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人教A版数学必修二第四章第四课时同步练习4.2.2圆与圆的位置关系


§4.2.2 圆与圆的位置关系
一、填空题:
1. 判断下列两个圆的位置关系:
(1)( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 1与( x ? 7)2 ? ( y ?1)2 ? 36 位置关系是_________. (2)2x2 ? 2 y 2 ? 3x ? 2 y ? 0与3x2 ? 3 y 2 ? x ? y ? 0 位置关系是_________.

2. 若圆 x2 ? y 2 ? m 与圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ?11 ? 0 相交,实数 m 的取值范围是________. 3.一个圆经过圆 C1 : x2 ? y 2 ? 8x ? 9 ? 0 和圆 C2 : x2 ? y 2 ? 8 y ? 15 ? 0 的两个交点,且 圆心在直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上,则该圆的方程为_______________________________. 4.已知一个圆经过直线 2 x ? y ? 4 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 的两个交点,并且有 最小面积,则此圆的方程为__________________________.

二、解答题:
5. 判断下列两圆的位置关系:
(1)( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1与( x ? 2)2 ? ( y ? 5)2 ? 16

(2)x2 ? y2 ? 6x ? 7 ? 0与x2 ? y2 ? 6 y ? 27 ? 0

6. 求过点 A(0, 6) 且与圆 C : x2 ? y 2 ? 10x ? 10 y ? 0 切于原点的圆的方程.

7. 已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 1 ? 0 ,圆 C2 : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ?11 ? 0 ,求两圆的公 共弦所在的直线方程及公共弦长.

8. 求 过 两 圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 4 ? 0和

x2 ? y 2 ? 6 y ? 28 ? 0 的 交 点 , 且 圆 心 在 直 线

x ? y ? 4 ? 0 上的圆的方程.

参考答案
一、填空题: 1. 答案: (1)内切, (2)相交. 2. 答案: 1 ? m ? 121 .

10 14 x ? y ? 12 ? 0 . 3 3 13 2 6 2 4 4.答案: ( x ? ) ? ( y ? ) ? . 5 5 5
3.答案: x ? y ?
2 2

二、解答题:
5. 【解】 (1)根据题意得,两圆的半径分别为 r 和r2 ? 4 ,两圆的圆心距 1 ?1

d ? [2 ? (?2)]2 ? (5 ? 2) 2 ? 5.
因为 d ? r 1 ? r2 ,所以两圆外切. (2)将两圆的方程化为标准方程,得 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16, x2 ? ( y ? 3)2 ? 36 . 故两圆的半径分别为 r 1 ? 4和r2 ? 6 , 两圆的圆心距

d ? (0 ? 3) 2 ? (3 ? 0) 2 ? 3 2



因为 | r 1 ?r 2 |? d ? r 1 ? r2 ,所以两圆相交. 点评:判断两圆的位置关系,不仅仅要判断 d 与 r1 ? r2 的大小,有时还需要判断 d 与 r 1 ?r 2 的关系. 6. 分析: 如图, 所求圆经过原点和 A(0, 6) , 且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上. 根 据这三个条件可确定圆的方程. 【解】将圆 C 化为标准方程,得

( x ? 5)2 ? ( y ? 5)2 ? 50 ,
则圆心为 C (?5, ?5) ,半径为 5 2 .所以经过此圆心和原点的直线方程为 x ? y ? 0 .

设所求圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . 由题意知,O(0,0), A(0,6) 在此圆上,且圆心 M (a, b) 在直 线 x ? y ? 0 上,则有

?(0 ? a)2 ? (0 ? b)2 ? r 2 , ?a ? 3, ? ? 2 2 2 ?(0 ? a) ? (6 ? b) ? r , ? ?b ? 3, ?a ? b ? 0 ? ?r ? 3 2. ?
于是所求圆的方程是 ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 18 . 点评: 此题还可以通过弦的中垂线必过圆心这一性质来解题, 由题意, 圆心必在直线 y ? 3 上,又圆心在直线 x ? y ? 0 ,从而圆心坐标为 (3,3) , r ? 3 2 ,所以所求圆的方程为

( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 18 .
7. 分析:因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程,联立方程组,消去 x 项、 y 2 项,即得 两圆的两个交点所在的直线方程,利用勾股定理可求出两圆公共弦长. 【解】设两圆交点为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则 A、B 两点坐标满足方程组
2

? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 1 ? 0, (1) ? , (1) ? (2) 得 3x ? 4 y ? 6 ? 0 . ? 2 2 (2) ? ? x ? y ? 4 x ? 2 y ? 11 ? 0,
因为, A、B 两点坐标都满足此方程, 所以, 3x ? 4 y ? 6 ? 0 即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆 C1 的圆心 (?1,3) ,半径 r ? 3 . 又 C1 到直线的距离为 d ?

| ?1? 3 ? 4 ? 3 ? 6 | 3 ? (?4)
2
2

2

9 ? . 5

所以, AB ? 2 r ? d ? 2 3 ? ( ) ?
2 2 2

9 5

24 24 .即两圆的公共弦长为 . 5 5

点评:本题较为复杂,要讨论的情况比较多,解题过程中要 注重分析.

8.分析:所求圆圆心是两已知圆连心线和已知直线的交点,再利用弦心距、弦长、半径 之间的关系求圆半径

【解】 (法一)可求得两圆连心线所在直线的方程为 x ? y ? 3 ? 0 .
由?

? x ? y ? 4 ? 0, 1 7 得圆心 ( , ? ) . 2 2 ? x ? y ? 3 ? 0,
所以,圆半径

利用弦心距、弦长、半径之间的关系可求得公共弦长 d ? 50 ,

7 ? 1 ? | ? (? ) ? 4 | ? ? d 89 2 r 2 ? ( )2 ? ? 2 . ? ? 2 2 2 ? ? ? ?
所以,所求圆方程为 ( x ? 1 ) 2 ? ( y ? 7 ) 2 ? 89 ,
2 2 2

2

即 x2 ? y 2 ? x ? 7 y ? 32 ? 0 ( 法 二 ) 设 所 求 圆 的 方 程 为 x2 ? y 2 ? 6x ? 4 ? ? ( x2 ? y 2 ? 6 y ? 28) ? 0 即

6 6? 4 ? 28? x? y? ? 0. 1? ? 1? ? 1? ? 3 ?3? 3 ?3? , ), ? ? 4 ? 0, 故此圆的圆心为 (? 它在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,所以 ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? x2 ? y 2 ?
所以 ? ? ?7 . 所以所求圆方程为 x ? y ? x ? 7 y ? 32 ? 0
2 2

点评:“解法二”中设出的经过两已知圆交点的圆方程叫做经过两已知圆的圆系方程.


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