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江苏省淮安市范集中学2012届高三第一次全真模拟测试


1.异面直线所成的角
点 A,B ? 直线 a,C,D ? 直线 b。构成向量 AB, CD 。

cos ? AB,CD ??

AB ? CD AB CD

, ? AB,CD ? 所对应的锐角或直角即为直线 a(AB)与

b(CD)所成的角。 例1. 如图,已知直棱柱 ABC-A1B

1C1,在 ? ABC 中, CA=CB=1, ?BCA ? 90 ,棱 AA1=2,求异面直线
0

BA1,CB1 所成的角。

2.线面所成的角

AP 与 n 的角所对应的锐角的余角或直角即为直线 AP 与平面 ? 所成的角 ? ,所以 AP
与 n 的角的余弦值的绝对值为直线 AP 与平面 ? 所成的角的正弦值。 P

? n
A

?

O

?? ? arcsin cos ? AP, n ?
例 2.棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别 为 C1D1、B1C1 的中点, (1) 求证:E、F、B、D 共面; (2) 求点 A1D 与平面 EFBD 所成的角。

D1 A1

E F B1

C1

D A B

C

3.二面角的求法
二面角 ? ? l ? ? ,平面 ? 的法向量 m ,平面 ? 的法向量 n 。 ? m, n ?? ? ,则二面 角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? 或π ? ? 。

?

m

? n

?

m

? n

cos ? m,n ?? 所以,

m?n mn
,若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上),

当两个法向量的方向都向二面角内或外时,则 ? m, n ? 为二面角的平面角的补角;当 两个法向量的方向一个向二面角内,另一个向外时,则 ? m, n ? 为二面角的平面角。 例2. 如图,平面 ABCD, ? ADE 是等边三角形,ABCD 是矩形,F 是 AB 的中点,G 是 AD 的中点,EC 与 平面 ABCD 成 300 的角。 (1)求证:EG ? 平面 ABCD; (2)若 AD=2,求二面角 E-FG-G 的度数; (3)当 AD 的长是多少时,点 D 到平面 EFG 的距离为 2, 请说明理由。
E

A G B

F

D

C

一、 空间距离
点到面的距离 线到面的距离 线到线的距离 面到面的距离

1.点到面的距离
点 P 到面 ? 的距离 d 可以看成 AP 在平面 ? 的法向量 n 的方向上的射影的长度。 P

d?

AP ? n n
A

? n
?
O

2. 异面直线间的距离
异面直线 a,b 之间的距离可以看成 EF ( E ? a, F ? b) 在 a,b 的公垂向量 n 的方向上

的射影的长度。

E

b

d?

EF ? n n
F

? n
a

例 4.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AB=2,AD=4,AA1=6,E 是 的中点,F 是 CC1 的中点,建立空间坐标系,求 (1)异面直线 D1F 与 B1E 所成角的大小; (2)二面角 D1-AE-D 的大小; (3)异面直线 B1E 与 D1F 的距离。

BC

3. 线面距离

直线 a 与平面 ? 平行时, 直线上任意一点 A 到平面 ? 的距离就 是直线 a 与平面 ? 之间的距离。其求法与点到面的距离求法相同。 如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 3,

3 3 例 5. 侧棱长为 , 是 CB 延长线上一点, BD=BC。 D 且 2
(1)求直线 BC1 与平面 AB1D 之间的距离; (2)求二面角 B1-AD-B 的大小; (3)求三棱锥 C1-ABB1 的体积。

A C B

A1 C1 B1

4. 平面与平面间的距离

D

平面 ? 与平面 ? 平行时,其中一个平面 ? 上任意一点到平面

? 的距离就是平面 ? 与平面 ? 间的距离。其求法与点到面的
距离求法相同。 例 6.如图所示,在直三棱锥 ABC-A1B1C1 中, ?ABC ? 90 ,
0

BC=2,CC1=4,点 E 在线段 BB1 上,且 EB1=1,D、F、G 分别为 CC1、C1B1、C1A1 的中点。 (1)求证:B1D ? 平面 ABD; (2)求证;平面 EGF∥平面 ABD; (3)求平面 EGF 与平面 ABD 的距离。


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