 + . 4 4 2 16
所以 y1 + y 2 =

|AB|2 ( x1 - x2 )2 + ( y1 - y2 ) 2 (m 2 +1)( y1 - y 2 ) 2 = = 4 4 4 (m2 +1)[( y1 + y2 )2 - 4 y1 y2 ] = = (m2 +1)(y0 2 - y1 y2 ) , 4
故 |GH| 2

[来源:学科网 ZXXK]

|AB|2 5 25 5m2 3(m2 +1) 25 17m2 + 2 = my0 + (m2 +1) y1 y2 + = + = >0 4 2 16 2(m2 + 2) m2 + 2 16 16(m2 + 2)
|AB| 9 ,故 G (- ,0)在以 AB 为直径的圆外. 2 4

所以 |GH|>

[来源:学科网 ZXXK]

所以 cos狁 GA,GB > 0, 又GA, GB 不共线,所以 ?AGB 为锐角. 故点 G (- ,0)在以 AB 为直径的圆外.学科&网

???? ??? ?
9 4

???? ??? ?

类型二 四点共圆应用问题
例 2. (2014 全国大纲 21)已知抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,直线 y ? 4 与 y 轴的交点为 P, 与 C 的交点为 Q,且 | QF |? (I)求 C 的方程; (II)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的垂直平分线 l ? 与 C 相较于 M,N 两点,且 A,M,B, N 四点在同一圆上,求 l 的方程.

5 | PQ | . 4

类型三 动圆过定点问题

例 3(2012 福建理 19) 右焦点为 F2 ,离心率 e ?

如图,椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 , a 2 b2

1 。过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长为 8。 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程。 (Ⅱ) 设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P , 且与直线 x ? 4 相交于点 Q 。 试探究: 在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ?若存在,求出点 M 的坐标; 若不存在,说明理由。

? y ? kx ? m ? 2 2 2 (法 2)由 ? x 2 y 2 得 (4k ? 3) x ? 8kmx ? 4m ?12 ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4
∵动直线 l 与椭圆 E 有且只要一个交点 P( x0 , y0 ) ,∴ m ? 0 且△=0,学科&网

即 64k 2m2 ? 4(4k 2 ? 3)(4m2 ?12) ? 0 ,化简得 4k 2 ? m2 ? 3 ? 0, 此时 x0 = ? 由?



4km 4k 3 4k 3 =? , y0 = kx0 ? m = ,∴ P ( ? , ), 2 4k ? 3 m m m m

?x ? 4 得 Q (4, 4 k ? m ).学科&网 ? y ? kx ? m
???? ???? ?

假设平面内存在定点 M 满足条件,由图形对称性知,点 M 必在 x 轴上, 设 M ( x1 ,0),则 MP ? MQ =0 对满足①式的 m , k 恒成立.

? 4k 3 ???? - x1 , ), MQ =(4- x1 , 4 k ? m ), m m 4k 3 k ? x1 )(4 ? x1 ) ? ? (4k ? m) =0,整理得 (4 x1 ? 4) ? x12 ? 4 x1 ? 3 ? 0 , ∴ ?( m m m
∵ MP =( ?

????



∴?

?4 x1 ? 4 ? 0
2 ? x1 ? 4 x1 ? 3 ? 0

,解得 x1 =1,

∴存在定点 M (1,0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M .

∵ MP =( ?

????

? 4k 3 ???? -1, ), MQ =(3, 4 k ? m ), m m

12k 12k ?3? ? 3 =0,学科&网 m m ???? ???? ? ∴恒有 MP ? MQ , ∴存在定点 M (1,0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M .
∴ MP ? MQ = ?

???? ???? ?

类型四 证明四点共圆
例4. 已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 C : x ?
2

y2 ? 1 在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且斜率为 - 2 的直线 l 与 C 2

交与 A、B 两点,点 P 满足 OA ? OB ? OP ? 0. (Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上.

??? ? ??? ? ??? ?

【扩展链接】
1.O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且 OP ? OQ .(1) 的最大值为

1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ;(2)|OP|2+|OQ|2 2 2 | OP | | OQ | a b

4a 2 b 2 a 2b 2 ; ( 3 ) 的最小值是 . S ?OPQ a 2 ? b2 a 2 ? b2

2 2 2.若椭圆方程为 x 2 ? y2 ? 1 (a ? b ? 0) ,半焦距为 c ,焦点 F1 ? ?c,0? , F2 ? c,0? ,设

a

b

过 F1 的直线 l 的倾斜角为 ? ,交椭圆于 A、B 两点,则有:①

b2 b2 2ab2 AF1 ? , BF1 ? ;② AB ? 2 2 2 a ? c cos ? a ? c cos ? a ? c cos ?
2 2 若椭圆方程为 x 2 ? y2 ? 1 (a ? b ? 0) ,半焦距为 c ,焦点 F1 ? ?c,0? , F2 ? c,0? ,设

a

b

过F 2 的直线 l 的倾斜角为 ? ,交椭圆于 A、B 两点,则有:①

AF 2 ?

b2 b2 2ab 2 , BF ? AB ? ;② 2 a+c cos ? a-c cos ? a2 ? c2 cos2?

2ab2 同理可求得焦点在 y 轴上的过焦点弦长为 AB ? 2 2 2 (a 为长半轴,b 为短半轴,c 为 a ? c sin ?

半焦距)

? 2ab2 ? 焦点在x轴上? ? ? a2 ? c2 cos2? 结论:椭圆过焦点弦 长公式: AB ? ? 2ab2 ? ? 焦点在y轴上? ? ? a2 ? c2 sin2?
3.设 AB 为过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点的弦, A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的倾斜角为 ? ,则 ①. x1 x2 ?

p2 , y1 y2 ? ? p 2 ; 4

p p p p ? , BF ? x2 ? ? 2 1 ? cos ? 2 1 ? cos ? 2p ; ③. AB ? x1 ? x2 ? p ? sin 2 ?
②. AF ? x1 ? ④.

1 1 2 ? ? ; | FA | | FB | P
3 2 p ; 4

⑤. OA ? OB ? ? ⑥. S?AOB ?

1 1 p2 OA OB sin ?AOB ? ? OF ? hF ? ; 2 2 2sin ?

【同步训练】
1. 已知椭圆 的离心率 ,过点 A(0,﹣b)和 B(a,0)的直线与原点的距

离为


[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

(1)求椭圆的方程;

(2)已知定点 E(﹣1,0) ,若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C、D 两点,问:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由.

【思路点拨】 (1)直线 AB 方程为 bx﹣ay﹣ab=0,依题意可得:

,由此能求出椭圆的方程.

(2)假设存在这样的值. 进行求解.

,得(1+3k2)x2+12kx+9=0,再由根的判别式和根与系数的关系

(2)假设存在这样的值. , 得(1+3k2)x2+12kx+9=0, ∴△=(12k)2﹣36(1+3k2)>0…①, 设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,



而 y1?y2=(kx1+2) (kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4, 要使以 CD 为直径的圆过点 E(﹣1,0) , 当且仅当 CE⊥DE 时,学科&网 则 y1y2+(x1+1) (x2+1)=0, ∴(k2+1)x1x2+(2k+1) (x1+x2)+5=0…③ 将②代入③整理得 k= ,学科&网

经验证 k= 使得①成立综上可知,存在 k= 使得以 CD 为直径的圆过点 E. 2.已知椭圆 (1)若 (2)设直线 上,且 的右焦点为 ,求椭圆的方程; 与椭圆相交于 两点, 分别为线段 的中点,若坐标原点 在以 为直径的圆 ,离心率为 .

,求 的取值范围.

【思路点拨】(1)结合所给的数据计算可得



,所以椭圆的方程为

.

(2) 联 立 直 线 与 椭 圆 的 方 程 , 集 合 韦 达 定 理 和 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 运 算 法 则 可 得 ,结合离心率的 范围可知 . 则 的取值范围是

因为 所以 ,即

,所以

, .学科&网
过点

.

3.已知椭圆 :

,且离心率



(Ⅰ)求椭圆 的方程; (Ⅱ)椭圆 长轴两端点分别为 点,又点 说明理由. 【思路点拨】(1)运用椭圆的离心率公式和点代入椭圆方程,由 a,b,c 的关系,即可得到椭圆方程; (2)设 ,由椭圆方程和直线的斜率公式,以及两直线垂直的条件,计算 即可得证. ,过 ,点 为椭圆上异于 的动点,直线 : 与直线 分别交于 两

三点的圆是否过 轴上不同于点 的定点?若经过,求出定点坐标;若不存在,请

x2 y 2 ? 1 的焦点 F1 、 F2 在 x 轴上,且椭圆 E1 经过 P ? m, ?2? (m ? 0) ,过点 P 的直线 4.已知椭圆 E1 : 2 ? a 6
l 与 E1 交于点 Q ,与抛物线 E2 : y 2 ? 4x 交于 A 、 B 两点,当直线 l 过 F2 时 ?PF1Q 的周长为 20 3 .
(Ⅰ)求 m 的值和 E1 的方程; (Ⅱ)以线段 AB 为直径的圆是否经过 E2 上一定点,若经过一定点求出定点坐标,否则说 明理由。 【思路点拨】 (1)由 ?PF1Q 的周长为 20 3 求得 a,再根据椭圆 E1 经过 P ? m, ?2? 求得 m. (2)设直线 l 方程 : x ? 5 ? n ? y ? 2? ,与抛物线方程联立方程组,消 x 得关于 y 的一元二次方程,结合韦 达定理,化简以线段 AB 为直径的圆方程,按参数 n 整理,根据恒等式成立条件求出定点坐标

5.已知抛物线 C 顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线 C 上一点 Q ? a,2? 到焦点的距离为 3,线段 AB 的两 端点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 在抛物线 C 上. (1)求抛物线 C 的方程; (2)若 y 轴上存在一点 M ? 0, m? (m ? 0) ,使线段 AB 经过点 M 时,以 AB 为直径的圆经过原点,求 m 的 值; (3)在抛物线 C 上存在点 D ? x3 , y3 ? ,满足 x3 ? x1 ? x2 ,若 ?ABD 是以角 A 为直角的等腰直角三角形, 求 ?ABD 面积的最小值. 【思路点拨】 (1)根据抛物线的定义,丨 QF 丨=丨 QQ1 丨,即可求得 p 的值,即可求得抛物线方程; (2)设 AB 的方程,代入椭圆方程,由 OA ? OB ? 0 ,根据向量数量积的坐标运算及韦达定理,即可求得 m 的值; (3)设 A ? x1 ,

??? ? ??? ?

? ?

x12 4

2 ? ? x2 , B x , ? ? 2 4 ? ?

2 ? x3 ? ? , C x , ? 3 ? , 根据抛物线关于 y 轴对称, 取 x1 ? 0 ,记 k AB ? k1 , ? 4 ? ? ?

k AD ? k2 , 则 有 k1 ?

x ? x1 x2 ? x1 , k2 ? 3 , 所 以 x2 ? 4 k1 ? x1, x3 ? 4k2 ? x1 , k1 ? k2 ? ?1 , 由 4 4

AB ? AD , 即 1 ? k12 ? x2 ? x1 ? 1 ? k22 ? x3 ? x1 , 进 而 化 简 求 出 x1 , 得 : x1 ?
? 4k 2 ? 4 ? 1 1 ? ? | AB |2 ? ? 1 ? k12 ? ? 21 ? ,即可求得△ ABD 面积的最小值. 2 2 ? k1 ? k1 ?

4k13 ? 4 , 2k12 ? 2k1

S?ABD

?

?

2

(3)如图所示,

设 A ? x1 ,

? ?

x12 4

2 ? ? x2 , B x , ? ? 2 4 ? ?

2 ? x3 ? ? , 根据抛物线关于 y 轴对称, 取 x1 ? 0 , 记 k AB ? k1 , k AD ? k2 , C x , ? 3 ?, ? 4 ? ? ?

则有 k1 ?

x ? x1 x2 ? x1 , k2 ? 3 ,所以 x2 ? 4k1 ? x1 , x3 ? 4k2 ? x1 , k1 ? k2 ? ?1 ,学科&网 4 4

又因为 ?ABD 是以 A 为顶点的等腰直角三角形,所以 AB ? AD , 即 1 ? k1 ? x2 ? x1 ? 1 ? k2 ? x3 ? x1 ,将 x2 , x3 代入得:
2 2

6.已知椭圆 C : 腰直角三角形.

? x2 y 2 2? ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )经过点 P ? 1, 2 ? 2 ? ? ,且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等 a b ? ?

(1)求椭圆的方程;

1 n ? 0 ( m , n ? R )交椭圆 C 于 A 、 B 两点,试问:在坐标平面上是否存 3 在一个定点 T ,使得以 AB 为直径的圆恒过点 T .若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)动直线 l : mx ? ny ? 【思路点拨】 (1)由题设知 a=

x2 y2 ? ?1 2b ,所以 2b 2 b 2

,椭圆经过点 P(1,

2 ) ,代入可得 b=1, 2

a= 2 ,由此可知所求椭圆方程. (2)首先求出动直线过(0,﹣

1 1 16 )点.当 l 与 x 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程:x2+(y+ )2= ; 3 3 9

1 16 x2 ? (y ? ) 2? 当 l 与 y 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程:x +y =1.由 { 3 9 .由此入手可求出点 T 的 2 2 x ? y ?1
2 2

坐标.

(2)首先求出动直线过 ? 0, ? ? 点.

? ?

1? 3?

1? ? 4? ? 当 L 与 x 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程: x ? ? y ? ? ? ? ? 3? ? 3? ?
2

2

2

当 L 与 y 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程: x 2 ? y 2 ? 1

1? ? 4? ? x2 ? ? y ? ? ? ? ? 由{ 3? ? 3? ? 2 x ? y2 ? 1

2

2

解得 {

x?0 y ? 1 学科&网

即两圆相切于点 ? 0,1? ,因此,所求的点 T 如果存在,只能是 ? 0,1? ,事实上,点 T ? 0,1? 就是所求的点. 证明如下: 当直线 L 垂直于 x 轴时,以 AB 为直径的圆过点 T ? 0,1? 当直线 L 不垂直于 x 轴,可设直线 L : y ? kx ?

1 3

y ? kx ?
由{

1 3

x2 ? y2 ? 1 2

2 2 消去 y 得: 18k ? 9 x ? 12kx ? 16 ? 0

?

?

7.如图, 曲线 C 由上半椭圆 C1 :

y 2 x2 ? ? 1( a ? b ? 0 , y ? 0 ) 和部分抛物线 C : y ? ? x2 ? 1 ( y ? 0) a 2 b2
3 . 2

连接而成, C1 与 C2 的公共点为 A , B ,其中 C1 的离心率为

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

(1)求 a , b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1 , C2 分别交于点 P , Q (均异于点 A , B ) ,是否存在直线 l ,使得以 PQ 为 直径的圆恰好过 A 点,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 【思路点拨】 (1)在 C1 , C2 的方程中,令 y ? 0 ,可得 b ? 1 ,且 A ? ?1 ,0 ? , B ?1,0? 是上半椭圆 C1 的左、 右顶点,设 C1 半焦距为 c ,由

c 3 2 2 2 及 a ? c ? b ? 1 ,联立解得 a ; (2)由(1)知,上半椭圆 C1 的方 ? a 2

程为

y2 ? x 2 ? 1? y ? 0 ? ,由题意知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y ? k ? x ?1? ( k ? 0 ) , 4

2 2 2 代入 C1 的 方程, 整理得: k ? 4 x ? 2kx ? k ? 4 ? 0 ,设点 P 的坐标为 ? xP , yP ? ,由根公式, 得点 P 的

?

?

坐标为 ?

???? ???? ? k 2 ? 4 ?8k ? 2 k ? k ? 1, ? k ? 2 k ,同理,得点 的坐标为 .由 Q , AP ? ? ? 1 ? AQ ? 0 ,即可得出 的值, 2 2 ?k ?4 k ?4?

从而求得直线方程.

8.已知过点 A ? 0,1? 的椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1、F2 , B 为椭圆上的任意一 a 2 b2

点,且 3 BF 1 , F 1 F2 , 3 BF2 成等差数列. (1)求椭圆 C 的标准方程;

(2)直线 l : y ? k ? x ? 2? 交椭圆于 P, Q 两点,若点 A 始终在以 PQ 为直径的圆外,求实数 k 的取值范围. 【思路点拨】 (1)由题意,利用等差数列和椭圆的定义求出 a , c 的关系,再根据椭圆 C 过点 A ,求出 a , b 的 值,即可写出椭圆的标准方程; ( 2 )设 P ? x1 , y1 ? , Q? x2 , y2 ? ,根据题意知 x1 ? ?2, y ? 0 ,联立方程组,由方 程的根与系数的关系求解

??? ? ???? x2 , y2 ,再由点 A 在以 PQ 为直径的圆外,得 ?PAQ 为锐角, AP ? AQ ? 0 ,由此列出不等式求出 k 的取
值 范围.

(2)设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,联立方程 { x 2

y ? k ? x ? 2? 4 ? y2 ? 1
,消去 y 得:

?1 ? 4k ? x
2

2

? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 ;

?

?

依题意直线 l : y ? k ? x ? 2? 恒过点 ? ?2,0 ? ,此点为椭圆的左顶点,∴ x1 ? ?2 , y1 ? 0 ,①

?16k 2 由方程的根与系数关系可得, x1 ? x2 ? ;② 1 ? 4k 2
可得 y1 ? y2 ? k ? x1 ? 2? ? k ? x2 ? 2? ? k ? x1 ? x2 ? ? 4k ;③ 由①②③,解得 x2 ?

2 ? 8k 2 4k , y2 ? ; 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k

由点 A 在以 PQ 为直径的圆外,得 ?PAQ 为锐角,即 AP ? AQ ? 0 ; 由 AP ? ? ?2, ?1? , AQ ? ? x2 , y2 ? 1? ,

??? ? ????

??? ?

????

∴ AP ? AQ ? ?2x2 ? y2 ?1 ? 0 ;即

??? ? ??? ?

4 ? 16k 2 4k ? ?1 ? 0 , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
3 1 或k ? . 10 2

整理得, 20k 2 ? 4k ? 3 ? 0 ,解得: k ? ? ∴实数 k 的取值范围是 k ? ?

3 1 或k ? . 10 2

9.已知动点 M 到点 N(1,0)和直 线 l:x=﹣1 的距离相等. (1)求动点 M 的轨迹 E 的方程; (2)已知不与 l 垂直的直线 l'与曲线 E 有唯一公共点 A,且与直线 l 的交点为 P,以 AP 为直径作圆 C.判 断点 N 和圆 C 的位置关系,并证明你的结论. 【思路点拨】 (1)利用抛物线的定义,即可求动点 M 的轨迹 E 的方程; (2)由题意可设直线 l':x=my+n,由 积,即可得出结论. 可得 y2﹣4my﹣4n=0,求出 A,P 的坐标,利用向量的数量

所以 NA⊥NP, 所以点 N 在以 PA 为直径的圆 C 上.

10.已知抛物线 C1:y2=2px(p>0)的焦点为 F,抛物线上存在一点 G 到焦点的距离为 3,且点 G 在圆 C: x2+y2=9 上. (Ⅰ)求抛物线 C1 的方程; (Ⅱ)已知椭圆 C2: =1(m>n>0)的一个焦点与抛物线 C1 的焦点重合,且离心率为 .直线 l:

y= kx﹣4 交椭圆 C2 于 A、B 两个不同的点,若原点 O 在以线段 AB 为直径的圆的外部,求 k 的取值范围. 【思路点拨】 (1)设点 G 的坐标为(x0,y0) ,列出关于 x0,y0,p 的方程组,即可求解抛物线方程. (2)利用已知条件推出 m、n 的关系,设(x1,y1) 、B(x2,y2) ,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理以 及判别式大于 0,求出 K 的范围,通过原点 O 在以线段 AB 为直径的圆的外部,推出 k 的范围即可. ? >0,然后求解

由△ >0,即(﹣32k)2﹣4× 16(4k2+3)>0,k> 或 k<﹣ …①…(10 分) ∵原点 O 在以线段 AB 为直径的圆的外部,则 ∴ ? ? >0,

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1﹣4)?(kx2﹣4)=(k2+1)x1x2﹣4k(x1+x2)+16

=(k2+1)×

﹣4k×

+16

=

>0,解得:﹣

<k<

…②

由①、②得实数 k 的范围是﹣ ∴k 的取值范围(﹣

<k<﹣ 或 <k<



,﹣ )∪( ,

) .…(12 分)

[来源:Zxxk.Com]

11.已知双曲线 线上.

x2 y 2 ? ? 1? b ? a ? 0 ? 渐近线方程为 y ? ? 3x , O 为坐标原点,点 M ? 3, 3 在 双曲 a 2 b2

?

?

(Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ)已知 P, Q 为双曲线上不同两点,点 O 在以 PQ 为直径的圆上,求

1 OP
2

?

1 OQ
2

的值.

【思路点拨】 (1)根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程,代入点 M 的坐标求得参数即可; ( 2 )由条件可得 OP ? OQ ,可设出直线 OP, OQ 的方程,代入双曲线方程求得点 P, Q 的坐标可求得

1 OP
2

?

1 OQ
2

?

1 。 3

12.已知点 P 是圆 F1: (x﹣1)2+y2=8 上任意一点,点 F2 与点 F1 关于原点对称,线段 PF2 的垂直平分线分别 与 PF1,PF2 交于 M,N 两点. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 G(0,

1 )的动直线 l 与点的轨迹 C 交于 A,B 两点,在 y 轴上是否存在定点 Q,使以 AB 为直 3

径的圆恒过这个点?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 【思路点拨】 (1)由圆的方程求出 F1、F2 的坐标,结合题意可得点 M 的轨迹 C 为以 F1,F2 为焦点的椭圆, 并求得 a,c 的值,再由隐含条件求得 b,则椭圆方程可求; (2)直线 l 的方程可设为 y ? kx ?

1 ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,联立直线方程与椭圆方程,化为关于 3

x 的一元二次方程, 利用根与系数的关系求出 A, B 横坐标的和与积, 假设在 y 轴上是否存在定点 Q (0, m) , 使以 AB 为直径的圆恒过这个点, 可得 AQ ? BQ , 即 AQ ? BQ ? 0 . 利用向量的坐标运算即可求得 m 值, 即定点 Q 得坐标. 【详细解析】 (1)由圆 F1: (x﹣1)2+y2=8,得 F1(1,0) ,则 F2(﹣1,0) , 由题意得 MF1 ? MF2 ? MF1 ? MP ? F1P ? 2 2 F1F2 |? 2 , ∴点 M 的轨迹 C 为以 F1,F2 为焦点的椭圆,

????

??? ?

???? ??? ?

∵ 2a ? 2 2, 2c ? 2

∴点 M 的轨迹 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 ; 2


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