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数学精英解 “三角函数”题技巧归纳


A thesis submitted to XXX in partial fulfillment of the requirement for the degree of Master of Engineering
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三角函数” (4)数学精英解 “三角函数”题 )

1. 北京卷第 1 题)已知 cos θ ?

tan θ < 0 ,那么角θ是 . ( A.第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 解答 cos θ ? tan θ < 0 ? cos θ ? 答案为 C.

sin θ = sin θ < 0 ? θ是第三或第四象限角. cos θ

2. 山东卷第 5 题)函数 y = sin ? 2 x + ( ( ) B. π , 2

? ?

π? π? ? ? ? cos ? 2 x + ? 的最小正周期和最大值分别为 6? 3? ?

A. π , 1

C. 2π , 1

D. 2π , 2

解答: 解答: y = sin 2 x ? ∴T=π,ymax=1 答案为 A.

3 1 1 3 + cos 2 x ? + cos 2 x ? ? sin 2 x ? = cos 2 x 2 2 2 2

3. 江苏卷第 1 题)下列函数中,周期为 ( A. y = sin

π 的是( 2



x 2

B. y = sin 2 x

C. y = cos

解答: 解答: 逐一验证, T = 答案为 D.

2π π = ? ω = 4 ,只有 D. ω 2

x 4

D. y = cos 4 x

4. 浙江卷第 2 题)若函数 f ( x ) = 2 sin(ω x + ? ) , x ∈ R (其中 ω > 0 , ? < ( 正周期是 π ,且 f (0) =

π )的最小 2

3 ,则(


-1-

1 π 1 π ,? = B. ω = ,? = 2 6 2 3 π π D. ω = 2,? = C. ω = 2,? = 6 3 π 2π 解答: = π, ? = 2, f (0) = 2 sin ? = 3 , ? = . 解答: ? 3
A. ω = 答案为 D.

5. 福建卷第 5 题)已知函数 f ( x ) = sin ? ω x + ( 图象( )

? ?

π? ? (ω > 0) 的最小正周期为 π ,则该函数的 3? π 对称 4 π 对称 3

A.关于点 ? ,? 对称 0

?π ?3

? ?

B.关于直线 x =

C.关于点 ? ,? 对称 0

?π ?4

? ?

D.关于直线 x =
? ? π? 3?

解答: 解答: 由题意知 ω =2,所以解析式为 f ( x) = sin ? 2 x + ? ,
?π ? 经验证可知它的一个对称中心为 ? , 0 ? . ?3 ?

答案为 A. 6. 江苏卷第 5 题)函数 f ( x) = sin x ? 3 cos x( x ∈ [ ? π,]) 的单调递增区间是( ) ( 0 A. ? ? π, ?

? ?

5π ? 6? ?

B. ? ?

? 5π π ? , ? ? 6? ? 6

C. ? ? ,? 0

? π ? ? 3 ?

D. ? ? ,? 0

? π ? ? 6 ?

解答: 解答:

π? ? f ( x) = 2 sin ? x ? ? 3? ? π π π ≤ x ? ≤ 2kπ + (k ∈ Z), 2 3 2 5π π (k ∈ Z), 得 2kπ ? ≤ x ≤ 2kπ + 6 6 π 5π 令k = 0, 得 ? ≤ x ≤ 6 6 ? π ? 由此可得 ?? ,0? 符合题意. ? 6 ? 令 2kπ ?

答案为 D.

-2-

7. 湖北卷第 2 题)将 y = 2 cos? ( 图象的解析式为 A. y = 2 cos?

? x π? ? π ? + ? 的图象按向量 a= ? ? ,?2 ? 平移,则平移后所得 ?3 6? ? 4 ?

? x π? + ??2 ?3 4? ?x π ? ? ??2 ? 3 12 ?

B. y = 2 cos?

? x π? ? ?+2 ?3 4?

C. y = 2 cos?

D. y = 2 cos?

?x π ? + ?+2 ? 3 12 ?

解答: 解答: 看向量 a= ? ?

? π ? ,指令图象左移和下移,按“同旁相减,异旁相 ,?2 ? 的数据“符号” ? 4 ?

加”的口诀,立可否定 B、C、D. 答案为 A. 8. 全国卷Ⅱ第 2 题)函数 y = sin x 的一个单调增区间是( (全国卷Ⅱ A. ? ? , ?



? π π? ? 4 4?

B. ? , ?

? π 3π ? ?4 4 ?

C. ? π, ?

? ?

3π ? 2 ?

D. ?

? 3π ? ,π ? 2 ? 2 ?

又函数 y=|sinx|是以π为周期的函数, 解法一: ∵函数 y=|sinx|的一个单调递增区间为 ?0, ? , 解法一: 2 ∴函数 y=|sinx|的单调递增区间为 ?kπ, kπ +

? π? ? ?

? ?

π? (k∈Z). 2? ? ? 3π ? ? .故选 C. ? 2? ? 3π ? ? .故选 C. ? 2?

当 k=1 时,函数 y=|sinx|的一个单调增区间为 ?π,

解法二: 解法二:作出函数 y=|sinx|的图象,由图易知 y=|sinx|的一个单调增区间为 ?π,

解法三: 解法三:将每个选择支中区间的两个端点值代入函数表达式,A、B 两个选择支的端点值相

-3-

等,而选择支 D 的左端点值大于右端点值,所以根据单调递增的概念判断,可排除 A、B、 D,故选 C. 9.(全国卷Ⅰ第 12 题)函数 f ( x ) = cos x ? 2 cos (全国卷Ⅰ
2 2

x 的一个单调增区间是( 2
D. ? ? , ?



A. ? , ?

? π 2π ? ?3 3 ?

B. ? , ?
2

?π π? ?6 2?

C. ? 0, ?

? ?

π? 3?

? π π? ? 6 6?

解法一: f ( x ) = cos x ? (1 + cos x ) 解法一

1? 5 ? = ? cos x ? ? ? 2? 4 ?
以下将各选项中的两个数据依次代入估算,只有 A 项是递增的,故选 A.

2

解法二: 解法二:由 f'(x)= -2cosx·sinx+4cos

x? x? 1 ? sin ? ? = sin x(1 ? 2 cos x) > 0 ,得 2? 2? 2

?sin x > 0 ?sin x < 0, 或? ? ?1 ? 2 cos x > 0 ?1 ? 2 cos x < 0.
当-π<x<π时,上面不等式组的解集为 ? ?

? π ? ?π ? ,0 ? ∪ ? , π ? .故选 A. ? 3 ? ?3 ?

解法三: 解法三:令 cosx=t,则 f(t)=cos2x-cosx-1=t2-t+1. ∴f(t)在 ? ,+∞ ? 上递增,在 ? ? ∞, ? 上递减,而当 x∈ ? 减. ∴由复合函数的单调性可知,f(x)一个单调递增区间为 ? ,

?1 ?2

? ?

? ?

1? 2?

1 ? π 2π ? , ? 时,cosx< 且 t=cosx 递 2 ?3 3 ?

? π 2π ? ? .故选 A. ?3 3 ?

-4-


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