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广东省深圳市2015届高三上学期第一次五校联考数学文试题 (解析版)


深圳市五校 2015 届高三年级第一次联考文科数学试卷
本试卷共 21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

【试卷综析】试题比较平稳,基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,考查 的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重 考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移。试卷的整 体水准应该说可以看出编写者花费了一定的心血。但是综合知识、创新题目的题考的有点少,试题以它的知 识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能。试题起到了引 导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 【题文】1.已知集合 A ? {0,1, 2,3} ,集合 B ? { x ? N x ? 2} ,则 A A. {3} B. {0,, 1 2} A1 C. {1, 2}

B?

D. {0,,, 1 2 3}

【知识点】集合运算.

【答案解析】B 解析:集合 B 用列举法表示为: ?0,1, 2? ,所以 A 故选 B. 【思路点拨】先把集合 B 用列举法表示,再根据交集定义求 A

B ? ?0,1, 2?

B.

【题文】2.设复数 z1 ? 1 ? i , z2 ? 2 ? xi ( x ? R ) ,若 z1 ? z2 ? R ,则 x ? A. ?2 B. ?1 C. D. 2 【知识点】复数运算. L4

【答案解析】A 解析:因为 z1 ? z2 ? ?1? i ? ? ? 2 ? xi ? ? 2 ? x ? ? x ? 2? i ? R ,所以

x ? 2 ? 0 ,所以 x=-2,故选 A.
【思路点拨】利用复数乘法求得 z1 ? z2 ? ?1? i ? ? ? 2 ? xi ? ? 2 ? x ? ? x ? 2? i ,由复数是实数则复数的虚部为 0 得结论. 【题文】3.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是 A. 若m‖ ? , n‖ ? , 则m‖ n C. 若? B. 若m‖ ? , m‖ ? , 则?‖ ? D. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n G4 G5

? ? , ? ? ? , 则?‖ ?

【知识点】空间中线面平行、垂直的判定与性质.

【答案解析】 D 解析:对于选项 A: 若m‖? , n‖? , 则 m,n 平行、相交、异面都有可能;对于选项 B:

若m‖? , m‖ ? , 则 ? , ? 可能平行、可能相交;对于选项 C:

若? ? ? , ? ? ? , 则 ? , ? 可能平行、可能相交;所以选项 A、B、C 都不正确,故选 D.
【思路点拨】依次分析各选项得选项 A、B、C 都不正确,故选 D. 【题文】4.已知向量 p ? (2, ?3) , q ? ( x, 6) 且 p // q ,则 | p ? q | 的值为 A. 5 B. 13 F1 C.5 F2 D.13

【知识点】向量共线的意义;向量模的计算.

【答案解析】B 解析:由 p ? (2, ?3) , q ? ( x, 6) 且 p // q 得 12=-3x,即 x=-4,所以

p ? q ? ? 2, ?3? ? ? ?4, 6 ? ? ? ?2,3? ? 13 ,故选 B.
【思路点拨】由向量共线得 x=-4,从而得 p ? q ? ? 2, ?3? ? ? ?4, 6 ? ? ? ?2,3? ? 13 . 【题文】5.等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 a5 ? 8, S 3 ? 6 ,则 a9 ? A. 8 B. 12 D2 C. 16 D. 24

【知识点】等差数列.

【答案解析】C 解析:由 S3 ? 6 得

(a1 ? a3 ) ? 3 2a2 ? 3 ? ? 6 ,所以 a2 ? 2 ,又 a5 ? 8 2 2

所以 a5 ? a2 ? 3d ? 6 ,从而 d=2,所以 a9 ? a5 ? 4d ? 8 ? 4 ? 2 ? 16 ,故选 C. 【思路点拨】根据等差数列的前 n 项和公式,求得 a2 ? 2 ,再由 a5 ? a2 ? 3d ? 6 求得 d=2, 所以 a9 ? a5 ? 4d ? 8 ? 4 ? 2 ? 16 . 【题文】6.执行如右图所示的程序框图,则输出的 y = A.
开始

1 2

B.

C. ?1 L1

D. 2

y?2
i ?1

【知识点】算法与程序框图. 【答案解析】 D



解析:由程序框图得循环过程中 y 的取值依次是 这是一个以 3 为周期的周期数列,而 2014 除以 3 余
输出y
结束

i ? 2014 ?

1 1 2, , ?1, 2, , ?1, 2 2



1,所以输出的 y 值是此数列的第一个数 2,故选 D. 【思路点拨】 由程序框图得 y 取值规律: 以 3 为周期的周期数列,由此得输 出的 y 值. 【题文】7.将函数 y ? cos( 图像的一个对称轴是

y ? 1?

1 y

i ? i ?1

第(6)题

?
6

? 2 x) 的图像向右平移

?
12

个单位后所得的

A. x ?

?
6

B. x ?

?
4

C. x ?

?
3

D. x ? C4

?
12

【知识点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像与性质. 【答案解析】A 解析:将函数 y ? cos(

?
6

? 2 x) 的图像向右平移

?
12

个单位后所得:

?? ? ?? ?? ? ?? ? ? y ? cos ? ? 2 ? x ? ?? ? cos ? ? 2 x ? ? cos ? 2 x ? ? ,而对称轴是使函数取得最值的 x 值,经检验 3? ? 12 ?? ?3 ? ? ?6
x?

?
6

成立,故选 A.

【思路点拨】函数 y ? cos(

?
6

? 2 x) 的图像向右平移

?
12

个单位后为 y ? cos ? 2 x ?

? ?

??

?, 3?

再根据对称轴是使函数取得最值的 x 值得结论.
【题 文 】 8. 函数

f ( x) ? ( x ? 1) cos x 2 在区间[0,4]上的零点个数是
B.5 B9
2

A.4

C .6

D. 7

【知识点】函数的零点.

【答案解析】C 解析:由 f ? x ? ? ? x ?1? cos x2 ? 0 得 x-1=0 或 cos x ? 0 ,又 x ? ?0, 4?
2 所以 x ??0,16? ,所以 x=1 或 x ?
2

? 3? 5? 7? 9?
2 , 2 , 2 , 2 , 2

,所以函数 f ( x) ? ( x ? 1) cos x 在区间[0 ,4]上
2

的零点个数是 6,故选 C. 【思路点拨】根据函数零点的意义:函数的零点就是函数值为 0 的方程的根,因此只需求方程

f ? x ? ? ? x ?1? cos x2 ? 0 解的个数即可.
【题文】9.已知直线 l : x ? my ? 4 ? 0 ,若曲线 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 上存在两点 P、Q 关于直线对称,
2 2

则 m 的值为 A. 2 B. ?2 C. H4
2 2

D. ?1

【知识点】直线与圆的位置关系.

2 2 【答案解析】D 解析:因为曲线 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 是圆 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 9 ,

若圆 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 9 上存在两点 P、Q 关于直线对称,则直线 l : x ? my ? 4 ? 0 ,
2 2

过圆心(-1,3) ,所以 ?1 ? 3m ? 4 ? 0 ,解得 m ? ?1 ,故选 D. 【思路点拨】将已知曲线方程配方得其为圆,若圆上存在两点 P、Q 关于直线对称,则 直线过圆心,由此得关于 m 的方程,从而求得 m 值. 【题文】10.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) ? 0 ,当 x ? 0 时,有

xf ?( x) ? f ( x) ? 0 成立, x2

则不等式 f ( x) ? 0 的解集是 A. (?1, 0)

(1, ??)

B. (?1, 0)

C. (1, ??) B4 B12

D. (??, ?1)

(1, ??)

【知识点】函数的奇偶性;导数的应用. 【答案解析】A 解析:构造函数 h( x) ?

f ( x) xf ?( x) ? f ( x) , x ? 0 ,则 h?( x) ? ? 0, x ? 0 , x x2 f ( x) ? 0 ,从而得 f ( x) ? 0 ; 所以 h( x) 是 ? 0, ??? 上过点(1,0)的增函数.所以当 x ? ? 0,1? 时 x f ( x) ? 0 ,从而得 f ( x) ? 0 .由于函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,所以 当 x ? ?1, ?? ? 时 x
不等式 f ( x) ? 0 的解集 ? ?1,0?

?1, ??? ,故选 A.
f ( x) , x ? 0 ,确定函数 h( x) 是 ? 0, ??? 上过点(1,0)的增函数,由此得在 x

【思路点拨】构造函数 h( x) ?

(0,1)上 f ( x) ? 0 ,在 ?1, ?? ? 上 f ( x) ? 0 ,由函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,得不等式 f ( x) ? 0 的 解集 ? ?1,0?

?1, ??? .

二、填空题:本大题共 5 题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 【题文】11. 函数 y ?

x ?1 的定义域为. ln x
B1 解析:自变量 x 满足的条件为 ?

【知识点】函数的定义域. 【答案解析】 ? 0,1?

?1, ???

? x ? 1 ? 0 ? x ? ?1 ?? ?ln x ? 0 ? x ? 0, x ? 1

所以函数的定义域为 ? 0,1?

?1, ??? .

【思路点拨】根据函数有意义的条件列出关于 x 的不等式组求解. 【题文】12.一个几何体的三视图如图, 则该几何体的体积为 【知识点】几何体的三视图. 【答案解析】 6? G2 .

解析:由三视图可知此几何体

是底面半径为 2,高为 3 的半圆柱,所以其体积为

1 ? ? ? 22 ? 3 ? 6? . 2
【思路点拨】由几何体的三视图得该几何体的形状,从而求该几何体的体积.

x2 y 2 【题文】13.设双曲线 ? ? 1 的离心率为 2,且一个焦点与抛物线 x 2 ? 8 y 的焦点相同,则此双曲线 m n
的方程为____. 【知识点】双曲线与抛物线的几何性质. 【答案解析】 y ?
2

H6 H7

c x2 ? 1 解析:根据题意知:双曲线的离心率 e ? ? 2 ,一焦点 F ? 0,2? , a 3

所以 c ? 2, a ? 1 ,从而 b ? 3 ,又焦点在 y 轴上,所以 n ? a2 ? 1, m ? ?b2 ? ?3 ,此双曲线的方程为

y2 ?

x2 ? 1. 3

【思路点拨】先根据已知条件求得双曲线的字母参数 a,b,c 的值,再由焦点位置求得双曲线方程. (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 【题文】14. (几何证明选讲选做题)如图, CD 是圆 O 的切线,切点为 C ,点 B 在圆 O 上,

BC ? 2 3 , ?BCD ? 600 ,则圆 O 的面积为________.
【知识点】几何证明. N1

C

D

【答案解析】 4? 解析:连接 OC,因为 CD 是圆 O 的切线,
0 C 为切点,所以 OC ? CD ,因为 ?BCD ? 60 ,

O
第(14)题

B

所以 ?OCB ? 30 ,作 OH ? CB 于 H,则 H 为 BC 中点,因为 BC= 2 3 ,所以 CH ? 3

所以半径 OC=

3 ? 2 ,所以圆 O 的面积为 4? . cos30

【思路点拨】利用圆的切线的性质及垂径定理,求得圆的半径,从而求出圆面积. 【题文】15. (正四棱锥与球体积选做题)棱长为 1 的正方体的外接球的体积为________. 【知识点】多面体与球. G8

【答案解析】

3? 2

解析:因为正方体外接球的直径是正方体的对角线,而正方体的棱长为 1,所以球的

直径 12 ? 12 ? 12 ? 3 ,棱长为 1 的正方体的外接球的体积为:

? 3? 4 3? ?? ? ? ? . ? ? 2 ? 3 2 ? ?
【思路点拨】由正方体外接球的直径等于正方体的对角线,求得正方体的外接球的直径,进而求得球的体 积.

3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤. 【题文】16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos 2

x x x 1 ? sin cos ? 2 2 2 2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域; (2)若 f (? ) ?

3 2 ,求 sin 2? 的值. 10
C3 C7

【知识点】二倍角公式;两角和与差的三角函数;三角函数的性质;三角函数的求值. C6 C5

【答案解析】(1)

的最小正周期为

,值域为

;(2) 得 f ? x?

.

解析:(1)由已知,

-------4 分-

所以

的最小正周期为

,值域为

.

??6 分

(2)由(1)知,

所以

.

?8 分

所以 ???????????12 分



或由

得:

????8 分

两边平方得:

,所以

.?????12 分

【思路点拨】(1)利用二倍角公式、两角和与差的三角函数公式化简已知函数得:

f ( x) ?

2 ? cos(x ? ) ,由此求函数 f ( x) 的最小正周期和值域; 2 4

(2)由(1)及 f (? ) ?

?? 3 3 2 ? 得 cos ? ? ? ? ? ,所以 10 4? 5 ?

. 【题文】17. (本小题满分 13 分) 某中学高三年级从甲(文) 、乙(理)两个年级组各选出 7 名学生参加高校自主招生数学选拔考试,他们 取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图所示,其中甲组学生的平均分是 85,乙组学生成绩的中位数是 83. (1)求 x 和 y 的值; (2)计算甲组 7 位学生成绩的方差 s ; (3)从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生, 求甲组至少有一名学生的概率. 【知识点】用样本估计总体(茎叶图) ;概率. 【答案解析】 (1)x=5,y=3;(2) I2 K2
5
2

甲 8 9 7 8 9

乙 6 1 1 y 1 1 6

x 0 6 2

图3

7 . 解析:(1)∵甲组学生的平均分是 85, 10
. ∴ ∴ .?????1 分

∴ ∵乙组学生成绩的中位数是 83,

.????????2 分

(2)甲组 7 位学生成绩的方差为:

s2
(3)甲组成绩在 90 分以上的学生有两名,分别记为 乙组成绩在 90 分以上的学生有三名,分别记为 从这五名学生任意抽取两名学生共有 10 种情况: . ,

????5 分

?????6 分

.?9 分 其中甲组至少有一名学生共有 7 种情况: .???11 分 记“从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,甲组至少有一名学生”为事件 ,



.???????12 分

答:从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,甲组至少有一名学生的概率为

.

【思路点拨】 (1)根据平均数、中位数的意义 x、y 的值; (2)90 分以上的学生共 5 名,其中有 2 名甲组 学生,3 名乙组学生,从这 5 名学生中随机取出 2 名学生的情况有 10 种,可用列举法一一写出来,其中甲 组至少有一名学生共有 7 种情况,所以从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,其中甲组至少有 一名学生的概率是

7 . 10

【题文】18. (本小题满分 13 分) 如图甲,在平面四边形 ABCD 中,已知 ?A ? 45o , ?C ? 90o , ?ADC ? 105o , AB ? BD ,现将四边形 ABCD 沿 BD 折起,使平面 ABD ? 平面 BDC(如图乙) ,设点 E、F 分别为棱 AC、AD 的中点. (1)求证:DC ? 平面 ABC; (2)设 CD ? a ,求三棱锥 A-BFE 的体积.

A

F E
【知识点】空间位置关系的判定与性质; 几何体体积的计算. G1 G4 G5

D
【答案解析】(1)略; (2)

B C 乙

3 3 a 12
且 即 ??????1 分 平面 BDC=BD

解析:(1)证明:在图甲中,∵ ∴ ,

又在图乙中,∵平面 ABD

平面 BDC ,且平面 ABD

∴AB⊥底面 BDC,∴AB⊥CD.??????????3 分 ∵ 又由 ∴DC ,∴DC⊥BC??????????4 分 ??????????5 分 平面 ABC.??????????6 分
[]

(2)∵点 E、F 分别为 AC、AD 的中点∴EF//CD??????7 分 又由(1)知,DC 平面 ABC

∴EF⊥平面 ABC ??????????8 分 于是 EF 即为三棱锥 的高,

∴ 在图甲中,∵ ,

?????9 分 ∴ ,





,

?????11 分





???12 分



??????13 分

(若有其他解法,可视情况酌情给分) 【思路点拨】 (1)根据线面垂直的判定定理,只需在平面 ABC 中找到两条相交直线都与直线 DC 垂直即可, 显然平面 ABC 中的两条相交直线是 BC 和 BA; (2)∵点 E、F 分别为 AC、AD 的中点,∴EF//CD,又由(1) 知,DC 平面 ABC,∴EF⊥平 ABC ,

1 1 1 1 1 3 3 VA? BEF ? VF ? ABE ? VD ? ABC ? ? ? ? AB ? BC ? CD ? ? 2a ? 3a ? a = a . 4 4 3 2 24 12
【题文】19. (本小题满分 14 分) 各项均不相等的等差数列 ?an ? 的前四项的和为 S 4 ? 14 ,且 a1,a3,a7 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an 与前 n 项和 S n ; (2)记 Tn 为数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和,若 Tn ? ? an ?1 对任意的正整数 n 都成立,求实数 λ 的最小值. a a ? n n ?1 ?
D2 D4

【知识点】等差数列及其前 n 项和;数列求和;恒成立问题.

【答案解析】(1)



;(2)

. 解析:(1)设数列

的公差为

,由已知得

????????2 分 解得 由数列 所以 或 的各项均不相等,所以 ,解得 . ????3 分

??????????4 分





????????6 分

(2)因为

???????8 分

所以

?????10 分

因为



恒成立。即,

,对

恒成立。

等价于



恒成立。???????11 分

又 且在 时取等号?????13 分



所以实数

的最小值为

. ????14 分

【思路点拨】(1)由已知条件获得关于首项和公差的方程组,解方程组,求得首项和公差, 从而求得数列 ?an ? 的通项公式 an 与前 n 项和 S n ; (2)由裂项求和法求得 Tn ?

n , 2 ? n ? 2?

因为



恒成立. 即,

,对

恒成立.

等价于



恒成立. 又

n 2 ? n ? 2?
2

?

1 1 1 ? ? , 4 ? ? 2 ? 4 ? 4 ? 16 2? n ? ? 4? n ? ?

且在

时取等号,所以实数

的最小值为

.

【题文】20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 ? :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的上顶点为 P(0 , 1) ,过 ? 的焦点且垂直长轴的弦长为.若有一 a2 b2

个菱形 ABCD 的顶点 A 、 C 在椭圆 ? 上,该菱形对角线 BD 所在直线的斜率为 ? 1 . (1)求椭圆 ? 的方程;

(2)当直线 BD 过点 (1 , 0) 时,求直线 AC 的方程; (3)当 ?ABC ?

?
3

时,求菱形 ABCD 面积的最大值. H1 H8

【知识点】椭圆及其几何性质;直线的方程;直线与圆锥曲线. H5

【答案解析】(1) 解析:(1)依题意,

;

(2)

;

(3)

16 3 5

??????????1 分



,得

,??????????2 分

所以



,??????????3 分

于是椭圆 (2)由已知得直线 设直线 :

的方程为 : ,

。??????????4 分 ,??????????5 分 、 ??????????6 分

由方程组



,??????7 分



时,

AC 的中点坐标为 因为 是菱形,所以

, 的中点在 上,

,??8 分

所以

,解得

,满足

,????9 分

所以

的方程为

。??????10 分

(3)因为四边形

为菱形,且

,所以



所以菱形 由(2)可得

的面积

,??????11 分

???13 分 又因为 ,所以当且仅当 时,菱形 的面积取得最大值,

最大值为

。???14 分

?b ? 1 ? 【思路点拨】(1)根据题意得 ? 2b 2 ,解得 a,b 值,进而得到椭圆 的方程;(2)利用直线方程的点斜 ?1 ? ? a
式得直线 BD 方程 y=-x+1. 设直线 AC:y=x+b,代入椭圆方程, 由韦达定理得用 b 表示的线段 AC 的中点坐标, 此坐标满足直线 BD 方程,求得 b,从而得到直线 AC 的方程. (3)在菱形 ABCD 中,由 ?ABC ?

?
3

知:

,所以菱形 ABCD 的面积可用对角线 AC 的长表

示为

3 ? AC 2 ,由弦长公式得 AC 2 关于 b 的表达式,即得到菱形 ABCD 的面积 S 关于 b 的函数,求此函 2

数最大值即可. 【题文】21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ( x ?

1 ) ? 2 ln x , a ? R . x

(1)若 a ? 1 ,判断函数 f ( x) 是否存在极值,若存在,求出极值;若不存在,说明理由; (2)设函数 g ( x) ? ?

a ,若至少存在一个 x 0 ? [1, e] ,使得 f ( x 0 ) ? g ( x 0 ) 成立,求实数 a 的取值范围; x

(3)求函数 f ( x) 的单调区间. 【知识点】导数的应用. B12

【答案解析】 解析:(1)当

时,

,其定义域为(0,+?).

因为 所以 所以函数 (2)由存在一个

,????1 分 在(0,+?)上单调递增,?????2 分 不存在极值. ,使得 ??????3 分 成立,

等价于

,即

成立?????4 分



,等价于“当

时,

”.?5 分

因为 所以 故 在

,且当

时,



上单调递增,?????7 分 ,因此 . ???8 分

(3)函数

的定义域为



????9 分 当 所以 当 方程 时,因为 在(0,+?)上恒成立,

在(0,+?)上单调递减.?10 分 时,在 与方程 上, 有相同的实根.

① 且 因为 因为 因为 ②当 故

时,?>0,可得 ?????11 分 时, 时, 时, 时, ,所以 ,所以 ,所以 ,所以





在 在 在

上单调递增; 上单调递减; 上单调递增;?????12 分

在(0,+?)上恒成立, ?????13 分

在(0,+?)上单调递增. 时,

综上所述,当

的单调减区间为(0,+?);



时,

的单调增区间为





单调减区间为 当 时,



的单调增区间为(0,+?).?????14 分

【思路点拨】 (1)当 a=1 时, f ? x ? ? x ?

1 1 2 1 ? 2 ln x ,x>0,则 f ? ? x ? ? 1 ? 2 ? ? ( ?1) 2 ?0 在 (0, ??) x x x x
不存在极值.

上恒成立,所以 f (x) 在(0,+?)上单调递增,所以函数

(2)至少存在一个 x 0 ? [1, e] ,使得 f ( x 0 ) ? g ( x 0 ) 成立,即至少存在一个 x 0 ? [1, e] ,使 ax0 ? 2ln x0 , 即a ?

2 ln x 2 ln x0 F (x) ? 在 x 0 ? [1, e] , x ??1, e? ,则 有解,令 x x0

利用导数求得 F ( x)min 即可; (也可用数形结合法: 至少存在一个 x 0 ? [1, e] , 使 ax0 ? 2ln x0 , a ? F ( x)min , 也就是过定点(0,0)的直线 y=ax 的图像在区间 ?1, e? 上,有在函数 y ? 2ln x 上方的部分,所以 a>0.

(3)先求函数 f ( x ) 的定义域及导函数 f ?( x ) ,再讨论 a 的取值条件得 f ?( x ) 大于零或小于零的 x 取值范 围,得函数 f ( x ) 的单调区间.


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广东省深圳市2015届高三上学期第一次五校联考数学(文)试题
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