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2016年春新人教A版高二数学必修5教案:3.4基本不等式3


3.4 基本不等式 ab ? a?b 2 一、三维目标: 1、知识与技能: 理解基本不等式的内容及其证明,能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、 求取值范围等问题 2、过程与方法: 能够理解并建立不等式的知识链 3、情感、态度与价值观: 通过运用基本不等式解答实际问题,提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力和意识 4、本节重点: 应用数形结合的思想,理解基本不等式,并从不同角度探索基本不等式的证明过程 5、本节难点: 应用基本不等式求最值 二、课程引入: 第 24 届世界数学家大会在北京召开,会标设计如图: 四个以 a,b 为直角边的直角△ABC,组成正方形 ABCD 则 AB ? BC ? CD ? DA ? a 2 ? b2 S ABCD ? a 2 ? b 2 S ?ABE ? 1 ab 2 2 2 如图可知: S ABCD ? 4S?ABE 即 a ? b ? 2ab 当且仅当小正方形 EFGH 面积为 0 时取等号,即 a ? b ? 0, a ? b 时取得等号 三、新课讲授: (一)基本不等式的推证: 1、重要不等式与基本不等式 由引入中提到的重要不等式 a ? b ? 2ab ,将其中的 a , b 用 a , b 代换, 2 2 得到基本不等式 ab ? a?b ,当且仅当 a ? b 时,即 a ? b 时取得等号。 2 2 2 特别注意,重要不等式 a ? b ? 2ab 的适用范围是全体实数, 而基本不等式 ab ? a?b 的使用需要 a ? 0, b ? 0 2 2、基本不等式的几种表述方式 平均数角度:两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(均值不等式定理) 数列角度:两正数的等差中项不小于它们的等比中项 探究:基本不等式的几何表示:半径不小于半弦长 3、分析法推证基本不等式 要证 ab ? a?b , 只需证明 a ? b ? 2 ab(2) 。 要证明 (2) 只需证明 a ? b ? 2 ab ? 0 (3) 。 2 要证明(3)只需证明 ( a ? b )2 ? 0 (4) 。 (4)式显然成立,故得证。 (二)基本不等式的应用与提高: 1、你是设计师! (1)春天到了,学校决定用篱笆围一个面积为 100 平米的花圃种花。有以下两种方案: 圆形花圃:造价 12 元/米 矩形花圃:造价 10 元/米 你觉得哪个方案更省钱呢? 分析及解答:因为初中学习过平面几何,同学们大都知道,同样长度的篱笆围圆形会比围矩 形得到的面积大, 由此可知, 同样的面积肯定是为圆形用的材料省。 但是本题涉及造价问题, 两种篱笆的花费不同。圆形篱笆虽然需要的材料少,但是每米的花费高,所以到底应该用哪 个方案需要动手算一下才能知道。 在这里让学生分成两派, 可以自己选择一个认为比较省钱 的方案去计算。 圆形花圃: S圆 ? ?r ? 100, r ? 2 10 ? , C ? 2?r ? 20 ? , 花费约为432元 矩形花圃:设两边为 x,y, C ? 2( x ? y) ? 4 xy ? 40 ,故当 x=y 时花费最少为 400 元 (2)现在只有 36 米的篱笆可用,怎么样设计才能使得矩形花圃的面积最大? 解: C ? 2( x ? y ) ? 36, x ? y ? 18? x ? y ? 2 xy ?18 ? 2 xy ,? S ? xy ? 81 当且仅当x ? y时,面积有最大值为 81m2 (3)有人出了个主意,让花圃的一面靠墙,利用墙壁作为花圃的一边,可以省一部

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