当前位置:首页 >> 数学 >>

等差数列与等比数列解题技巧与基础知识复习


(一)知识归纳:1.概念与公式: ①等差数列:1°.定义:若数列 {a n }满足a n ?1 ? a n ? d (常数), 则{a n } 称等差数列; 2°.通项公式: a n ? a1 ? (n ? 1)d ? a k ? (n ? k )d ; 3°.前 n 项和公式:公式: S n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ?

d. 2 2

②等比数列:1°.定义若数列 {a n }满足

a n ?1 ? q (常数) {a n } 称等比数列;2°. ,则 an a1 ? a n q a1 (1 ? q n ) ? (q ? 1), 1? q 1? q

通项公式: a n ? a1 q 当 q=1 时 S n ? na1 .

n ?1

? a k q n ?k ; 3°.前 n 项和公式: S n ?

2.简单性质:①首尾项性质:设数列 {a n } : a1 , a 2 , a3 ,?, a n , 1°.若 {a n } 是等差数列,则 a1 ? a n ? a 2 ? a n ?1 ? a3 ? a n ?2 ? ?; 2°.若 {a n } 是等比数列,则 a1 ? a n ? a 2 ? a n ?1 ? a3 ? a n ?2 ? ?. ②中项及性质:1°.设 a,A,b 成等差数列,则 A 称 a、b 的等差中项,且 A ? 2°.设 a,G,b 成等比数列,则 G 称 a、b 的等比中项,且 G ? ? ab. ③设 p、q、r、s 为正整数,且 p ? q ? r ? s, 1°. 若 {a n } 是等差数列,则 a p ? a q ? a r ? a s ; 2°. 若 {a n } 是等比数列,则 a p ? a q ? a r ? a s ; ④顺次 n 项和性质:1°.若 {a n } 是公差为 d 的等差数列,则 公差为 n2d 的等差数列; 2°. 若 {a n } 是公差为 q 的等比数列,则

a?b ; 2

? ak ,
k ?1

n

k ? n ?1

?

2n

ak ,

k ? 2 n ?1

?a

3n

k

组成

?a , ? a , ?a
k ?1 k k ? n ?1 k k ? 2 n ?1

n

2n

3n

k

组成公差为 qn 的等比数

列.(注意:当 q=-1,n 为偶数时这个结论不成立) ⑤若 {a n } 是等比数列,则顺次 n 项的乘积: a1 a 2 ? a n , a n?1 a n ? 2 ? a 2 n , a 2 n ?1a 2 n ? 2 ? a3n 组 成公比这 q 的等比数列.⑥若 {a n } 是公差为 d 的等差数列,
n2

1°.若 n 为奇数,

1

则 S n ? na中且S 奇 ? S 偶 ? a中 (注 : a中指中项,即a中 ? a n?1 , 而 S 奇、S 偶指所有奇数项、所
2

有偶数项的和) ; 2°.若 n 为偶数,则 S 偶 ? S 奇 ? [例 1]解答下述问题:

nd . 2

1 1 1 , , 成等差数列,求证: a b c b?c c?a a?b b b b (1) 成等差数列; (2) a ? ,? , c ? 成等比数列. , , a b c 2 2 2
(Ⅰ)已知 [解析]该问题应该选择“中项”的知识解决,

1 1 2 a?c 2 ① ? ? ? ? ? 2ac ? b(a ? c), a c b ac b ② b ? c a ? b bc ? c 2 ? a 2 ? ab b(a ? c) ? a 2 ? c 2 (1) ? ? ? ? a c ac ac 2 2( a ? c ) 2( a ? c ) ? ? . b( a ? c ) b b?c c?a a?b ? , , 成等差数列; a b c b b b b2 b (2)( a ? )(c ? ) ? ac ? (a ? c) ? ? (? ) 2 , 2 2 2 4 2 b b b ? a ? ,? , c ? 成等比数列. 2 2 2 ?
(Ⅱ)等比数列的项数 n 为奇数,且所有奇数项的乘积为 1024,所有偶数项的乘积为

128 2 ,求项数 n.
n ?1 a1 a3 a5 ? a n 1024 ? ? 4 2 ? a1 ? q 2 ? 4 2 [解析]设公比为 q,? a 2 a 4 ? a n ?1 128 2
35 2 5 2 35 2

(1)

而a1 a 2 a3 ? a n ? 1024 ? 128 2 ? 2 ? (a1 ? q ?
n ?1 n 2 35 2

? a1 ? q
35 2

1? 2 ? 3

? ? (n ? 1) ? 2

) ? 2 , 将(1)代入得(2 ) n ? 2 ,

5n 35 ? , 得 n ? 7. 2 2

(Ⅲ) 等差数列 {an}中,公 差 d≠0,在 此数列中依次 取出部分项组成的数列 :

a k1 , a k2 ,?, a kn 恰为等比数列, 其中k1 ? 1, k 2 ? 5, k 3 ? 17, 求数列 {k n }的前n项和.
[解析]? a1 , a5 , a17 成等比数列,? a5 ? a1 ? a17 ,
2

2

? (a1 ? 4d ) 2 ? a1 ? ( a1 ? 16 d ) ? d (a1 ? 2d ) ? 0 ? d ? 0,? a1 ? 2d , ? 数列{a k n }的公比q ? a 5 a1 ? 4d ? ? 3, a1 a1
① ②

? a k n ? a1 ? 3 n ?1 ? 2d ? 3 n ?1 而a k n ? a1 ? (k n ? 1)d ? 2d ? (k n ? 1)d 由 ①,② 得k n ? 2 ? 3 n ?1 ? 1, {k n }的前n项和S n ? 2 ?

3n ? 1 ? n ? 3 n ? n ? 1. 3 ?1

[例 3]解答下述问题: (Ⅰ)三数成等比数列,若将第三项减去 32,则成等差数列;再 将此等差数列的第二项减去 4,又成等比数列,求原来的三数. [解析]设等差数列的三项,要比设等比数列的三项更简单,设等差数列的三项分别为 a -d, a, a+d,则有

?(a ? d )( a ? d ? 32 ) ? a 2 ?d 2 ? 32 d ? 32 a ? 0 ? ? ?? ? 2 ?(a ? 4) ? (a ? d )( a ? d ) ?8a ? 16 ? d 2 ? ? 8 26 ? 3d 2 ? 32 d ? 64 ? 0,? d ? 8或d ? , 得a ? 10或 , 3 9 2 26 338 ? 原三数为2,10,50或 , , . 9 9 9
(Ⅱ)有四个正整数成等差数列,公差为 10,这四个数的平方和等于一个偶数的平方,求 此四数. [解析]设此四数为 a ? 15, a ? 5, a ? 5, a ? 15(a ? 15) ,

? (a ? 15 2 ) ? (a ? 5) 2 ? (a ? 5) 2 ? (a ? 15) 2 ? (2m) 2 (m ? N ? ) ? 4a 2 ? 500 ? 4m 2 ? (m ? a )( m ? a ) ? 125 , ?125 ? 1 ? 125 ? 5 ? 25, ? m ? a与m ? a均为正整数, 且m ? a ? m ? a, ?m ? a ? 1 ?m ? a ? 2 ?? ?? ?m ? a ? 125 ?m ? a ? 25
解得 a ? 62或a ? 12(不合),?所求四数为 47,57,67,77
一、 选择题 1 、 如 果 一 个 数 列 既 是 等 差 数 列 , 又 是 等 比 数 列 , 则 此 数 列 ( ) (A)为常数数列 (B)为非零的常数数列 , (C)存在且唯一 成等比数列,则 (D)不存在

2. 、 在 等 差 数 列 ( ) (A) a n

?a n ? 中 , a1 ? 4 , 且 a1 , a 5
(B) a n

a13

?a n ? 的 通 项 公 式 为

? 3n ? 1

? n ? 3(C) a n ? 3n ? 1 或 a n ? 4(D) an ? n ? 3 或 a n ? 4

3

3、已知

a, b, c

成等比数列,且

x, y

分别为

a



b



b



c 的等差中项,则

a c ? x y

的值为



) (A)

1 2

(B) ? 2

(C) 2

(D) 不确定

4、互不相等的三个正数 a, b, c 成等差数列, x 是 a,b 的等比中项,

y 是 b,c 的等比中项,那么 x 2 , b 2 ,

y 2 三个数(

) (A)成等差数列不成等比数列

(B)成等比数列不成等差数列 (D)既不成等差数列,又不成等比数列

(C)既成等差数列又成等比数列 5 、 已 知 数 列 ( ) (A) a n 、

?a n ? 的 前
? 2n ? 2
已 知

n

项 和 为 (B) a n

Sn

,

S 2 n?1 ? 4n 2 ? 2n
(C) a n

, 则 此 数 列 的 通 项公 式 为 (D) a n 则

? 8n ? 2

? 2 n ?1
,

? n2 ? n
( )

6

( z ? x) 2 ? 4( x ? y)( y ? z )

(A) x, y, z 成等差数列 (C)

(B) x, y, z 成等比数列 (D)

1 1 1 , , 成等差数列 x y z

1 1 1 , , 成等比数列 x y z

7、数列 (

?a n ? 的 前 n 项 和 S n

? a n ? 1 , 则 关 于 数 列 ?a n ? 的 下 列 说 法 中 , 正 确 的 个 数 有
②一定是等差数列,但不可能是等比数列 (C)2 ) (C)n
2

)①一定是等比数列,但不可能是等差数列 (A)4 (B)3

③可能是

等比数列,也可能是等差数列 是等比数列 8、数列 1

④可能既不是等差数列,又不是等比数列 (D)1

⑤可能既是等差数列,又

1 1 1 1 ,3 ,5 ,7 ,?,前 n 项和为 ( 2 4 8 16 1 1 1 2 2 (A)n ? n ? 1 (B)n ? n ?1 ? 2 2 2
9、若两个等差数列

?n?

1 ?1 2n

(D)n

2

?n?
,则

1 2
n ?1

?

1 2


?a n ?、 ?bn ? 的前 n 项和分别为 An
(B)

、 B n ,且满足

An 4n ? 2 ? Bn 5n ? 5

a5 ? a13 b5 ? b13

值为(

) (A)

7 9

8 7

(C)

19 20

(D) ,则数列

7 8

10 、 已 知 数 列 ( ) (A)56

?a n ? 的 前
(B)58

n

项和为

S n ? n 2 ? 5n ? 2
(D)60

?a ? 的 前
n
n

10 项 和 为

(C)62

11、已知数列 序

?a n ?的通项公式 an
排 成 一 个

? n ? 5 为,
的 数



?a n ?中依次取出第 3,9,27,…3 , …项,按原来的顺
, 则 此 数 列 的 前 n 项 和 为





( 12 、

) (A) 下

n(3 n ? 13) n (B)3 ? 5 2
列 命 题 中

(C)

3 n ? 10 n ? 3 2
是 真 命

(D) 题

3 n ?1 ? 10 n ? 3 2
的 是

4

(

) A.数列

?a n ?是等差数列的充要条件是 an

? pn ? q ( p ? 0 )

B.已知一个数列

?a n ?

的前 n 项和为 S n C.数列

? an 2 ? bn ? a ,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列

?a n ?是等比数列的充要条件 an ? abn?1 ?a n ?的前 n 项和 S n
? abn ? c (a ? 0, b ? 0, b ? 1) ,则此数列是等比数列的充要

D. 如果一个数列 条件是 a ? c 二、填空题

?0

13、各项都是正数的等比数列

?a n ?,公比 q ? 1 a5 , a7 , a8 ,成等差数列,则公比 q =
a1 ? a5 ? a17 a 2 ? a6 ? a18
=

14、已知等差数列

?a n ?,公差 d ? 0 , a1 , a5 , a17 成等比数列,则
1 ? 1? a n ,则 a n = 4

15、已知数列

?a n ?满足 S n

16、在 2 和 30 之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个数的等 比中项为 二、 解答题 17 、 已 知 数 列

?a n ? 是 公 差 d

不为零的等差数列,数列

?a ? 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 ,
bn

b1 ? 1, b2 ? 10, b3 ? 46
18、已知等差数列

,求公比 q 及 bn 。

?a n ?的公差与等比数列 ?bn ? 的公比相等,且都等于 d

(d ? 0, d ? 1) , a1 ? b1



a3 ? 3b3 , a5 ? 5b5 ,求 a n , bn 。
19、有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为 216,后三个数成等差数列,其和为 36,求这四个数。 20、已知 21、数列

?a n ?为等比数列, a3 ? 2, a2 ? a4 ? 20 ,求 ?an ? 的通项式。
3

?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? 1? n ? 1? ?an ? 的通项公式;
(Ⅱ) 等差数列

(Ⅰ) 求

?bn ? 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15 ,

又 a1 ? b1 , a2

? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求 Tn

22、已知数列

?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). ?an ? 的通项公式;
?bn ? 满足 4b ?1.4b ?1...4b ?1 ? (an ? 1)b (n ? N ? ) ,证明: ?bn ? 是等差数列;
1 2 n n

(I)求数列

(II)若数列

5

数列综合题
一、选择题 题 号 答 案 二、填空题 13. 1 B 2 D 3 C 4 A 5 A 6 A 7 C 8 A 9 D 10 D 11 D 12 D

1? 5 2

14.

26 29

15.

4 1 n (? ) 3 3

16. ? 6 3

三、解答题 17.a b1 =a1,a b2 =a10=a1+9d,a b3 =a46=a1+45d 由{abn}为等比数例,得(a1+9d)2=a1(a1+45d)得 a1=3d,即 ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d. ∴q=4 又由{abn}是{an}中的第 bna 项,及 abn=ab1·n-1=3d·n-1,a1+(bn-1)d=3d·n-1 4 4 4

∴bn=3·n-1-2 4 18.∴ a3=3b3 , ?a1+2d=3a1d2 , ?a1(1-3d2)=-2d ?a5=5b5, ?a1+4d=5a1d4 , ∴a1(1-5d4)=-4d

① ②

② 1 ? 5d 4 5 5 1 ,得 =2,∴ d2=1 或 d2= ,由题意,d= ,a1=- 5 。∴an=a1+(n-1)d= (n-6) 2 ① 5 5 5 1 ? 3d bn=a1dn-1=- 5 · (

5 n-1 ) 5

19.设这四个数为

a , a, aq,2aq ? a q

由①,得 a3=216,a=6 ③

?a ? ·a ? aq ? 216 则 ?q ?a ? aq ? (3aq ? a ) ? 36 ?
③代入②,得 3aq=36,q=2


∴这四个数为 3,6,12,18

a3 2 20.解: 设等比数列{an}的公比为 q, 则 q≠0, a2= = , a4=a3q=2q q q 所以 2 20 1 1 1 - 18 - + 2q= , 解得 q1= , q2= 3, 当 q1= , a1=18.所以 an=18× )n 1= n-1 = 2× 3 n. ( 3 q 3 3 3 3 3 2 2 - , 所以 an= × 3n-1=2× n 3. 3 9 9

当 q=3 时, a1=

21.解:(I)由 an ?1 ? 2Sn ? 1 可得 an ? 2 Sn ?1 ? 1? n ? 2 ? ,两式相减得

6

an ?1 ? an ? 2an , an ?1 ? 3an ? n ? 2 ? 又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1
故 ? an ? 是首项为 1 ,公比为 3 得等比数列 ∴ an ? 3n ?1 (Ⅱ)设 ?bn ? 的公差为 d 由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 由题意可得 ? 5 ? d ? 1?? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3? 解得 d1 ? 2, d 2 ? 10 ∵等差数列 ?bn ? 的各项为正,∴ d ? 0 ∴d ? 2 ∴ Tn ? 3n ?
2

n ? n ? 1? 2

? 2 ? n 2 ? 2n

22(I) ? an ?1 ? 2an ? n ?,) * : ( 1 N

? an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1), ??an ? 1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
? an ? 1 ? 2n.


an ? 22 ? 1(n ? N * ).
b ?1

(II)证法一:? 4 1 4 2 ...4 n

b ?1 b ?1

? (an ? 1)bn . ? 4(b1 ?b2 ?...?bn )?n ? 2nbn .
① ②

? 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn , 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn ?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn ?1.
②-①,得 2(bn ?1 ? 1) ? (n ? 1)bn ?1 ? nbn , 即 (n ? 1)bn ?1 ? nbn ? 2 ? 0, ④-③,得 ③

nbn? 2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0.




nbn? 2 ? 2nbn ?1 ? nbn ? 0,

bn? 2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,

? bn ? 2 ? bn ?1 ? bn ?1 ? bn (n ? N * ),

??bn ? 是等差数列

等差数列与等比数列解题技巧 一、求数列通向公式的方法 1、分析法 通过与一些已知通向公式的基本数列进行比较、 分析、 归纳综合找数列的项与项数之间的关 系,求出数列的通向公式. 例 1、写出数列的一个通向公式 (1)、0.7,0.77,0.777.0.7777,... (2) 、2,

5 13 33 81 , , , ,... 2 4 8 16

解: (1)原列各项可以写成有数列 ?an ?: 0.9,0.99,0.999 ,...的每一项除以9乘7得到,而
7

7 7 an ? ?1 ? 0.1n ? 9 9 1 1 1 1 1 (2) 、原数列可改写为 1 ? 0 ,2 ? 1 ,3 ? 2 ,4 ? 3 ,5 ? 4 ,..., 2 2 2 2 2 1 故其通向公式为 an ? n ? n ?1 2
an ? 1 ? 0.1n , 故原数列的一个通向公式为 bn ?
例 2、根据下面各个数列的首项和递推公式,写出它的前 4 项并归纳出数列的一个通向公式 (1)、 a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? (n ? N ) ; (2)a1 ? 1, an ?1 ?
?

2 an (n ? N ? ) an ? 2

解:分析:写出前 4 项,找出规律,然后归纳出通向公式. (1)、由已知,得

a1 ? 1, a2 ? 2a1 ? 1 ? 3

a3 ? 2a2 ? 1 ? 7, a4 ? 2a3 ? 1 ? 15,
即 a1 ? 2 ? 1, a2 ? 2 ? 1,
2

a3 ? 23 ? 1, a4 ? 2 4 ? 1,
故数列的一个通向公式为 an ? 2 ? 1(n ? N )
n ?

(2)、由已知,得 a1 ? 1, a2 ?

2a1 2 ? , a1 ? 2 3

a3 ?

2a3 2a2 1 2 2 2 1 2 2 ? , a4 ? ? , 即 a1 ? 1 ? , a2 ? , a3 ? ? , a4 ? . a2 ? 2 2 a3 ? 2 5 2 3 2 4 5

故数列的一个通向公式为 an ?

2 (n ? N ? ) n ?1

注:上述题设给出,数列的前 n 项或给出递推公式和初始条件,分析数列的特征,找出规律, 写出通向公式. 2、待定系数法 例 1、已知数列 ?a n ?的通向公式是关于 n 的二次多项式,按照下列条件,写出数列 ?a n ?的一 个通向公式. (1)、 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 7; (2) a1 ? 2, a2 ? 4, a3 ? 8; (3) a1 ? 3, a2 ? a3 ? 0. 、 、 分析:设出 an ? an ? bn ? c, 然后将 a1、a2、a3 代入求出系数 a、b、c, 即得通向公式.
2

?a ? b ? c ? 1, ?a ? 1, ? ? 解: 、 an ? an ? bn ? c, 依题意,得 ?4a ? 2b ? c ? 3, 解得 ?b ? ?1, (1) ?9a ? 3b ? c ? 7, ?c ? 1, ? ?
2

8

? an ? n 2 ? n ? 1.

?a ? b ? c ? 2, ?a ? 1, ? ? 2 (2)、设 an ? an ? bn ? c, 依题意,得 ?4a ? 2b ? c ? 4, 解得 ?b ? ?1, ?9a ? 3b ? c ? 8, ?c ? 2, ? ?
? an ? n 2 ? n ? 2.

3是方程an ? 0的两个根。 an ? a(n ? 2)( n ? 3), (3)、? a2 ? a3 ? 0,? 2、 设

3 ?当n ? 1时,a1 ? 3,? a ? , 2 3 ? an ? (n ? 2)( n ? 3). 2
注:由 n 个独立条可确定 n 个参数的值,因此,当已知数列 ?a n ?中 m 项数值时,可设通项 为(m-1)次多项式,并应用待定系数法,求出这一多项式个项系数的值,进而写出 a n 的表 达式。 3、换元法 换元的关键步骤是变换题设中所给的递推公式, 构造出等差数列或等比数列, 这种被构造出 来的数列称为辅助数列,借助辅助数列便可求得原数列的通向公式.

中 例 1、已知数列 ?an ? , a1 ? p, a2 ? q, 且an ? 2 ? 2an ?1 ? an ? d , 求数列 ?a n ?的通向公式.
分析: an ? 2 ? 2an ?1 ? an ? d 变形为 (an ? 2 ? an?1 ) ? (an ?1 ? an ) ? d , 换元后转化为求等差数 将 列的通向公式. 解:将已知条件改写为 (an ? 2 ? an?1 ) ? (an ?1 ? an ) ? d , 令 un ? an ?1 ? an , 则un ?1 ? un ? d . 数列 ?u n ? 是以 u1 ? a2 ? a1 ? q ? p 为首项,公差为 d 的等差数列,

? un ? u1 ? (n ? 1)d ? (q ? p ) ? (n ? 1)d . 又a2 ? a1 ? u1 , a3 ? a2 ? u2 , a4 ? a3 ? u3, ..., an ? an ?1 ? un ?1 ,
将上述(n-1)个式子相加,得:

1 an ? a1 ? u1 ? u2 ? ? ? un ?1 ? (n ? 1)( q ? p) ? (n ? 1)( n ? 2)d 2

1 ? an ? p ? (n ? 1)( q ? p) ? (n ? 1)( n ? 2)d . 2
9

的通向公式。 例 2、数列 ?an ?满足a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 1, 求数列?an ?
分析:将 an ?1 ? 2an ? 1变形为an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1), 转化为求等比数列的通向公式.

, 2 ) 解:? an ?1 ? 2an ? 1 ? an ?1 ? 1 ? (an ? 1 . 令un ? an ? 1, 则un?1 ? 2un , u1 ? a1 ? 1 ? 2,

?数列 ?u n ?是以 u1 ? 2 为首项,以 2 为公比的等比数列.
? un ? 2 ? 2n?1 ? 2n ,即an ? 1 ? 2n ,? an ? 2n ? 1.
4、累加法 例 1、求数列 ?a n ?:6,9,14,21,30,...的通向公式. 分析:观察数列的特征,后面一项减去前面一项的差组成的数列 ?bn ?:3,5,7,9,...是首 项为 3,公差为 2 的等差数列,故可先求出数列 ?bn ?的通向公式,再推出 ?a n ?的通向公式. 解:设原数列中相邻两项(后项减去前项)的差所组成的数列 ?bn ?,则 bn ? 2n ? 1 , 显然, a2 ? a1 ? b1 ? 3, a3 ? a2 ? b2 ? 5, a4 ? a3 ? b3 ? 7,?, an ? an?1 ? bn?1 ? 2n ? 1, 各式相加,得:

an ? a1 ? 3 ? 5 ? ? ? 2n ? 1 ? n 2 ? 1, ? an ? 6 ? n 2 ? 1 ? n 2 ? 5.
5、乘约法 例 1、已知数列 ?a n ?满足 an ?1 ? 2 an ,且 a1 ? 2 ,求通向公式 a n .
n

分析:由 an ?1 ? 2 an 得
n

an ?1 ? 2 n ,当 n ? 1,2,3,...,(n-1)时得到 n-1 个关系式,将 an

这 n-1 个关系式连乘可得 a n 的通向公式. 解:由 an ?1 ? 2 an 得
n

an ?1 ? 2n , an

当 n ? 1 时,有

a a a2 a ? 2, 3 ? 2 2 , 4 ? 23 ,? n ? 2 n ?1 , a1 a2 a3 an ?1
n ( n ?1) 2

将以上各式左右两端分别相乘得 an ? 21? 2???( n?1) a1 ? 2 又 a1 也满足上式,

?2 ? 2

n ( n ?1) ?1 2



10

??an ? 的通向公式为an ? 2

n ( n ?1) ?1 2 .

注:必须对 a1 进行验证,若 a1 满足关系式,则统一写成 a n 的形式;若 a1 不满足,要写成分 段形式. 6、构造数列法 由已知递推公式进行变形,构造出新的等比数列,然后用累加法、乘约法或直接利用等比数 列写出通向公式. 例 1 、 已 知 数 列 ?a n ? 满 足 ?

?a1 ? b, 其 中 c ? 0,1. 证 明 这 个 数 列 的 通 向 公 式 是 ?an ?1 ? can ? d

an ?

bcn ? (d ? b)c n ?1 ? d . c ?1
n ?1

分析:由递推关系可分别用累加法和构造数列法证明. 证法 1(累加法)? an ?1 ? can ? d ,两边同除以 c 得:

当 n ? 1 时,有:

an?1 an d ? n ? n?1 , n ?1 c c c

an an?1 d a2 a1 d a3 a2 d ? ? 2 , 3 ? 2 ? 3 ,?, n ? n?1 ? n , 2 c c c c c c c c c
将以上各式分别相加,得

1 1 (1 ? n ?1 ) 2 an a1 1 1 1 c ? ? d ( 2 ? 3 ?? ? n ) ? d c n 1 c c c c c , 1? c

? an ?

bcn ? (d ? b)c n ?1 ? d . c ?1

证法 2: (构造法)设 an ?1 ? can ? d 可化为 an ?1 ? r ? c(an ? r ) , 由待定系数法可得:

an ?1 ?

d d ? c ( an ? ), c ?1 c ?1
d ? d 为首项,以 c 为公比的等比数列, ? 为以 b ? c ? 1? c ?1

可知数列 ?an ?

? ?

? an ?

d d ? (b ? )c n?1 , c ?1 c ?1
bcn ? (d ? b)c n ?1 ? d . c ?1

? an ?

7、递推法

11

例 1、 已知数列 ?a n ?中,a1 ? 2 ,an ?1 ? ( 2 ? 1)( an ? 2) ,n ? 1,2,3,?, 求 ?a n ?的通向公式; 解:? an ?1 ? ( 2 ? 1)( an ? 2) ,

? an ? ( 2 ? 1)an ?1 ? (2 2 ? 2)

?
?

?

2 ?1

? ??

2 ? 1 an ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 2 ? 2

?

?

?? ?

?

?

2 ? 1 an ? 2 ?

?

2

?

2 ?1 2 2 ? 2 ? 2 2 ? 2

??

? ?

?

??
?

?

2 ?1

?

n ?1

a1 ? 2 2 ? 2 ?1 ? ? ?

?

? ?

2 ?1 ?

? ?

2 ?1 ? ? 2 ?1

?

2

?

?

n?2

? ? ?

? 2 2 ?1

?

?

n ?1

1 ? 2 ?1 ? 2 2 ?1 1? 2 ?1
? 2? 2

?

? ?
?
.

?

n ?1

? 2 2 ?1

?

?

n ?1

2 ?1

?

n ?1

? 2 ? 2? 2

?

??

2 ?1

?

n ?1

二、简单的递推数列即处理策略 (1)、对 an ? an ?1 ? f ?n ?或

an ? f ?n ? 型数列通项的求法可用累加法或乘约法. an ?1

(2)、对 an ? Aan ?1 ? f ?n ? 型数列通项的求法可用累加法和构造数列法. (3)、对 an ? 2 ? Aan ?1 ? Ban 型数列通项的求法可用累加法和构造数列法.

(4)对 an ?

Can ?1 ? D 型数列通项的求法两边同加上一个常数,这个常数是方程 Aan ?1 ? B

Ax 2 ? ?C ? B ?x ? D ? 0 的根,然后构造数列求解.
(5)、 f ?an , sn ? ? 0 型数列通项的求法由 an ? sn ? sn?1 ?n ? 2? 代入原关系式中化只含有 对

a n 或 s n 的关系式,然后求解.
1、有关“ a1 ? a , an ? an ?1 ? f ?n ?或

an ? f ?n ? ”型数列通项公式的求法. an ?1

例 1、数列 ?a n ?中, a1 ? 2 an ?1 ? an ? cn ( c 为常数, n ? 1,2,3,? )且 a1 , a2 , a3 成公比不 , 为 1 的等比数列.

12

(1)、求 c 的值; 分析: (1)由 a1 , a2 , a3 成等比数列可求出 c ; (2)用累加法可求通向公式. 解(1) a1 ? 2 , a2 ? 2 ? c, a3 ? 2 ? 3c , 因为 a1 , a2 , a3 成等比数列, 所以 ?2 ? c ? ? 2?2 ? 3c ? ,
2

解得 c ? 0 或, c ? 2 当 c ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 不符合题意,舍去,故 c ? 2 . (2)当 n ? 2 时,由于 a2 ? a1 ? c, a3 ? a2 ? 2c,?? an ? an ?1 ? ?n ? 1?c , 所以 an ? a1 ? ?1 ? 2 ? ? ? ?n ? 1??c ?
2

n?n ? 1? c. 2

又 a1 ? 2 , c ? 2 故 an ? n ? n ? 2 ?n ? 2,3,?? .当 n =1 时,上式也成立. 所以 an ? n ? n ? 2?n ? 1,2,?? .
2

2、有关“ a1 ? a , an ? Aan ?1 ? f ?n ? ? A ? 0 ? ”型数列通项公式的求法. 例 1、在数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , an ?1 ? 2an ? 2 .
n

(1)、设 bn ?

an ,证明:数列 ?bn ?是等差数列. 2 n ?1

(2)、求数列 ?a n ?的前 n 项和 S n . 分析:此题可先求出 a n ,也可通过变形直接证明,求出 bn ,再求出 a n ,进而求出 S n . (1)证明:? an ?1 ? 2an ? 2 ,?
n

an ?1 a ? nn 1 ? 1 n 2 2?

? bn ?

an ,? bn ?1 ? bn ? 1 ,即 bn ?1 ? bn ? 1 , b1 ? 1 , 2 n ?1

故数列 ?bn ?是首项为 1,公差为 1 的等差数列。 (2)解:由(1)知 bn ? n , an ? n2
n ?1

,则

S n ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? ? ? ?n ? 1? ? 2n ?2 ? n ? 2n ?1 , 2S n ? 1? 21 ? 2 ? 2 2 ? ? ? ?n ? 1? ? 2n ?1 ? n ? 2n ,
两式相减,得

S n ? n ? 2n ? 1? 20 ? 21 ? ? ? 2n ?1 ? n ? 2n ? 2n ? 1 .
13

3、有关“ a1 ? a, a2 ? b , an ? 2 ? Aan ?1 ? Ban A、B为常数 ”型数列通项公式的求法. 例 1、已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 an ?1 ? ?1 ? q ?an ? qan ?1 ( n ? 2 , q ? 0 ). (1)、设 bn ? an?1 ? an n ? N

?

?

?

?

?,证明 ?b ?是等比数列;
n

(2)、求数列 ?a n ?的通向公式; 分析:首先将原关系式变形为 an ?1 ? an ? q?an ? an ?1 ?,构造出新的数列可证明 bn 为等比数 列,且 a n 可求. (1)证明:由题设 an ?1 ? ?1 ? q ?an ? qan ?1 ( n ? 2 ) ,得

an ?1 ? an ? q?an ? an ?1 ?,即 bn ? qbn ?1 , ?n ? 2? 。
由 b1 ? a2 ? a1 ? 1, q ? 0, 所以?bn ?是 首项为 1,公比为 q 的等比数列。 (2)解:由(1) ,

a2 ? a1 ? 1, a3 ? a2 ? q,?,
an ? an ?1 ? q n ? 2 ?n ? 2?.
将以上各式相加,得 an ? a1 ? 1 ? q ? ? ? q 即 an ? a1 ? 1 ? q ? ? ? q 所以当 n ? 2 时,
n?2 n?2

?n ? 2? ,

?n ? 2?

? 1 ? q n ?1 , q ? 1, ?1 ? 上式对 n ? 1 显然成立. an ? 1? q ?n,???, q ? 1. ?
4、有关“ a1 ? a, an ? 项公式的求法. 例 1、已知数列 ?a n ?的首项 a1 ? 数列. 证明:? an ?1 ?

Can ?1 ? D (其中 A、B、C、D 为不同时为零的常数) ”型数列通 Aan ?1 ? B
?1 ? 2an 2 , n ? 1,2,?. 证明:数列 ? ?1? 是等比 , an ?1 ? an ? 1 3 ? an ?

2an a ?1 1 1 1 1 ,? ? n ? ? ? , an ? 1 an ?1 2 an 2 2 an

14

?

1 1 1 ? 1 ? ( ? 1). an ?1 2 an 1 1 2 ,? ? 1 ? , a1 2 3

又 a1 ?

?1 ? 1 1 ?数列 ? ?1? 是以 为首项, 为公比的等比数列. 2 2 ? an ?
5、有关“ a1 ? a, f ?an , sn ? ? 0 ”型数列通项公式的求法. 例 1、设数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 2an ? 2 .
n

(1)、求 a3 、 a 4 ; (2)、证明: ?an ?1 ? 2an ? 是等比数列; (3)、求 ?a n ?的通向公式. 分 析 : 可 通 过 递 推 关 系 S n ? 2an ? 2 求 a1 , 由 2an ?1 ? S n ?1 ? 2
n

n ?1

? an?1 ? S n ? 2n?1 得

an ?1 ? S n ? 2 n ?1 可得出 a2 、 a3 、 a3 要注意 an ? S n ? S n ?1 ?n ? 2? 的关系.
解(1)? a1 ? S1 ,2a1 ? S1 ? 2, ? a1 ? 2, S1 ? 2 . 由 2an ? S n ? 2 知 2an ?1 ? S n ?1 ? 2
n

n ?1

? an?1 ? S n ? 2n?1 ,得 an ?1 ? S n ? 2 n ?1.?1?

? a2 ? S1 ? 22 ? 2 ? 22 ? 6 , S 2 ? 8, a3 ? S 2 ? 23 ? 8 ? 23 ? 16, S3 ? 24, a4 ? S3 ? 24 ? 40
(2)、由题意和(1)式知 an ?1 ? 2an ? S n ? 2

?

n ?1

?? ?S
n?2

n

? 2n ? 2n ?1 ? 2n ? 2n ,

?

所以 ?an ?1 ? 2an ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列. (3)、 an ? ?an ? 2an ?1 ? ? 2?an ?1 ? an ?2 ? ? ? ? 2

?a2 ? 2a1 ? ? 2n?1 a1

? ?n ? 1? ? 2n?1 .
三、数列求和 对于数列的求和问题, 一般先要仔细地分析数列的通向公式的特点, 在分析通项的基础上再 来确定是选用哪种求和方法.若不能直接求和的数列可以拆或并成几个可以求和的数列,用 分组法。若数列的每一项变为两数之差,可以使大部分项能“正、负抵消” ,只剩下有限的 几项,此时可用裂项法;若一个数列距首末等距离的和相等,可采用倒序相加法;若数列的 各项是由一等差数列和一等比数列组成的,可用错位相减法;若数列的通项 a n 中含 ?? 1? ,
n

15

可分类讨论或错位相减法. 1、错位相减法:这是在推倒等比数列前 n 项和公式所用的方法,这种方法主要用于求数列

?an ? bn ?的前 n 项和,其中 ?an ?、 ?bn ?
2 3

分别是等差数列和等比数列.
n ?1

例 1、求和 S n ? 1 ? 3x ? 5 x ? 7 x ? ? ? ?2n ? 1?x 解:当 x ? 1 时, S n ? n ;
2

当 x ? 1 时,? S n ? 1 ? 3x ? 5 x ? 7 x ? ? ? ?2n ? 1?x
2 3

n ?1

? xSn ? x ? 3x 2 ? 5 x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ?2n ? 1?x n
两式相减得:

?1 ? x ?S n ? 1 ? ?2n ? 1?x n ? 2 x?1 ? x
?
? Sn ?

? 1 ? 2 x?1 ? x ? x 2 ? ? ? x n ? 2 ? ? ?2n ? 1? ? x n
n ?1

?

?2n ? 1?x

n ?1

1? x ? ?2n ? 1?x n ? ?1 ? x ? , 1? x

?2n ? 1?x n?1 ? ?2n ? 1?x n ? ?1 ? x ? . ?1 ? x ?2

2、倒序相加法:将一个数列倒过来排列(倒序) ,当它与原数列相加时, ,若有公因式可提并 且 剩余 的项的 和易 于求得 ,则 这样的 数列可 用倒 序相 加法求 和。等 差数 列求 和公式

Sn ?

n?a1 ? an ? 就是用倒序相加法推倒出来的. 2
1 2 3 n

例 1、求和: S ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn , 分析在:注意到 Cn ? Cn , Cn ? Cn ,?, 且相等项的系数之和都为 n ,故可用“倒序相加
1 2 n ?1 n?2

法”求和。 解: S ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ,
1 2 3 n n n n 1 S ? nCn ? ?n ? 1?Cn ?1 ? ?n ? 2?Cn ?2 ? ? ? Cn , 0 1 2 n n ? 2S ? nCn ? nCn ? nCn ? ? ? nCn ?1 ? nCn 0 1 2 n ? n(Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ) ? n ? 2n ,

? S ? n ? 2n?1
3、分组求和法 有一类数列, 既不是等差数列, 也不是等比数列。 若将这类数列适当拆开, 可分为几个等差、 等比或常见的数列,分别求和,然后再合并.

16

例 1、求数列 ?n?n ? 1??2n ? 1?? 的前 n 项和. 解:? an ? n?n ? 1??2n ? 1? ? 2n ? 3n ? n,
3 3

? S n ? 2 13 ? 23 ? ? ? n3 ? 3 12 ? 22 ? ? ? n 2 ? ?1 ? 2 ? ? ? n ?

?

? ?

?

?

n 2 ?n ? 1? n?n ? 1??2n ? 1? n?n ? 1? ? ? 2 2 2
2 2

n?n ? 1? ?n ? 2? ? . 2
3、裂项法:这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用, 裂项法的实质是将数列中的某些 项分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的。 例 1、 an ?

1 1 1 1 ? ( ? ), n?n ? 2? 2 n n ? 2

?2n ?2 bn ? ?2n ? 1??2n ? 1?
1 1 1 ? 1? ( ? ). 2 2n ? 1 2n ? 1
? ?n ? 1?2 ? 1? 例 2、求数列 ? ? 的前 n 项和. 2 ? ?n ? 1? ? 1 ?
分析:变换通向公式,将其拆为若干项的和或差.拆项的原则是在各项相加的过程中能消去 一些项.

?n ? 1?2 ? 1 ? ?n ? 1?2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 解:? 2 2 ?n ? 1? ? 1 ?n ? 1? ? 1 ?n ? 1?2 ? 1
? 1? 2 1 1 , ? 1? ? n?n ? 2? n n?2
2

?n ? 1? ? 1 2 2 ? 1 32 ? 1 4 2 ? 1 ? Sn ? 2 ? 2 ? 2 ?? ? 2 ?1 3 ?1 4 ?1 ?n ? 1?2 ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? ) 1 3 2 4 3 5 n n?2
1 1 1 ? ? ?1 ? 1 ? ? ? 1? ? 1 ? ? ????? ? ? 2 n ?1 n ? 2
n个1

3 1 1 ? n? ? ? . 2 n ?1 n ? 2
注:将通项进行变换,构造两项之差,这是求和过程中消项的基础.常见的拆项公式有

17

?1?
?3?

1 1 1 ? ? n?n ? 1? n n ? 1



?2?

1 1 1 1 ? ( ? ) n ?1 2 n ?1 n ? 1
2



1 1 1 1 1 1 1 1 ? [ ? ]; ?4? ? ( ? ); n?n ? 1??n ? 2? 2 n?n ? 1? ?n ? 1??n ? 2? n?n ? k ? k n n ? k 1 1 m m m ? ( n ? k ? n ); ?6?n ? n!? ?n ? 1?!?n!; ?7 ?Cn ?1 ? Cn ?1Cn ; n?k ? n k

?5?

?8?an ? Sn ? Sn?1 ?n ? 2?.
4、并项法 例 1、求 S100 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?99 ? 100 的值. 分析:本题可以视为求两个等差数列的代数和,但运算量较大。若用并项求和法轻而易举就 可以解决。 解: S100 ? ?1 ? 2? ? ?3 ? 4? ? ? ? ?99 ? 100 ? ? ?50 . 5、降次递推法 例 1、求和 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n
2 2 2 3 3 2

分析:可利用公式 ?k ? 1? ? k ? 3k ? 3k ? 1,
2

? ?k ? 1? ? k 3 ? 3k 2 ? 3k ? 1, 令 k ? 1,2,3,?, n,
3

分别代入上式,得 2 ? 1 ? 3 ?1 ? 3 ?1 ? 1; 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1;
3 3 2 3 3 2

43 ? 33 ? 3 ? 32 ? 3 ? 3 ? 1;?; ?n ? 1? ? n3 ? 3 ? n 2 ? 3 ? n ? 1;
3

将以上各式分别相加,得:

?n ? 1?3 ? 1 ? 3 ? ?12 ? 22 ? 32 ? ? ? n 2 ? ? 3?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n? ? n.
? 3 ? 12 ? 22 ? ? ? n 2 ? ?n ? 1? ? 1 ?
3

?

?

3 2 3 ?n ? 1?n ? n ? 2n ? 3n ? n 2 2

?

n?n ? 1??2n ? 1? . 2

S n ? 12 ? 22 ? 32 ? ? ? n 2 ?

n?n ? 1??2n ? 1? . 6

18


相关文章:
等差数列与等比数列解题技巧与基础知识复习
等差数列与等比数列解题技巧与基础知识复习_数学_高中教育_教育专区。等差数列与等比数列解题技巧与基础知识复习(一)知识归纳:1.概念与公式: ①等差数列:1°.定义:...
(非常好)等差等比数列基础知识点以及练习题(含答案)
2013 一、等差等比数列基础知识点(一)知识归纳: 1.概念与公式: ①等差数列:1...明的性质解题. 3.巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法,例如:①三数...
等差数列、等比数列知识点梳理
等差数列等比数列知识点梳理_从业资格考试_资格考试...解决等差数列问题时,通常考虑两类方法: ①基本量法...2 ) ,则求该数列的通项公式 解题大致思路: 先设...
等差等比数列基础知识点
等差等比数列基础知识点_数学_自然科学_专业资料。数列知识点梳理一、等差等比...证明的性质解题. 3.巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法,例如:①三...
等差等比数列基础知识点
等差等比数列基础知识点_高二数学_数学_高中教育_教育专区。一、等差等比数列基础知识点(一)知识归纳: 1.概念与公式: ①等差数列:1°.定义:若数列 {an }满足...
等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点
等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点_数学_高中教育_教育专区。等差等比数列练习题 一、 选择题 1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列 (A...
等差数列和等比数列的复习
等差数列和等比数列复习 一、知识要点 1.等差数列和等比数列是两种最基本,最...将等差、等比数列问题,转化 为关于这五个基本量的运算问题,是常见的解题方法. ...
等差等比数列练习题以及基础知识点
一、等差等比数列基础知识点(一)知识归纳: 1.概念与公式: ①等差数列:1°.定义:若数列 {a n }满足a n ?1 ? a n ? d (常数), 则{a n } 称等差...
等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点
一、等差等比数列基础知识点(一)知识归纳: 1.概念与公式: ①等差数列:1°....明的性质解题. 3.巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法,例如:①三数...
更多相关标签: