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高中数学知识点训练:30:概率与统计)


训练 30

概率与统计

(推荐时间:60 分钟) 1.已知关于 x 的一元二次方程 x2-2(a-2)x-b2+16=0. (1)若 a、b 是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数,求方程有两个正实数根的概率; (2)若 a∈[2,6],b∈[0,4],求一元二次方程没有实数根的概率.

2.某校高三年级进行了一次数学测验,随机从甲、乙两班各抽取 6 名同学,所得分数的茎 叶图如图所示. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均分数较高,并说明理由; (2)现从甲班这 6 名同学中随机抽取两名同学,求他们的分数之和大于 165 分的概率.

3.某校从参加某次“广州亚运”知识竞赛的同学中,选取 60 名同学将其成绩(百分制)(均 为整数)分成 6 组后得到如图所示部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:

(1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均 分; (3)若从 60 名学生中随机抽取 2 人,抽到的学生成绩在[40,70)记 0 分,在[70,100]记 1 分, 用 ξ 表示抽取结束后的总记分,求 ξ 的概率分布和数学期望.

4.在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投 3 次;在 A 处每投进一球 得 3 分,在 B 处每投进一球得 2 分;如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮,否则投第三 次.某同学在 A 处的命中率 q1 为 0.25,在 B 处的命中率为 q2.该同学选择先在 A 处投一球,以

后都在 B 处投,用 ξ 表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其概率分布表为 ξ P (1)求 q2 的值; (2)求随机变量 ξ 的数学期望 E(ξ); (3)试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概 率的大小.

0 0.03

2 p1

3 p2

4 p3

5 p4

答案
1.解 (1)基本事件(a,b)共有 36 个,用 a,b∈{1,2,3,4,5,6},方程有两个正实数根等价 于 a-2>0,16-b2>0,Δ≥0,即 a>2,-4<b<4,(a-2)2+b2≥16. 设“一元二次方程有两个正实数根”为事件 A,则事件 A 所包含的基本事件数为(6,1), 4 1 (6,2),(6,3),(5,3)共 4 个,故所求的概率为 P(A)= = . 36 9 (2)试验的全部结果构成区域 Ω={(a,b)|2≤a≤ 6,0≤b≤4},其面积为 S(Ω)=16. 设“一元二次方程无实根”为事件 B, 则构成事件 B 的区域为 B={(a, b)|2≤a≤6,0≤b≤4, 1 4π π (a-2)2+b2<16},其面积为 S(B)= ×π×42=4π,故所求的概率为 P(B)= = . 4 16 4 2.解 (1)因为乙班的成绩集中在 80 分,且没有低分,所以乙班的平均分比较高. (2)设从甲班中任取两名同学,两名同学分数之和超过 165 分为事件 A. 从甲班 6 名同学中任取两名同学,则基本事件空间中包含 15 个基本事件,而事件 A 中包 含 4 个基本事件, 4 所以,P(A)= . 15 4 故从甲班中任取两名同学,两名同学分数之和超过 165 分的概率为 . 15 3.解 (1)设分数在[70,80)内的频率为 x,根据频率分布直方图,则有(0.01+0.015×2+

0.025+0.005)×10+x=1,可得 x=0.3,所以频率分布直方图如图所示.

(2)平均分为:

x =45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71. (3)学生成绩在[40,70)的有 0.4× 60=24 人,在[70,100]的有 0.6×60=36 人.并且 ξ 的可能 取值是 0,1,2. C2 46 24 则 P(ξ=0)= 2 = ; C60 295
1 C1 144 24C36 P(ξ=1)= 2 = ; C60 295

C2 105 36 P(ξ=2)= 2 = . C60 295 所以 ξ 的概率分布表为 ξ P 0 46 295 1 144 295 2 105 295

46 144 105 354 E(ξ)=0× +1× +2× = . 295 295 295 295 4.解 (1)由题设知,“ξ=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”,由对立事 件和相互独立事件性质可知 P(ξ=0)=(1-q1)(1-q2)2=0.03,解得 q2=0.8. (2)根据题意 p1=P(ξ=2)=(1-q1)C1 2(1-q2)q2 =0.75×2×0.2×0.8=0.24. p2=P(ξ=3)=q1(1-q2)2 =0.25×(1-0.8)2=0.01.
2 p3=P(ξ=4)=(1-q1)q2 2=0.75×0.8 =0.48.

p4=P(ξ=5)=q1q2+q1(1-q2)q2=0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24. 因此 E(ξ)=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63. (3)用 C 表示事件“该同学选择第一次在 A 处投,以后都在 B 处投,得分超过 3 分”,用 D 表示事件“该同学选择都在 B 处投,得分超过 3 分”,则 P(C)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=p3+p4 =0.48+0.24=0.72.
1 P(D)=q2 2+C2q2(1-q2)q2

=0.82+2×0.8×0.2×0.8=0.896. 故 P(D)>P(C). 即该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大于该同学选择第一次在 A 处投篮以后 都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率.


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