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江苏省泰兴市第一高级中学学高二数学下学期第三次阶段测试试题文-精


2016 年春学期高二年级阶段测试(三) 数 学(文)试 卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题纸相应位 置上. 1. 命题“ ?x ? R, x ? 2 x ? 5 ? 0 ”的否定是
2

.

2、 若命题 p : 0 ?{?1,0,1} , q : 0 ? {a

? 1, a ? } ,又“ p ? q ”为真,则实数 a 值为___. 3、 某学校选修羽毛球课程的学生中,高一,高二年级分 别有 80 名、50 名. 现用分层抽样的方法在这 130 名学 生中抽取一个样本, 已知在高 一年级学生中抽取了 24 名,则在高二年级学生中应抽取的人数为 . 4、 一组数据 10,6,8,5,6 的方差 s ? . 5、 长为 4、 宽为 3 的矩形 ABCD 的外接圆为圆 O ,在圆 O 内任意取点 . M ,则点 M 在矩形 ABCD 内的概率为 3 6、 曲线 y ? x ? x ? 3 在点 ?1,3? 处的切线方程为_______.
2

1 a

开始

a ←1 a ← 2a +1 a > 64
Y N

7、 右图是一个算法流程图,则输出的 a 的值是 . 8、 设奇函数 y=f(x) (x∈R),满足对任意 t∈R 都有 f(t)=f(1-t), 3 ? 1? 2 且 x∈?0, ?时,f(x)=-x ,则 f(3)+ f ( ? ) 的值等于________. ? 2? 2

输出a
结束

9、 若函数 f ( x) 定义在 R 上的奇函数,且在 (??,0) 上是增函数,又 (第 7 题) f (2) ? 0 ,则不等式 xf ( x ? 1) ? 0 的解集为 2 10、若函数 f (x)=mx +lnx-2x 在定 义域内是增函数,则实数 m 的取值范围是_________. 11、若函数 f ? x ? ? x ln x ? a ? x2 为偶函数,则 a ? 12、已知函数 f ( x) ? ?

?

?



?log 2 (1 ? x), x ? 0 , f ( x) ? x 的根按从小到大的顺序排列,第 1001 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0

个根为______ 2 13、已知函数 f(x)=|x +3x|,x∈R.若方程 f(x)-a|x-1|=0 恰有 4 个互异的实数根,则实数 a 的取值范围为____ ____. 恒成立,则称函数 f ? x ? 和 g ? x ? 在区间 I 上单调性相反.若函数 f ? x ? ?

14、 设 f ? ? x ? 和 g? ? x ? 分别是函数 f ? x ? 和 g ? x ? 的导函数, 若 f ? ? x ? ? g? ? x ? ? 0 在区间 I 上

2 函 数 g ? x? ? x ? bx 在 开 区 间 ? a, b?? a ? 0? 上 单 调 性 相 反 , 则 b ? a 的 最 大 值 等

1 3 x ? 3ax 与 3



.

1

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分 .请把答案写在相应的位置上.解答时应写出文 字说明,证明过程或演算步骤. 15 、为了了解 2014-2015 学年高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次 数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图) ,图中从左到右各小长方形 面积之比为 2:4:17:15:9:3,已知第二小组频数为 12. (1)第二小组的频率是多少?样 本容量是多少? (2)若次数在 110 以上(含 110 次)为达标,试估 计该学校全体 2014-2015 学年高一学生的达标率是 多少? (3) 在这次测试中, 学生跳绳次数的中位数落在哪 个小组内?请说明.

16、已知集合 A ? ?x | ( x ? 6)( x ? 2a ? 5) ? 0? ,集合 B ? x | ? ?(a ? 2) ? x ? ? ? (2a ? x) ? 0 . ⑴若 a ? 5 ,求集合 A ? B ;
2

?

?

⑵已知 a ?

1 .且“ x ? A ”是“ x ? B ”的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 2

2

17、已知函数 f ( x) ? log 2 (4x ? b ? 2x ? 4) , g ( x) ? x . (1)当 b ? ?5 时,求 f ( x) 的定义域; (2)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 b 的取值范围.

18 、如图 : 一个城市在城市改造中沿市内主干道惠正路修建的圆形广场圆心为 O, 半径为 100 m ,其与国泰路一边所在直线 l 相切于点 M,A 为上半圆弧上一点,过点 A 作 l 的垂线, 垂足为 B.市园林局计划在 ?ABM 内进行绿化,设 ?ABM 的面积为 S(单位: m ) (1)以 ?AON ? ? 为参数,将 S 表示成 ? 的函数; (2)为绿化面积最大,试确定此时点 A 的位置及面积的最大值.
2



l
A

B


M

O

N



3

19、已知函数 f ( x)=e x (其中 e 是自然对数 的底数), g ( x) ? x2 ? ax ? 1 , a ? R . ⑴记函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,当 a ? 0 时,求 F ( x) 的单调区间; ⑵若对于任意的 x1 , x2 ? [0, 2] , x1 ? x2 ,均有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 成立,求实 数 a 的取值范围.

20、 函数 f ( x) ? ax ?

b ? a(a ? R, a ? 0) 在 x ? 3 处的切线方程与直线 (2a ? 1) x ? 2 y ? 3 ? 0 x ?1

平行; (1)若 g ( x) = f ( x ? 1) ,求证:曲线 g ( x) 上的任意一点处的切线与直线 x ? 0 和直线 y ? ax 围成的三角形面积为定值; (2)是否存在实数 m, k ,使得 f ( x) ? f (m ? x) ? k 对于定义域内的任意 x 都成立; (3)若 f (3) ? 3 ,方程 f ( x) ? t ( x2 ? 2 x ? 3) x 有三个解,求实数 t 的取值范围.

4

高二数学(文)阶段测试(三)参考答案 1、 ?x ? R, x ? 2 x ? 5 ? 0 ; 2、1 ; 3、15;4、
2

48 16 ; 6、 y ? 2 x ? 1 ; 5 ;5、 25?

1 1 7、127 ;8、- ;9、 (0,1)∪(﹣3,﹣1) ;10、[ ,+∞) ;11、1; 12、1000; 4 2 13、(0,1)∪(9,+∞);14、

3 ; 4
=0.08

15、解答: 解: (1)∵各小长方形面积之比为 2:4:17:15:9:3 ∴第二小组的频率是 ∵第二小组频数为 12, ∴样本容量是 =150

(2)∵次数在 110 以上(含 110 次)为达标, ∴2014-2015 学年高一学生的达标率是 =88%

即 2014-2015 学年高一有 88%的学生达标. (3) ∵这组数据的中位数落在的位置是刚好把频率分步直方图分成两个相等的部分的位置, ∵测试中各个小组的频数分别是 6,12,51,45,27,9 前 3 组频数之和是 69,后 3 组频数之和是 81, ∴中位数落在第四小组, 即跳绳次数的中位数落在第四小组中. 16、解:⑴当 a ? 5 时, A ? x ( x ? 6)( x ? 15) ? 0 = ?x | x ? 15orx ? 6? ???2分

?

?

B ? ? x (27 ? x)(10 ? x) ? 0? ? ? x 10 ? x ? 27? .??4分
∴ A ? B ? x 15 ? x ? 27 .?6分

?

?

1 ,∴ 2a ? 5 ? 6 ,∴ A ? ? x x ? 6或x ? 2a ? 5? .???8分 2 2 2 又 a ? 2 ? 2a ,∴ B ? x 2a ? x ? a ? 2 .??10 分 ∵“ x ? A ”是“ x ? B ”的必要不充分条件,∴ B ? A , 1 ? 1 ?a ? ∴? ,????12 分 解之得: ? a ? 2 .?????14 分 2 2 ?a 2 ? 2 ? 6 ?
⑵∵ x ?

?

?

17、解: (1)由 4 x ? 5 ? 2 x ? 4 ? 0 ????????????3 分 解得 f ( x) 的定义域为 (??,0) ? (2, ??) .?????????6 分

4 ? ? (2)由 f ( x) ? g ( x) 得 4 x ? b ? 2 x ? 4 ? 2 x ,即 b ? 1 ? ? 2 x ? x ? ???9 分 2 ? ? 4? ? 令 h( x) ? 1 ? ? 2 x ? x ? ,则 h( x) ? ?3 ,?????????????12 分 2 ? ? ? 当 b ? ?3 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立.?????????????14 分 18 、解答: (Ⅰ) 如图, BM ? AO sin ? ? 100sin ? ,
5

AB ? MO ? AO cos? ? 100 ? 100cos? ,? ? (0, ? ) .
则S ?

1 1 MB ? AB ? 100sin ? ? (100 ? 100cos? ) 2 2 1 ? 5000(sin? ? sin 2? ),? ? (0, ? ) ???? 6 分 2 ' 2 (Ⅱ) S ? 5000(2cos ? ? cos? ? 1) ? 5000(2cos? ? 1)(cos? ? 1) ,?? 8 分 ? 1 令 S ' ? 0 ,得 cos? ? ,cos? ? ?1 (舍去) ,此时 ? ? . 3 2
x
S'

(0, ) 3
+

?

?
3
0 极大值

( ,? ) 3
-

?

S
所以当 ? ?

?
3

时, S 取得最大值 Smax ? 3750 3m2 ,此时 AB ? 150 m .

答:当点 A 离路边 l 为 150 m 时,绿化面积最大,值为 3750 3m2 . 19、解:⑴ F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e x ( x2 ? ax ? 1) ,? F ?( x) ? e x ( x ? 1)( x ? a+1) ? 0 , 得 x ? ?1 或 x ? ? a ? 1 , ???????????????????????2 分 列表如下: ( a ? 0 , ? ?1 ? a ? ? 1 )

x
F ?( x ) F ( x)

(??, ?1 ? a)

?1 ? a 0

(?1 ? a, ?1)
?

?1
0

(?1 ? a, ??)

?
?

?
?

极大值

?

极小值

????????????????????????????????4 分 ? F ( x) 的单调增区间为: (??, ?1 ? a) , (?1, ??) ,减区间为 (?1 ? a, ?1) ; ??6 分 ⑵设 x1 ? x2 ,? f ( x) ? e x 是单调增函数,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,
? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?8 分

①由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) 得: f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) , 即函数 y ? f ( x) ? g ( x) ? ex ? x2 ? ax ? 1 在 [0, 2] 上单调递增,
? y? ? f ?( x) ? g ?( x) ? e x ? 2x ? a≥0 在 [0, 2] 上恒成立,
? a≤e x ? 2 x 在 [0, 2] 上恒成立;

令 h( x) ? e x ? 2 x ,? h?( x) ? e x ? 2 ? 0 ? x ? ln 2 , ? x ? [0,ln 2) 时, h?( x) ? 0 ; x ? (ln 2, 2] 时, h?( x) ? 0 ;
? h( x)min ? h(ln 2) ? eln 2 ? 2ln 2 ? 2 ? 2ln 2 , ? a≤2 ? 2 ln 2 ; ?????????????????12 分 ②由 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) 得: g ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) ,

即函数 y ? f ( x) ? g ( x) ? e x ? x2 ? ax ? 1 在 [0, 2] 上单调递增,
6

? y? ? f ?( x) ? g ?( x) ? e x ? 2 x ? a≥0 在 [0, 2] 上恒成立,
? a≥ ? e x ? 2 x 在 [0, 2] 上恒成立;

? 函数 y ? ?ex ? 2x 在 [0, 2] 上单调递减,? 当 x ? 0 时, ymax ? ?e0 ? 2 ? 0 ? ?1 , ? a≥ -1 , 综上所述,实数 a 的取值范围为 [?1, 2 ? 2ln 2] .????????????????16 分
20、【解析】 : (Ⅰ)因为 f ( x) ? a ?
'

b 2a ? 1 ,b ? 2 , 所以 f ' (3) ? a ? b ? 2 4 2 ( x ? 1)

又 g ( x) ? f ( x ? 1) ? ax ? x . 设 g ( x) 图像上任意一点 P( x0 , y0 ), 因为 g ' ( x) ? a ? 所以切线方程为 y ? (ax0 ? 令 x ? 0, 得 y ? 故三角形面积 S ?

2

2 , x2

2 2 ) ? (a ? 2 )( x ? x0 ). x0 x0

4 ; 再令 y ? ax, 得 x ? 2 x0 , x0

1 4 ? ? 2 x0 ? 4 , 即三角形面积为定值 2 x0 2 2 ? m ? x ?1? ? k, (Ⅱ)假设存在 m, k 满足题意,则有 x ? 1 ? x ?1 m ? x ?1 2(m ? 2) ? k ? 2 ? m 对定义域内任意 x 都成立, 化简,得 ( x ? 1)(m ? x ? 1) ?m ? 2 ? 0, ?m ? 2, 故只有 ? 解得 ? ?k ? 0. ?k ? 2 ? m ? 0. 所以存在实数 m ? 2, k ? 0, 使得 f ( x) ? f (m ? x) ? k 对定义域内的任意 x 都成立.
) ( Ⅲ ) 由 f ( 3?
知, x ? 1 ?

3 得 a ? 1 , f ( x) ? x ?

2 ?1 , 由 题 意 x ?1

2 ? t ( x 2 ? 2 x ? 3) x , 因为 x ? 0, 且 x ? 1, x ?1 1 , 化简,得 t ? x ( x ? 1)

? x 2 ? x, x ? 0, 且x ? 1, 1 ? 即 ? x ( x ? 1) ? ? 2 t ? ?? x ? x, x ? 0.
1 1 ? ? 0. 4 t 所以 t ? ?4, 即为 t 的取值范围
如图可知, ?

7


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