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2013年中国人民大学附属中学高考冲刺卷(理科数学试卷八)


中国人民大学附属中学高考冲刺卷

数 学(理) 试 卷(八)
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求 的一项. 1.已知全集 U ? R , A ? {x ? 1 ? x ?2}, B ? {x x ? 0} ,则 CU ( A ? B) ? A. {

x 0 ? x ?2} C. {x x ? ?1 } 2.复数 B. {x x ? 0} D. {x x ? ?1 }

B. ? 1 C. i 3.已知等比数列 {an } 的公比为 2,且 a1 ? a3 ? 5 ,则 a 2 ? a 4 的值为

1? i ? 1? i A. ? i

D.1

A.10 B.15 C.20 D.25 4.如图是一正方体被过棱的中点 M、N 和顶点 A、D、C1 的两个截面截去两个角后所得的几 何体,则该几何体的主视图为

A.

B.
2

C.

D.

5.若 a =(1,2,-3), b =(2,a-1,a - A.充分不必要条件 C.充要条件

1 ), 则“a=1”是“ a ? b ”的 3
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
开始

?? x , x ? ?1 ? 6.右图是计算函数 y ? ?0 , ? 1 ? x ? 2 的值的程序框图,则 ? 2 ?x , x ? 2
在①、②、③处应分别填入的是 A. y ? ?x , y ? 0 , y ? x 2 B. y ? ?x , y ? x , y ? 0
2

输入 x


x ? ?1
是 否

x?2

C. y ? 0 , y ? x 2 , y ? ?x D. y ? 0 , y ? ?x , y ? x 2 7.在极坐标系中,定点 A ? 1,


① ② ③

? ?? ? ,动点 B 在直线 ? cos? ? ? sin ? ? 0 ? 2? 上运动,当线段 AB 最短时,动点 B 的极坐标是 2 ? 2 3? , ) , ) A. ( B. ( 2 4 2 4

输出 y
结束

3 ? 3 3? D. ( , ) , ) 2 4 2 4 8.已知三棱锥 A ? BCO ,OA、OB、OC 两两垂直且长度均为 6,长为 2 的线段 MN 的一 个端点 M 在 棱 OA 上运动,另一个端点 N 在 ?BCO 内运动(含边界) ,则 MN 的中点 P 的轨迹与三
C. ( 棱锥的面所围 成的几何体的体积为 A.

? 6

C. 36 ?

?
6

? ? 或 36 ? 6 6 ? ? D. 或 36 ? 6 6
B.

第Ⅱ 卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9.命题: ?x ? R, x 2 ? 0 的否定是 . 10 . 函 数 f ( x) ? 2 c o 2 ;单调递减区间 s x ?1 的 最 小 正 周 期 为 为 . 11 .如图是甲、乙两班同学身高(单位: cm )数据的茎叶图,则甲班同学身高的中位数 为 ; 若从乙班身高不低于 170cm 的同学中随机抽取两名, 则身高为 173cm 的同学被抽中的概 率为 . 甲班 2 9 9 1 0 8 8 3 2 8 乙班 1 0 3 6 8 9 2 5 8 9

18 17 16 15

12.已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PA ? 2 . AC 是圆 O 的直径, PC 与圆 O 交于点 B , PB ? 1 , 则圆 O 的半径 R ? . 13.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 与双曲线
2

x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点 F ,点 A 是两曲线 a2 b2

的一个交点,且 AF ⊥ x 轴,则双曲线的离心率为 . 14. 在某条件下的汽车测试中, 驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到 如下信息: 时间 油耗(升/100 公里) 可继续行驶距离(公里) 10:00 9.5 300 11:00 注: 油耗 ? 9.6 220

汽车剩余油量 加满油后已用油量 , 可继续行驶距离? , 加满油后已行驶距离 当前油耗

指定时间内的用油量 . 指定时间内的行驶距离 从以上信息可以推断在 10:00—11:00 这一小时内 判断的序号) . ① 行驶了 80 公里; ② 行驶不足 80 公里; ③ 平均油耗超过 9.6 升/100 公里; ④ 平均油耗恰为 9.6 升/100 公里; ⑤ 平均车速超过 80 公里/小时. 平均油耗 ?

(填上所有正确

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的三边,已知 b +c ? a ? bc . (Ⅰ)求角 A 的值;
2 2 2

(Ⅱ)若 a ? 3 , cos C ?

3 ,求 c 的长. 3

16. (本小题满分 14 分) 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 为 正 方 形 , 侧 棱 PA ? 底 面 A B C D, 且 P A? A D ? 2 , E, F , H 分别是线段 PA, PD, AB 的中点. (Ⅰ)求证: PB //平面 EFH ; (Ⅱ)求证: PD ? 平面 AHF ; (Ⅲ)求二面角 H ? EF ? A 的大小.

17. (本小题满分 13 分) 为了参加广州亚运会, 从四支较强的排球队中选出 18 人组成女子排球国家队, 队员来

源人数如下表: 队别 人数

北京 4

上海 6

天津 3

八一 5

(Ⅰ)从这 18 名队员中随机选出两名,求两人来自同一支队的概率; (Ⅱ)中国女排奋力拼搏,战胜韩国队获得冠军.若要求选出两位队员代表发言,设其 中来自北京队 的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列,及数学期望 E? .

18. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b ln x ( x ? 0 ,实数 a , b 为常数) . (Ⅰ)若 a ? 1, b ? ?1 ,求 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)若 a ? ?2 ? b ,讨论函数 f ( x ) 的单调性.

19. (本小题满分 14 分)

2 x2 y 2 已知点 A(1, 2 ) 是离心率为 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的一点.斜率 b a 2 为 2 的直线 BD 交椭圆 C 于 B 、 D 两点,且 A 、 B 、 D 三点不重合. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) ?ABD 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理
由? (Ⅲ)求证:直线 AB 、 AD 的斜率之和为定值.

20.(本小题满分 13 分) 已 知 集 合 A ? {a1 , a2 , a3 ,?, an } , 其 中 ai ? R(1 ? i ? n, n ? 2) , l ( A) 表 示 和

ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 中所有不同值的个数. (Ⅰ)设集合 P ? {2,4,6,8} , Q ? {2,4,8,16} ,分别求 l ( P) 和 l (Q) ; n(n ? 1) (Ⅱ)若集合 A ? {2,4,8,?,2 n },求证: l ( A) ? ; 2 (Ⅲ) l ( A) 是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由?

中国人民大学附属中学高考冲刺卷

数学(理)试卷(八)参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 B 5 A 6 B 7 B 8 D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
2 9. ?x ? R , x ? 0

10. 13.

? ? ;[k? , k? ? ]( k ? Z )
2

11. 169;

1 3

12.

3

2 ?1

14. ② ③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的三边,已知 b +c ? a ? bc . (Ⅰ)求角 A 的值;
2 2 2

(Ⅱ)若 a ? 3 , cos C ?

3 ,求 c 的长. 3

解: (Ⅰ)? b +c ? a ? bc ,
2 2 2

cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? -------------------------4 2bc 2



?0 ? A?? ? ?A? ---------------------------------------------------------6 分 3 ? 3 (Ⅱ)在 ?ABC 中, A ? , a ? 3 , cos C ? 3 3 1 6 ?sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ? ? 3 3
a C ? , sin A sin C 6 3? a sin C 3 ? 2 6 .-------------------------------------? ?c ? sin A 3 3 2
由正弦定理知:

------------------------------------------8 分

--12 分

?

c?

2 6 3

----------------------------------------------------------13 分 16. (本小题满分 14 分) 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 为 正 方 形 , 侧 棱 PA ? 底 面 A B C D,且 PA ? AD ? 2 , E, F , H 分别是线段 PA, PD, AB 的中点. (Ⅰ)求证: PB //平面 EFH ; (Ⅱ)求证: PD ? 平面 AHF ; (Ⅲ)求二面角 H ? EF ? A 的大小.

解:建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,

? A(0,0,0), B(2,0,0), C(2, 2,0), D(0, 2,0) , P(0,0,2) , E (0,0,1) , F (0,1,1) , H (1,0,0) .----------------------------1 分
(Ⅰ)证明:∵ PB ? (2,0, ?2) , EH ? (1,0, ?1) , ∴ PB ? 2 EH , ∵ PB ? 平面 EFH ,且 EH ? 平面 EFH , ∴ PB //平面 EFH .---------------------------5 分 (Ⅱ)解: PD ? (0, 2, ?2) , AH ? (1,0,0) , AF ? (0,1,1) ,

PD ? AF ? 0 ? 0 ? 2 ? 1 ? (?2) ? 1 ? 0, PD ? AH ? 0 ? 1 ? 2 ? 0 ? (?2) ? 0 ? 0. ? PD ? AF , PD ? AH , 又 AF AH ? A , ? PD ? 平 面 A H F . ----------------------------------------------9

分 (Ⅲ)设平面 HEF 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 因为 EF ? (0,1,0) , EH ? (1,0, ?1) , 则?

? ?n ? EF ? y ? 0, ? ?n ? EH ? x ? z ? 0,

取 n ? (1,0,1).

又因为平面 AEF 的法向量为 m ? (1,0,0), 所 以

c

m?n 1? ? ? m n ?? o ? s ? |m n 2? |

?

0 21|

,

0

| 2

-------------------------12 分

?? m, n ?? 45 ,

?









H?

?E

F的

A 大





45 .-------------------------------------14 分 17. (本小题满分 13 分) 为了参加广州亚运会, 从四支较强的排球队中选出 18 人组成女子排球国家队, 队员来 源人数如下表: 队别 北京 上海 天津 八一 人数 4 6 3 5 (Ⅰ)从这 18 名队员中随机选出两名,求两人来自同一支队的概率; (Ⅱ)中国女排奋力拼搏,战胜韩国队获得冠军.若要求选出两位队员代表发言,设其中 来自北京队的 人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列,及数学期望 E? . 解:(Ⅰ)“从这 18 名队员中随机选出两名,两人来自于同一队”记作事件 A,

P( A) ?
2 C4 ? C62 ? C32 ? C52 2 ? 2 9 C18

.

-------------------------------------------5 分 (Ⅱ) ? 的所有可能取值为 0, 1, 2. ---------------------------------------------2 分 ∵ P(? ? 0) ?
2 C14 C 1C 1 C2 91 56 6 ? ? , P (? ? 1) ? 4 2 14 ? , P(? ? 2) ? 4 , 2 2 153 C18 153 C18 C18 153

∴ ? 的分布列为:
?

0
91 153

1
56 153

2
6 153 ---------------------------10

P 分

91 56 6 4 ? 1? ? 2? ? . 153 153 153 9 18. (本题满分 13 分)

∴ E(? ) ? 0 ?

-------------------------------13 分

已知函数 f ( x) ? x ? ax ? b ln x ( x ? 0 ,实数 a , b 为常数) .
2

(Ⅰ)若 a ? 1, b ? ?1 ,求 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)若 a ? ?2 ? b ,讨论函数 f ( x ) 的单调性.
2 解: (Ⅰ)因为 a ? 1, b ? ?1 ,所以函数 f ( x) ? x ? x ? ln x , f (1) ? 2



f ?( x) ? 2 x ? 1 ?

1 x



f ' (1) ? 2 ---------------------------------------------2 分
所以 y ? 2 ? 2( x ? 1)

x ?1 在 处 的 切 线 f ( x) 2 x ? y ? 0 -----------------------------------5 分 (Ⅱ)因为 a ? ?2 ? b ,所以 f ( x) ? x2 ? (2 ? b) x ? b ln x ,则 b (2 x ? b)( x ? 1) f ?( x) ? 2 x ? (2 ? b) ? ? ( x ? 0) x x
即 令







f ?( x) ? 0





x1 ?

b 2



x2 ? 1 .--------------------------------------------7 分 b (1)当 ? 0 ,即 b ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) ,单调递增区间为 2 (1, ??) ;--8 分 b (2)当 0 ? ? 1 ,即 0 ? b ? 2 时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表: 2 b b (1, ??) (0, ) ( ,1) x 2 2
f ?( x ) f ( x)
所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) , (1, ??) ,单调递减区间为 ( ,1) ; -------9 分 (3)当

?

?

?

b 2

b 2

b ? 1 , 即 b ? 2 时 , 函 数 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 (0, ??) ; 2

---------------------10 分 (4)当

b ? 1 ,即 b ? 2 时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表: 2 b b (0,1) ( , ??) (1, ) x 2 2

f ?( x ) f ( x)

?

?

?

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1), ( , ??) ,单调递减区间为 (1,

b 2

b ); 2

----------12 分 综上,当 b ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) ,单调递增区间为 (1, ??) ;

b b 2 2 当 b ? 2 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) ;当 b ? 2 时,函数 f ( x ) 的单调递增

当 0 ? b ? 2 时, 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) ,(1, ??) , 单调递减区间为 ( ,1) ;







(

0

b , 1 ( ), ??) , 2

















b (1, ) . ------------------------------------------------------------------2
--13 分 19. (本小题满分 14 分) 已知点 A(1, 2 ) 是离心率为

2 x2 y 2 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的一点.斜率 b a 2

为 2 的直线 BD 交椭圆 C 于 B 、 D 两点,且 A 、 B 、 D 三点不重合. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) ?ABD 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理 由? (Ⅲ)求证:直线 AB 、 AD 的斜率之和为定值. 解: (Ⅰ)? e ?

1 2 2 c ? 2 ? 1 , a 2 ? b2 ? c 2 ? , 2 b a 2 a ? a ? 2,b ? 2 ,c ? 2 x2 y 2 ? 1 ----------------------------------------------5 分 ? ? 2 4 (Ⅱ)设直线 BD 的方程为 y ? 2 x ? b

Y D B A

? y ? 2x ? b ? 4 x2 ? 2 2bx ? b2 ? 4 ? 0 ?? 2 2 ?2 x ? y ? 4

? ? ? ?8b2 ? 64 ? 0 ? ?2 2 ? b ? 2 2 O b2 ? 4 2 x1 x2 ? -----② x1 ? x2 ? ? b, ----① 4 2 ? 64 ? 8b2 6 ? BD ? 1 ? ( 2 )2 x1 ? x2 ? 3 ? 3 ? 8 ? b2 , 4 4 2 b 设 d 为点 A 到直线 BD: y ? 2 x ? b 的距离, ? d ? 3 1 2 (8 ? b2 )b2 ? 2 ,当且仅当 b ? ?2 时取等号. ? S?ABD ? BD d ? 2 4 因为 ?2 ? (?2 2,2 2 ) ,所以当 b ? ?2 时, ?ABD 的面积最大,最大值为
2 --------10 分 (Ⅲ)设 D( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,直线 AB 、 AD 的斜率分别为: k AB 、 k AD ,则

X

y1 ? 2 y2 ? 2 2 x1 ? b ? 2 2 x2 ? b ? 2 ? ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? x2 ? 2 ] ------* = 2 2 ? b[ 将(Ⅱ)中①、②式代入*式整理 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1
k AD ? k AB ?


2 2 ? b[


x1 ? x2 ? 2 ] =0, x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1

k AD ? k AB ? 0--------------------------------------------------------14 分 20.(本小题满分 13 分) 已 知 集 合 A ? {a1 , a2 , a3 ,?, an } , 其 中 ai ? R(1 ? i ? n, n ? 2) , l ( A) 表 示 和

ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 中所有不同值的个数. (Ⅰ)设集合 P ? {2,4,6,8} , Q ? {2,4,8,16} ,分别求 l ( P) 和 l (Q) ; n(n ? 1) (Ⅱ)若集合 A ? {2,4,8,?,2 n },求证: l ( A) ? ; 2 (Ⅲ) l ( A) 是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由? 解: (Ⅰ)由 2 ? 4 ? 6,2 ? 6 ? 8,2 ? 8 ? 10,4 ? 6 ? 10,4 ? 8 ? 12,6 ? 8 ? 14, 得 l ( P) ? 5 . 由 2 ? 4 ? 6,2 ? 8 ? 10,2 ? 16 ? 18,4 ? 8 ? 12,4 ? 16 ? 20,8 ? 16 ? 24, 得 l (Q) ? 6 .--------------------------------------------------5 分 n( n ? 1) n(n ? 1) 2 . (Ⅱ)证明:因为 ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 最多有 C n ? 个值,所以 l ( A) ? 2 2 又集合 A ? {2,4,8,?,2 n }, 任取 ai ? a j , ak ? al (1 ? i ? j ? n,1 ? k ? l ? n),
j ?1 当 j ? l 时,不妨设 j ? l ,则 ai ? a j ? 2a j ? 2 ? al ? ak ? al ,

即 ai ? a j ? ak ? al . 当 j ? l , i ? k 时, ai ? a j ? ak ? al . 因此,当且仅当 i ? k , j ? l 时, ai ? a j ? ak ? al . 即所有 ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 的值两两不同, 所以 l ( A) ?

(Ⅲ) l ( A) 存在最小值,且最小值为 2n ? 3 . 不妨设 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an , 可得

n( n ? 1) . 2

-----------------------------------------------9 分

a1 ? a2 ? a1 ? a3 ? ? ? a1 ? an ? a2 ? an ? ? ? an?1 ? an , 所以 ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 中至少有 2n ? 3 个不同的数,即 l ( A) ? 2n ? 3.
事实上,设 a1 , a2 , a3 ,?, an 成等差数列, 考虑 ai ? a j (1 ? i ? j ? n) ,根据等差数列的性质, 当 i ? j ? n 时, ai ? a j ? a1 ? ai ? j ?1 ; 当 i ? j ? n 时, ai ? a j ? ai ? j ?n ? an ; 因 此 每 个 和 ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 等 于 a1 ? ak (2 ? k ? n) 中 的 一 个 , 或 者 等 于

al ? an (2 ? l ? n ? 1) 中的一个. 所 以 对 这 样 的 A, l ( A) ? 2n ? 3 , 所 以 l ( A) 的 最 小 值 为 2n ? 3 .
-----------------------13 分


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