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高考专题训练11 空间几何体的三视图、表面积与体积


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高考专题训练(十一) 空间几何体的三视图、表面积与体积
A 级——基础巩固组 一、选择题 1.(2014· 武汉调研)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观 图可以是( ) 新|课
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解析 A、B、C 与俯视图不符. 答案 D 2.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的 侧(左)视图为( )

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解析 抓住其一条对角线被遮住应为虚线,可知正确答案在 C,D 中, 又结合直观图知,D 正确. 答案 D 3.(2014· 安徽卷)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积 为( )

A.21+ 3 C.21 解析

B.18+ 3 D.18

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由三视图知,该多面体是由正方体割去两个角所成的图形,如图所示, 则 S=S + 3. 答案 A 4.已知 S,A,B,C 是球 O 表面上的点,SA⊥平面 ABCD,AB⊥BC, SA=AB=1,BC= 2,则球 O 的表面积等于( A.4π C.2π 解析 B.3π D.π )
正方体

-2S

三棱锥侧

+2S

三棱锥底

1 3 =24-2×3×2×1×1+2× 4 ×( 2)2=21

如图所示,由 AB⊥BC 知,AC 为过 A,B,C,D 四点小圆直径, 所以 AD⊥DC. 又 SA⊥平面 ABCD, 设 SB1C1D1-ABCD 为 SA,AB,BC 为棱长构造的长方体, 得体对角线长为 12+12+? 2?2=2R, 所以 R=1,球 O 的表面积 S=4πR2=4π.故选 A. 答案 A 5.(2014· 湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该石材 切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )

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A.1 C.3 解析

B.2 D.4

由三视图可得原石材为如图所示的直三棱柱 A1B1C1-ABC,且 AB=8, BC=6,BB1=12.若要得到半径最大的球,则此球与平面 A1B1BA,BCC1B1, ACC1A1 相切,故此时球的半径与△ABC 内切圆的半径相等,故半径 r= 6+8-10 =2.故选 B. 2 答案 B
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6.点 A,B,C,D 均在同一球面上,其中△ABC 是正三角形,AD⊥ 平面 ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为( )

A.32 3π B.48π C.64 3π D.16 3π 解析

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如图所示,O1 为三角形 ABC 的外心,过 O 做 OE⊥AD, ∴OO1⊥面 ABC, 3 ∴AO1= 3 AB= 3.∵OD=OA, ∴E 为 DA 的中点.∵AD⊥面 ABC, ∴AD∥OO1,∴EO=AO1= 3. ∴DO= DE2+OE2=2 3. ∴R=DO= 2 3. 4 ∴V=3π(2 3)3=32 3π. 答案 A 二、填空题 7.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积是________.

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w

w w .x k b 1.c o m

解析

由三视图可知,四棱锥的高为 2,底面为直角梯形 ABCD.其中 DC=2, 1 ?2+3?× 3 5 3 AB=3,BC= 3,所以四棱锥的体积为3× × 2 = 2 3 . 答案 5 3 3

8.如图,在三棱柱 A1B1C1-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点, 设三棱锥 F-ADE 的体积为 V1, 三棱柱 A1B1C1-ABC 的体积为 V2, 则 V1 V2=________.

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解析 设三棱柱 A1B1C1-ABC 的高为 h, 底面三角形 ABC 的面积为 S, 1 1 1 1 1 则 V1=3×4S· h = Sh = 2 24 24V2,即 V1 V2= 答案 9.在四面体 ABCD 中,AB=CD=6,AC=BD=4,AD=BC=5,则 四面体 ABCD 的外接球的表面积为________. 解析 构造一个长方体,使得它的三条面对角线分别为 4、5、6,设长 77 方体的三条边分别为 x,y,z,则 x2+y2+z2= 2 ,而长方体的外接球就是 77 四面体的外接球,所以 S=4πR2= 2 π. 答案 77 2π

三、解答题 10.下列三个图中,左边是一个正方体截去一个角后所得多面体的直 观图.右边两个是其正(主)视图和侧(左)视图.

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(1)请在正(主)视图的下方, 按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图 (不要求叙述作图过程). (2)求该多面体的体积(尺寸如图). 解 (1)作出俯视图如图所示.

(2)依题意,该多面体是由一个正方体(ABCD-A1B1C1D1)截去一个三棱 锥(E-A1B1D1)得到的,所以截去的三棱锥体积
? 1 1 ?1 2 VE-A1B1D1=3· S△A1B1D1· A1E=3×?2×2×2?×1=3, ? ?

正方体体积 V 正方体 AC1=23=8,

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2 22 所以所求多面体的体积 V=8-3= 3 . 11.

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(2014· 安徽卷)如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,A1A⊥底面 ABCD.四 边形 ABCD 为梯形, AD∥BC, 且 AD=2BC.过 A1, C, D 三点的平面记为 α, BB1 与 α 的交点为 Q. (1)证明:Q 为 BB1 的中点; (2)求此四棱柱被平面 α 所分成上下两部分的体积之比. 解 (1)证明:因为 BQ∥AA1,BC∥AD,BC∩BQ=B,AD∩AA1=A, 所以平面 QBC∥平面 A1AD. 从而平面 A1CD 与这两个平面的交线相互平行,即 QC∥A1D. 故△QBC 与△A1AD 的对应边相互平行,于是△QBC∽△A1AD. BQ BQ BC 1 所以BB =AA =AD=2, 1 1 即 Q 为 BB1 的中点.新-课-标-第-一-网

(2)如图,连接 QA,QD. 设 AA1=h,梯形 ABCD 的高为 d,四棱柱被平面 α 所分成上下两部分
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的体积分别为 V 上和 V 下,BC=a,则 AD=2a. 11 1 VQ-A1AD=3· · 2 a · h · d = 2 3ahd, 1 a+2a ?1 ? 1 ? h?= ahd, VQ-ABCD=3· 2 · d· 2 4
? ?

7 所以 V 下=VQ-A1AD+VQ-ABCD=12ahd, 3 又 V 四棱柱 A1B1C1D1-ABCD=2ahd, V上 3 7 11 所以 V 上=V 四棱柱 A1B1C1D1-ABCD-V 下=2ahd-12ahd=12ahd.故 V下 11 =7. B 级——能力提高组 1.(2014· 北京卷)在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A(2,0,0),B(2,2,0), C(0,2,0),D(1,1, 2).若 S1,S2,S3 分别是三棱锥 D-ABC 在 xOy,yOz, zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则( A.S1=S2=S3 C.S3=S1 且 S3≠ S2 )

B.S2=S1 且 S2≠S3 D.S3=S2 且 S3≠S1

解析 作出三棱锥在三个坐标平面上的正投影, 计算三角形的面积. 如 1 图所示,△ABC 为三棱锥在坐标平面 xOy 上的正投影,所以 S1=2×2×2 =2.三棱锥在坐标平面 yOz 上的正投影与△DEF(E,F 分别为 OA,BC 的中 1 点)全等,所以 S2=2×2× 2= 2.三棱锥在坐标平面 xOz 上的正投影与△ 1 DGH(G,H 分别为 AB,OC 的中点)全等,所以 S3=2×2× 2= 2.所以 S2 =S3 且 S1≠S3.故选 D.

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答案 D 2.(2014· 山东卷)三棱锥 P-ABC 中,D,E 分别为 PB,PC 的中点, V1 记三棱锥 D-ABE 的体积为 V1,P-ABC 的体积为 V2,则V =________.
2

1 1 解析 由于 VP-ABE=VC-ABE,所以 VP-ABE=2VP-ABC,又因 VD-ABE=2VP
-ABE

1 V1 1 ,所以 VD-ABE=4VP-ABC,∴V =4.
2

1 答案 4 3.

(理)(2014· 课标全国卷Ⅱ)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩

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形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 AEC; (2)设二面角 D-AE-C 为 60° ,AP=1,AD= 3,求三棱锥 E-ACD 的体积. 解 (1)连接 BD 交 AC 于点 O,连接 EO. 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点. 又 E 为 PD 的中点,所以 EO∥PB. EO?平面 AEC,PB?平面 AEC, 所以 PB∥平面 AEC. (2)因为 PA⊥平面 ABCD,ABCD 为矩形,所以 AB,AD,AP 两两垂直. → 的方向为 x 轴的正方向,|PA → |为单位长,建 如图,以 A 为坐标原点,AB 立空间直角坐标系 A-xyz.

则 D(0, 3,0),E?0,
?

?

3 1? → ? 3 1? ?, AE=?0, , ?. , 2 2? 2 2? ?
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→ =(m, 3,0), 设 B(m,0,0)(m>0),则 C(m, 3,0),AC 设 n1=(x,y,z)为平面 ACE 的法向量, → =0, ?n1· AC 则? → =0, ?n1· AE

?mx+ 3y=0, 即? 3 1 ? 2 y+2z=0,
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可取 n1=?

? 3 ? ?. ,- 1 , 3 ?m ?

又 n2=(1,0,0)为平面 DAE 的法向量, 1 由题设|cos〈n1,n2〉|=2,即 3 1 2= , 3+4m 2

3 1 解得 m=2.因为 E 为 PD 的中点,所以三棱锥 E-ACD 的高为2.三棱锥 1 1 3 1 3 E-ACD 的体积 V=3×2× 3×2×2= 8 . 3.(文)如图,在 Rt△ABC 中,AB=BC=4,点 E 在线段 AB 上.过点 E 作 EF∥BC 交 AC 于点 F, 将△AEF 沿 EF 折起到△PEF 的位置(点 A 与 P 重合),使得∠PEB=30° .
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(1)求证:EF⊥PB; (2)试问: 当点 E 在何处时, 四棱锥 P-EFCB 的侧面 PEB 的面积最大? 并求此时四棱锥 P-EFCB 的体积. 解 (1)证明:∵AB=BC,∴BC⊥AB, 又∵EF∥BC,∴EF⊥AB, 即 EF⊥BE,EF⊥PE. 又 BE∩PE=E, ∴EF⊥平面 PBE, ∴EF⊥PB.
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(2)设 BE=x,PE=y,则 x+y=4. 1 1 1?x+y?2 ? =1. ∴S△PEB=2BE· PE· sin∠PEB=4xy≤4? ? 2 ? 当且仅当 x=y=2 时,S△PEB 的面积最大. 此时,BE=PE=2. 由(1)知 EF⊥平面 PBE, ∴平面 PBE⊥平面 EFCB, 在平面 PBE 中,作 PO⊥BE 于 O, 则 PO⊥平面 EFCB. 即 PO 为四棱锥 P-EFCB 的高. 1 又 PO=PE· sin30° =2×2=1. 1 S 梯形 EFCB =2(2+4)×2=6. 1 ∴VP-BCFE=3×6×1=2.
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