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基本不等式求最值技巧


基本不等式求最值技巧
一. 加 0 在求和的最小值时,为了利用积的定值,有时需要加上零的等价式。 例 1. 已知 ,且 ,求 的最小值。

解:因为 ,所以 号当且仅当 取最小值

,所以

,所以

, 。式中等

时成立,此时 。

。所以当

时,

例 2. 设

,且

,求

的最小值。

解: 因为 且 。



, 所以

, 所以



所以

式中等号当且仅当 中得 。 2. 乘 1 。所以当

时成立, 此时 时,

。 将它代入 取最小值

在求积的最大值时,为了凑出和的定值,有时需要乘上 1 的等价式。 例 3. 已知 ,且 ,求 xyz 的最大值。

解:因为

,且



所以

式中等号当且仅当 则 , ,

时成立,此式可写为 , 把它们代入 。 , 解得

,令其比值为 t, 。 所以当 ,

时,xyz 取最大值 3. 拆式

在运用基本不等式求最值时,为满足解题需要,有时要进行拆式。

例 4. 求函数

的最小值。

解:因为

,所以



所以

式中等号当且仅当

时成立,解得

,所以当

时,



例 5. 设



,求

的最小值。

解:因为



所以

式中等号当且仅当 取最小值 3。 4. 拆幂

时成立,此时

,所以当

时,

在求积的最大值时,为了满足和为定值时对项数的要求,有时要拆幂。 例 6. 设 ,求函数 的最大值。

解:因为

,所以

所以

式中等号当且仅当

时即

时成立。所以当

时,



例 7. 设

,且

为定值,求

的最大值。

解:因为

所以

式中等号当且仅当

时成立,此时



所以当



取最大值



5. 平方 在求积的最大值时, 有时要凑出和的定值很困难,但积式平方后却容易凑出和的 定值。 例 8. 设 ,且 为定值,求 的最大值。

解:因为



所以

所以

式中等号当且仅当

时成立,此时

所以当

时,

取最大值



例 9. 已知

,求

的最大值。

解:因为

,所以



所以

所以

。式中等号当且仅当

,即

时成立。

所以当

时,




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