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云南省麻栗坡民族中学2012-2013学年高二数学上学期期末考试试题新人教A版


麻栗坡民族中学 2012-2013 秋季学期高二期末 数学试卷

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。 第一部分(选择题 共 60 分) 一 、选择题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项。 ( 1 )下列给出的赋值语句中正确的是:( ) A、3=A B、x+y=0 C、B=A=2 D、x+y=0 ( 2 )某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点,公 司为了调查产品销售的情况, 需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本, 记这项 调查为(1); 在丙地区中有 20 个特大型销售点, 要从中抽取 7 个调查其销售收入和售后服 务情况, 记这项调查为(2)。 则完成(1)、 (2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是 ( ) A、 分层抽样法,系统抽样法 B、分层抽样法,简单随机抽样法 C、系统抽样法,分层抽样法 D、简单随机抽样法,分层抽样法

?2 x ? y ? 2 ? ( 3 ) 、设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为( ?x ? y ? 1 ?
A.18 B.2 C.3 D.0

)

( 4 ) 、若

1 1 ? ? 0 ,则下列不等式中,正确的不等式有 a b b a ① a ? b ? ab ②a ?b ③a ?b ④ ? ?2 a b

(

)

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ( 5 )△ABC 中,若 c ? 2a cos B ,则△ABC 的形状为( ) A.直角三角形 形 ( 6)如果 log3 m ? log3 n ? 4 ,那么 m ? n 的最小值是( A.4 B. 4 3 C.9 ) D.18 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.锐角三角

( 7)设不等式组 ?

?0 ? x ? 2, 表示的平面区域为 D ,在区域 D 内随 ?0 ? y ? 2
)
1

机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是(

(A) (C)

? 4 ? 6

(B) (D)

? ?2
2 4 ?? 4
)

(8)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( (A)8 (B)6 (C)4 (D)2

(9)数列 ?a n ?中, a1 =15, 3a n ?1 ? 3a n ? 2 ( n ? N ) ,则该数列中相邻两项的乘积是负
*

数的是( ) A. a 21a 22

B. a 22 a 23
*

C. a 23 a 24

D. a 24 a 25

(10)数列 ?a n ?的通项为 a n = 2n ? 1 , n ? N ,其前 n 项和为 S n ,则使 S n >49 成立的 n 的 最小值为( A.7 ) B.8 C.9 D.10 ) D.﹣ ) D. 30
?

(11)在等比数列 ?a n ?中, a7 ? a11 =6, a 4 ? a14 =5,则 A.

3 2 (12)△ABC 中,已知 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? bc ,则 A 的度数等于(
B. A. 120
?

2 3

a 20 等于( a10 3 2 C. 或 2 3
C. 150
?

2 3 或﹣ 3 2

B. 60

?

第二部分(非选择题 共 90 分) 二、填空题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 (13)已知 {an } 为等差数列, S n 为其前 n 项和,若 a1 ? (14)函数 y ? lg(12 ? x ? x ) 的定义域是
2

1 , S2 ? a3 ,则 a2 ? _________ 2

(15)在 ?ABC 中,若 a ? 3 , b ? 3 , ?A ?

?
3

,则 ?C 的大小为_____

(16)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:

则第 n 个图案中有白色地面砖 三、解答题:(共 70 分)

块.

2

17.已知 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三内角,且其对边分别为 a 、 b 、 c ,若

cos B cosC ? sin B sin C ?
(Ⅰ)求 A ; 分) (4

1 . 2

(Ⅱ)若 a ? 2 3 , b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.(6 分)

18、已知: f ( x) ? ax ? (b ? 8) x ? a ? ab ,当 x ? (?3,2) 时,
2

f ( x) ? 0 ; x ? (??,?3) ? (2,??) 时, f ( x) ? 0
(1)求 y ? f (x) 的解析式( 6 分 )

(2)c 为何值时, ax ? bx ? c ? 0 的解集为 R. ( 6 分 )
2

19、已知等差数列 ? an ? 的前四项和为 10,且 a2 , a3 , a7 成等比数列 (1)求通项公式 an (6 分 )

(2)设 bn ? 2 n ,求数列 bn 的前 n 项和 sn ( 6 分
a

)

20. (本小题满分 14 分)在人群流量较大的街道,有一中年人吆喝“送钱” ,只见他手拿一 黑色小布袋,袋中有 3 只黄色、3 只白色的乒乓球(其体积、质地完全相同) ,旁边立着一 块小黑板写道: 摸球方法: 从袋中随机摸出 3 个球, 若摸得同一颜色的 3 个球, 摊主送给摸球者 5 元钱; 若摸得非同一颜色的 3 个球,摸球者付给摊主 1 元钱。 (1)摸出的 3 个球为白球的概率是多少?( 6 分)

(2)摸出的 3 个球为 2 个黄球 1 个白球的概率是多少?( 6 分)

3

21、某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD,公园由长方形的休闲区 A1B1C1D(阴影部分) 和环公园人行道组成。 已知休闲区 A1B1C1D1 的面积为 4000 平方米, 1 人行道的宽分别为 4 米和 10 米。 (1)若设休闲区的长 A1 B1 ? x 米,求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S (x) 的解析 式;(6 分 ) D D1 C1 C
4米

A1 A
10 米

B1

4米

10 米 B

(2)要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计?(6 分 )

22. 文科生做)设数列{an}的前 n 项为 Sn,点 (n, ( 图象上. (1)求数列{an}的通项公式。( 6 分 )

Sn ), (n ? N * ) 均在函数 y = 3x-2 的 n

(2)设 bn ?

3 m ,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N * 都成立的 a n ? a n?1 20

最小正整数 m.(6 分 )

?x ? 0 ? 22 ( 理科生做) 设不等式组 ? y ? 0 、 所表示的平面区域为 Dn , Dn 内的格点 记 (格 ? y ? ? nx ? 3n ?
点即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为 f (n)( n ? N )
*

(1)求 f (1), f (2) 的值及 f (n) 的表达式;( 4 分)

f (n) ? f (n ? 1) ,试比较 Tn与Tn ?1 的大小;若对于一切的正整数 n ,总有 2n Tn ? m 成立,求实数 m 的取值范围; 4 分 ) (
(2)记 Tn ?
4

( 3 ) 设 S n 为 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 的和 , 其 中 bn ? 2

f (n)

, 问 是 否 存 在正 整 数 n, t , 使 )

S n ? tbn 1 ? 成立?若存在,求出正整数 n, t ;若不存在,说明理由(4 分 S n ?1 ? tbn ?1 16

麻栗坡民族中学高二数学期末考试试卷 答 题 卡

班级:___________姓名:__________考号:__________总分:_________ 时间:120 分钟 总分:100 分

一、选择题(下列各题各有一个正确答案,请选出正确的答案,并将正确答案填入相应的表 格里。每题 5 分,共 60 分。 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题(每题 5 分,共 20 分。) 13________________ 14_________________ 15________________ 16_________________

17. (1)(4 分)

5

(2)(6 分)

18. (1)(6 分)

(2)(6 分)

6

19. (1) 分) (6

(2)(6 分)

20. (1) 分) (6

(2)(6 分)

7

21. (1) 分) (6

D D1 C1

C
4米

A1 A 10 米

B1

4米

10 米 B

(2)(6 分)

22. (注意:文科只做(1)(2)问,每问 6 分;理科(1) (3)问都做各问 4 分 ) , (2) (1)

(2)

8

(3) 麻栗坡民族中学高二数学期末考试参考答案 一、选择题(每题 5 分,共 60 分。 ) 1 D 2 B 3 A 4 B 5 B 6 D 7 D 8 A 9 C 10 B 11 C 12 A

二、填空题(每题 5 分,共 20 分。) 13 ________1________ 14 ( -3,4 ) 15 _________90_°_____ 17. (1)(4 分) 16 4n+2

? cos B cosC ? sin B sin C ? ? cos(B ? C ) ? 1 2

1 2

又? 0 ? B ? C ? ? ,? B ? C ?

?
3

? A ? B ? C ? ? ,? A ?

2? .??????4 分 3

(2)(6 分) 由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc ? cos A
2 2 2

得 (2 3 ) ? (b ? c) ? 2bc ? 2bc ? cos
2 2

2? 3

即: 12 ? 16 ? 2bc ? 2bc ? (? ) ,?bc ? 4

1 2

? S ?ABC ?

1 1 3 bc ? sin A ? ? 4 ? ? 3 ??????10 分 2 2 2

18. (1)(6 分) 由 x ? (?3,2) 时, f ( x) ? 0 ; x ? (??,?3) ? (2,??) 时, f ( x) ? 0
9

知: ?3, 2 是方程 ax ? (b ? 8) x ? a ? ab ? 0 的两根
2

b ?8 ? ? ?3 ? 2 ? ? a ? a ? ?3 ? ?? ? ?b ? 5 ? ?3 ? 2 ? ? a ? ab ? a ?
? f ( x) ? ?3x 2 ? 3x ? 18 ??????6 分
(2)(6 分) 由 a ? 0 ,知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象开口向下
2

要使 ?3x ? 5 x ? c ? 0 的解集为 R,只需 ? ? 0
2

即 25 ? 12c ? 0 ? c ? ∴当 c ?

25 12

25 2 时 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 R. ??????12 分 12

19. (1) 分) (6 由题意知 ?

? 4a1 ? 6d ? 10
2 ?(a1 ? 2d ) ? (a1 ? d )(a1 ? 6d )

5 ? ?a1 ? ?2 ?a1 ? ?? 或? 2 ?d ? 3 ?d ? 0 ?
所以 an ? 3n ? 5或an ? (2)(6 分) 当 an ? 3n ? 5 时,数列 ?bn ? 是首项为

5 ??????6 分 2 1 、公比为 8 的等比数列 4

1 (1 ? 8n ) 8n ? 1 所以 Sn ? 4 ??????9 分 ? 1? 8 28
当 an ?
5 5 5 时, bn ? 2 2 所以 Sn ? 2 2 n 2 5 8n ? 1 或 Sn ? 2 2 n ??????12 分 28

综上,所以 S n ?

20. 解:把 3 只黄色乒乓球标记为 A、B、C,3 只白色的乒乓球标记为 1、2、3。 从 6 个球中随机摸出 3 个的基本事件为:ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、
10

A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123,共 20 个 (1) 分) (6 事件 E={摸出的 3 个球为白球}, 事件 E 包含的基本事件有 1 个, 即摸出 123 号 3 个球,(E) P =1/20=0.05??????6 分 (2)(6 分) 事件 F={摸出的 3 个球为 2 个黄球 1 个白球},事件 F 包含的基本事件有 9 个,P(F) =9/20=0.45??????6 分 21. (1) 分) (6 由 A1 B1 ? x ,知 B1C1 ?

4000 x

4000 ? 8) x 80000 ? 4160 ? 8 x ? ( x ? 0) ??????12 分 x S ? ( x ? 20)(
(2)(6 分)

S ? 4160 ? 8 x ?
当且仅当 8 x ?

80000 80000 ? 4160 ? 2 8 x? ? 5760 x x

80000 即x ? 100 时取等号??????6 分 x

∴要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长为 100 米、宽为 40 米. 22.(文科 22 题答案) (1) ∵点 (n,

Sn ) 在函数 y = 3x-2 的图象上, n S ? n ? 3n ? 2, 即S n ? 3n 2 ? 2n ??????????3 分 n
∴a1= s1 =1 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? (3n 2 ? 2n) ? [3(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)] ? 6n ? 5

? a n ? 6n ? 5
(2)

n ? N * ??????6 分

bn ?

3 3 1 1 1 ? ? ( ? ) a n ? a n ?1 (6n ? 5)(6n ? 1) 2 6n ? 5 6n ? 1

????8 分

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 1 7 7 13 13 19 6n ? 5 6 n ? 1 1 1 ? (1 ? ) ????12 分 2 6n ? 1 1 1 m 1 m 因此,使得 (1 ? )? (n ? N * ) 成立的 m 必须且仅需满足 ? 即m ? 10 , 2 6n ? 1 20 2 20
11

故满足要求的最小整数 m 为 10.????????12 分 22、(理科 22 题答案)⑴ f (1) ? 3, f (2) ? 6 当 x ? 1 时, y 取值为 1,2,3,?, 2n 共有 2n 个格点 当 x ? 2 时, y 取值为 1,2,3,?, n 共有 n 个格点 ∴ f (n) ? n ? 2n ? 3n ???????4 分

9(n ? 1)(n ? 2) T f (n) f (n ? 1) 9n(n ? 1) n?2 2n ?1 ⑵ Tn ? ? ? n ?1 ? ? n n 9n(n ? 1) 2 2 Tn 2n n 2
当 n ? 1, 2 时, Tn ?1 ? Tn 当 n ? 3 时, n ? 2 ? 2n ? Tn ?1 ? Tn ∴ n ? 1 时, T1 ? 9

n ? 2,3 时, T2 ? T3 ?

27 2

n ? 4 时, Tn ? T3
∴ ?Tn ? 中的最大值为 T2 ? T3 ?

27 2 27 27 ???????8 分 ? m∴m ? 2 2

要使 Tn ? m 对于一切的正整数 n 恒成立,只需 ⑶ bn ? 2
f (n)

? 23n ? 8 n ? Sn ?

8(1 ? 8n ) 8 n ? (8 ?1) 1? 8 7

?8 ? n 8 ? ? t ?8 ? S n ? tbn 1 7 ? 7 1 ? ,化简得, ? ? (﹡) 将 S n 代入 S n ?1 ? tbn ?1 16 ?8 ? n 1 2 ? ? t ?8 ? 7 ?7 ?

8n 8 ? 1 8n 15 若 t ? 1时 7 7 ? , 即 ? ,显然 n ? 1 8n 1 2 7 7 ? 7 7
若 t ? 1时 ?

15 ?8 ? n 1 ?8 ? ? t ? 8 ? ? 0 (﹡)式化简为 ? ? t ? 8n ? 不可能成立 7 7 ?7 ? ?7 ?
S n ? tbn 1 ? 成立. ???????12 分 S n ?1 ? tbn ?1 16
12

综上,存在正整数 n ? 1, t ? 1 使


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