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对数的定义及运算性质(叶小兵)


对数及其运算

学 习 内 容

1.对数的定义. 2.对数的基本性质. 3.对数恒等式.

4.常用对数、自然对数的概念
. 5.对数的基本运算

6.换底公式及其变式

问题一:
假设2000年我国国民经济生产总 值为a亿元,如果平均每年增长率为 8.2%

,求5年后国民经济生产总值是2000 年的多少倍? 解:y=a(1+8.2%)5 =1.0825a 答:是2000年的1.0825(约等于1.483)倍

问题二:
假设2000年我国国民经济生产总值 为a亿元,如果平均每年增长率为8.2%, 问经过多少年后国民生产总值是2000年 的2倍?

答:a(1+8.2%)x=2a
1.082x=2

x=?

对数的定义:
一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次 幂等于N,即ab=N,那么称数b为以a 为底N的对数;简称对数。

记作:log a N ? b ? 对数 ?? 底 数 真数
b

指数式a ? N ? 对数式log a N ? b

比较指数式、根式(分数指数幂)、对数式:
表达形式

a
底数 方根

b
指数

N


对应的运算

ab=N
N =a
1 b

乘方, 由a,b求N 开方, 由N,b求a 对数, 由a,N求b

根指数 被开方数 对数

logaN=b

底数

真数

(1)开方运算、对数运算都是指数运算的逆运算。 (2)弄清对数式与指数式的互换是掌握对数意义 及运算的关键

2.对数的基本性质:
①零和负数没有对数.

(在 log a N ? b中, a ? 0, a ? 1, N ? 0)
②loga1=0
③logaa=1

3.对数恒等式:

a

loga N

?N
b

log a a ? n
n

证 明: 设 ? N a

? b ? loga N

?a

loga N

?N

3.对数恒等式:

a

loga N

?N
n

log a a ? n
n

证明:设a ? N

? loga a ? n
n

? loga N ? n

4.常用对数与自然对数的定义: (1)以10为底的对数叫做常用对数. 为了方便,N的常用对数log10N 简记为:lgN. (2)以e为底的对数叫做自然对数. 为了方便,N的自然对数logeN 简记为:lnN. (e=2.71828…)

练习1.把下列指数式写成对数式:

(1).5 ? 625 ? log 5 625 ? 4
4

( 2).2 ? 64
6

? log 2 64 ? 6 1 1 1 ? 1 3 ? log 27 ? ? ( 3).27 ? 3 3 3 x (4).1.08 ? 2 ? log 1.08 2 ? x

练习2.把下列对数式写成指数式:

1 1 ?3 (1). log2 ? ?3 ? 2 ? 8 8 3 ( 2). log5 125 ? 3 ? 5 ? 125 ?3 ( 3). lg 0.001 ? ?3 ? 10 ? 0.001

(4). ln10 ? 2.303 ? e 2.303 ? 10

练习3.求下列各式的值:

(1) l og2 4; ( 2) l og3 27; ( 3) l og5 125; ( 4) l g1000 ; ( 5) l g 0.001.

?2 ?3 ?3 ?3 ? ?3

练习4.计算下列各式的值:

(1).2

log 2 4 log3 27 lg 7

(2).3 (4).5 (5).e

(3).10

log5 11

ln 2

?4 ? 27 ?7 ? 11 ?2

例 求下列各式中x的值:

2 ?1?log64 x ? ? ; 3
x ? 64
2 ? 3

?2?logx 8 ? 6;
? x ?8?
6

1 ? 16

x? 8? 2
6

?3?lg100 ? x
x?2

?4? ? ln e

2

? x.

x ? ?2

练习5.填空
1.设 loga 2 ? m, loga 3 ? n, 则a
2 m ?3n

? 108
1? log3 2

2.计算:3

? 100

1 lg9 2

? 15

对数运算性质如下:

如果a>0,且a≠1,M>0,N>0 ,那么:
(1)

loga (M ? N) ? loga M ? loga N;

(2)

M log ? loga M ? loga N; a N

(3)

loga M ? n loga M(n ? R).
n

例、计算下列各式
(1) log 2 6 ? log 2 3 1 (2) log 5 3 ? log 5 3

2 log5 2 ? log5 3 (3) 1 1 log5 10 ? log5 0.36 ? log5 8 2 3

6 ? log 2 ? log 2 2 ? 1 ? log 3 ? 1 ? log 1 ? 0 5 5 3 3

log5 2 ? 3 ? ?1 3 log5 10? 0.36 ? 8
2

例 用 loga x, loga y, loga z 表示下列各式:
(1)

xy log a ; z

(2)

loga

x

2 3

y z

.

(1)原式 ? loga x ? loga y ? loga z
1 1 (2)原式 ? 2 log a x ? log a y ? log a z 2 3
练习 求下列各式的值: (1)

log2 (4 ? 2 );
7 5

(2)

? 14 ? 5 ? 19

2 lg 5 100. ? 5

换底公式及其证明:
logc N loga N ? ( N ? 0, a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1) logC a 换底公式不难记, 证明:设logaN=x

则ax=N

又c>0,c≠1,∴logcax=logcN
即xlogca=logcN

一数等于两数比。

logc N ?x ? logc a
logc N 即loga N ? logc a

相对位置不改变,

新的底数可随意。 非1正数) (

公 式 应 用:

求证:loga b ? logb c ? loga c
loga b ? logb a ? 1

log2 10? lg 2 =1 化简: ln 2 ? log3 10? lg e ? log2 3 =1

公 式 应 用:

m 求证: log a n b ? log a b n
m

5 练习: (1)log49×log332=_____

10 (2)log89×log332= 3

不要产生下列的错误:
(1).loga ( M ? N ) ? loga M ? loga N M loga M (2).loga ? N loga N (3).loga ( MN ) ? loga M ? loga N (4).loga M ? (loga M )
n n

小结
1.掌握指数式与对数式的互化. 2.会由指数运算求简单的对数值. 3.掌握对数恒等式及其应用. 4.换底公式及其推论

如果a>0,且a≠1,M>0,N>0 ,那么: 对数运算性质如下:

(1)
(2) (3)

loga (M ? N) ? loga M ? loga N;

M log ? loga M ? loga N; a N

loga M ? n loga M(n ? R).
n

logc b ?a ? 0,且a ? 1;c ? 0,且c ? 1;b ? 0?. loga b ? logc a


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