南陵中学高二月考数学文科试卷

南陵中学 2014 年高二上学期第一次月考数学试卷 （文）
命题：高二数学备课组 2014/10/15
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 1.已知全集 U ? R, 集合 A ? ?1,2,3,4,5? , B ? ? 2, ??? ，则阴影部分的集合为( (A) {0,1, 2} (C) {1, 2} (B) )
<

br />{0,1}

(D) {1}

2．某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时，错将其中一 个数据 105 输入为 15 ，那么由此求出的平均数与实际平 均数的差是( ) (A)． 3.5 (B)． ? 3 (C)． 3 (D)． ? 0.5 3.设数列{ (A) 14 4.下图给出的是计算 件是（ ） 开始 s=0,n=3,i=1 是 否 s=s+ }是等差数列，若 (B) 21 ，则 (C) 28
：

（

）

(D) 35

1 1 1 1 ? ? ? ... ? 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条 3 5 7 21
(B) i<10? (C) i>20? (D) i<20?

(A) i>10?

输出 s

1 n

结束

n=n+2 i=i+1 5. 给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球” 是必然事件；②“当 x 为某一实数时可使 x ? 0 ”是不可能事件；
2

③“明天南陵县要下

雨”是必然事件；④质检员“从 100 个灯泡中取出 5 个,5 个都是次品”是随机事件. 正确 命题的个数是 ( ) (A) 0 (B) 1 (C)2 (D)3

6.若定义在区间 （-1， 0） 内的函数

f ( x) ? log2a ( x ? 1)满足f ( x) ? 0, 则a 的取值范围是 (
1 ( ,?? ) （C） 2

)

1 (0, ) 2 （A）

1 (0, ] （B） 2

（D） (0,??)

7. 要从已编号（ 1 60 ）的 60 枚最新研制的某型导弹中随机抽取 6 枚来进行发射试验，用 每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 6 枚导弹的编号可能是（ ） (A) 5,10,15, 20, 25,30 (B) 3,13, 23,33, 43,53 (C) 1, 2,3, 4,5,6 (D) 2, 4,8,16,32, 48

8.先后掷两次正方体骰子（骰子的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6），骰子朝上的 面的点数分别为 m, n ，则 mn 是奇数的概率是（ ）

A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

9. 若 a ? b ? 1 ，P=

lg a ? lgb

?a?b? 1 lg? ? ?lg a ? lg b? ，Q= 2 ，R= ? 2 ? ，则 (

)

（A）R ? P ? Q （C）Q ? P ? R
个三角形最小角的余弦值为（ (A) .

（B）P ? Q ? R （D）P ? R ? Q
） (C)

10. 一个三角形同时满足：①三边是连续的三个自然数；②最大角是最小角的 2 倍，则这
3 7 8
1 8

(B)

7 4

(D)

3 4

二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11.已知向量 a ? (4,3) , b ? (?2,1) ，如果向量 a ? ? b 与 b 垂直，则 | 2a ? ?b | 的值为 12. 用辗转相除法求出 1989 和 1547 的最大公约数是______________. 13.设 y ? ax ? 2a ? 1, 当 ?1 ? x ? 1 时， y 的值有正有负， 则实数 a 的取值范围是 14. 已知样本 9,10,11, x, y 的平均数是 10 ，标准差是 2 ，则 xy ? 15.关于函数 f(x)＝4sin(2x＋ . .

?
3

), (x∈ R)有下列命题：

① y＝f(x)是以 2π 为最小正周期的周期函数；②y＝f(x)可 改写为 y＝4cos(2x－ ③ y＝f(x)的图象关于点(－ 中正确的序号为

?
6

)；

?
6

，0)对称； 。

④ y＝f(x)的图象关于直线 x＝ ?

5? 对称；其 12

南陵中学高二上学期第一次月考数学(文)答题卷
2014 年 10 月 时间 120 分钟 满分 150 分

三 题号 一 二 16 得分 17 18 19 20 21 总分

一、 单项选择题（每小题 5 分，共 50 分）
题号 答案 二、填空题（每小题 5 分，共 25 分） 11、 13、 三．解答题(本大题共 6 题,共 75 分) 16. （本 题满 分 12 分） 已知 ?ABC 的内 角 A 、 B 、 C 的 对边分别 为 a 、 b 、 c ， 12、 14、 15、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 sin C cos C ? cos 2 C ?

1 ，且 c ? 3 2

（1）求角 C ；

（2）若向量 m ? (1, sin A) 与 n ? (2, sin B) 共线，求 a 、 b 的值．

17.(本题满分 12 分)．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产 量 x（吨）与相应的生产能耗 y（吨标准煤）的几组对照数据 ｘ ３ ４ ５ ６ ｙ ２．５ ３ ４ ４．５ （１） 请画出上表数据的散点图； （２） 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回归方程； （３） 已知该厂技术改造前１００吨甲产品能耗为９０吨标准煤；试根据（２）求出的 线性回归方程，预测生产１００吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标 准煤？（3×2．5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）

18. （本题满分 12 分）已知 f ? x ? ? log a

1? x ?a ? 0, 且a ? 1? 1? x

（1）求 f ?x ? 的定义域;（2）证明 f ?x ? 为奇函数; （3）求使 f ?x ? >0 成立的 x 的取值范围

19.（本题满分 12 分）中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行 为分成两个档次： “酒后驾车”和“醉酒驾车” ，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精 含量 Q（简称血酒含量，单位是毫克/100 毫升） ，当 20≤Q≤80 时，为酒后驾车；当 Q ＞80 时，为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门于 2014 年国庆节的晚上 8 点至 11 点 在市区交通路口设点进行一次拦查行动，共依法查出了 40 名饮酒后违法驾驶机动车 者，如图为这 40 名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中 Q≥140 的人数计入 120≤Q＜140 人数之内；小矩形从低到高的高度依次为 0.0032, 0.0043, 0.0050, 0.0090, 0.0125, 0.016）. 求 （1） 此次拦查中醉酒驾车的人数； (2) 从违法驾车的 40 人中按酒后驾车和醉酒驾车利 用分层抽样抽取 4 人做样本进行研究，则两类人群各抽取多少人? （3）违法驾驶人员血液中的酒精含量 Q 的中位数

20. (本题满分 13 分）设数列{an}的前 n 项和为

,

为等比数列

( 1 ) 求数列 (2)设

和

的通项公式； 的前 n 项和 .

，求数列

21. (本题满分 14 分)经调查测算，某产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销 费用 m 万元（m≥0）满足 x ? 3 ?

k （k 为常数）。如果不搞促销活动，则该产品的年 m ?1

销售量只能是 1 万件，已知 2013 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品 需要投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍（产品成 本包括固定投入和再投入两部分资金） （1）将 2013 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数； （2）该厂家 2013 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

南陵中学高二上学期第一次月考数学文科答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）

1～5 DBCAD

6～10 ABCBD

二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11. 5 5 三.解答题. 16.（本题满分 12 分）
2 解析： （1）? 3 sin C cos C ? cos C ?

12.221

13.

（

1 ，1） 3

14. 96

15.

②③④

1 2

?

3 1 ? sin 2C ? cos 2C ? 1，即 sin(2C ? ) ? 1 ，? 0 ? C ? ? ， 6 2 2

?2C ?

?
6

?

?
2

，解得 C ?

?
3

??5 分

（2）? m与n 共线，? sin B ? 2 sin A ? 0 。 由正弦定理

a b ? ，得 b ? 2a ，①??8 分 sin A sin B

? c ? 3 ，由余弦定理，得 9 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos
联立方程①②，得 ?

?

3

，②

? ?a ? 3 ??12 分 ? ?b ? 2 3

17 解：（1）略…….2 分 (2)由系数公式可知， x ? 4.5, y ? 3.5, b ?
a ? 3.5 ? 0.7 ?

66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 66.5 ? 63 ? ? 0.7 5 86 ? 4 ? 4.52

9 ? 0.35 ，所以线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 0.35 ；………….8 分 2 （3）当ｘ＝１００时， y ? 0.7 x ? 0.35 ? 70.35 ，所以预测生产１００吨甲产品的生产能耗

比技术改造前降低１９．６５吨标准煤．………..12 分

18.解：（1）?

1? x x ?1 ? 0,? ? 0, 即?x ? 1??x ? 1? ? 0. 1? x x ?1

?? 1， ? ?1 ? x ? 1,? f ?x?的定义域为 1?……..2 分
（2）证明：

? f ?x ? ? loga

1? x 1? x ?1? x ? ,? f ?? x ? ? loga ? loga ? ? 1? x 1? x ?1? x ?

?1

? ? loga

1? x ? ? f ?x ? 1? x

? f ?x ? 中为奇函数……..6 分
（3）解:当 a>1 时, f ?x ? >0,则

1? x 1? x 2x ? 1 ，则 ? 1 ? 0, ?0 1? x x ?1 x ?1

? 2 x?x ? 1? ? 0,? 0 ? x ? 1
因此当 a>1 时,使 f ?x ? ? 0 的 x 的取值范围为（0,1）……..9 分

当0 ? a ? 1 时, f ? x ? ? 0, 则0 ?

1? x ?1 1? x

1? x ? 1 ? 0, 1? x 则 1? x ? 0, 1? x

解得 ? 1 ? x ? 0

因此 当0 ? a ? 1 时, 使 f ?x ? ? 0 的 x 的取值范围为（-1,0）……..12 分 . 19.（本小题满分 12 分） （1） (0.0032+0.0043+0.0050)×20=0.25,0.25×40=10, 所以此次拦查中醉酒驾车的人数为 10 人．?????4 分 （2） 易知利用分层抽样抽取 4 人中酒后驾驶 3 人，醉酒驾车者为 1 人???8 分 （3）64.375???12 分 20.解:（1）当 n=1 时， a1 ? S1 ? 2
当n ? 2时，an ? S n ? S n ?1 ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 4n ? 2 故{an }的通项公式为an ? 4n ? 2即 {an }是a1 ? 2，公差d=4的等差数列 设{bn }的公比为q,b1qd ? b1 , d ? 4,? q ? 1 4

1 2 故bn ? b1q n ?1 ? 2 ? ( ) n ?1 , 即数列{bn }的通项公式为bn ? n ?1 ......6分 4 4 a 4n ? 2 （2） cn ? n ? ? (2n ? 1)4n ?1 2 bn 4n ?1 ?Tn ? c1 ? c2 ? ... ? cn ? [1 ? 3 ? 41 ? 5 ? 4 2 ? ... ? (2n ? 1)4 n ?1 ] 4Tn ? [1? 4 ? 3 ? 4 2 ? 5 ? 43 ? ... ? (2n ? 1)4 n ] 两式相减得 3Tn ? ?1-2[4 ? 42 ? 43 ? ... ? (2n ? 3)4 n -1 ]+(2n ? 1)4 n 1 [(6n ? 5)4 n ? 5] 3 1 ?Tn ? [(6n ? 5)4 n ? 5]..............12分 9 ?

21.解:（1）由题意得 m=0 时，x=1= 3- k ? k ? 2, x ? 3 ? 故每件产品售价为 利润 y= 1.5 ?

2 ……3 分， m ?1

1.5 ?

8? 1 6 x x

8 ? 16 x 16 ? (8 ?16 x ? m) ? 28 ? ? m( m ?0) …….7 分 x m ?1 16 ? m ? 1) ，…….9 分 （2）由（1）知 y ? 29 ? ( m ?1 16 ? m ? 1，故y ? 29 ? 9 ? 21 ? 2 16 ? 8 ……12 分 又 m ? 0, m ?1 16 ? m ? 1，m ? 3(万元）时，y有最大值 当且仅当 m ?1
∴该厂家 2013 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大………14 分