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2014年高考全国卷2理科数学试题及答案


2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科(新课标卷二Ⅱ)
第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.设集合 M ? {0,1, 2} , N ? ?x | x2 ? 3x ? 2≤0? ,则 M A.

N =(

) D. {1, 2}<

br />
{1}

B. {2}

C. {0,1}

【答案】D 【解析】把 M ? {0,1, 2} 中的数,代入不等式 x 2 ? 3x ? 2≤0 经检验 x ? 1, 2 满足。所以选 D. 2.设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, z1 ? 2 ? i ,则 z1 z2 ? ( A. 5 【答案】B 【解析】 B. -5 C. - 4+ i D. - 4 - i )

? z1 = 2 + i, z1与z2关于虚轴对称, ∴z2 = -2 + i, ∴ z1 z2 = -1 - 4 = -5, 故选B.
3.设向量 a, b 满足 | a ?b |? 10 , | a ?b |? 6 ,则 a ?b ? ( A. 1 【答案】A 【解析】 B. 2 C. 3 ) D. 5

?| a + b |= 10, | a - b |= 6,, ∴ a + b + 2ab =10, a + b - 2ab = 6, 联立方程解得 ab =1, 故选A.
4.钝角三角形 ABC 的面积是 1 , AB ? 1 , BC ? 2 ,则 AC ? (

2

2

2

2

2

)

A. 5 【答案】B 【解】

B.

5

C. 2

D. 1

1 1 1 2 ? S ΔABC = ac sin B = ? 2 ?1? sin B = ∴ sin B = , 2 2 2 2 π 3π π ∴ B = , 或 .当B = 时,经计算ΔABC为等腰直角三角形,不 符合题意,舍去。 4 4 4 3π ∴ B = ,使用余弦定理, b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B, 解得b = 5.故选B. 4
5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率 是( ) B. 0.75 A C. 0.6 D. 0.45

A. 0.8 【答案】

【解析】本题考查条件概率,记第一天空气质量优良为事件 A ,随后一 天的空气质量也为优良为事件 B ,则 AB 表示连续两天空气质量都为优 良,则所求概率为 P( B | A) ?

P( AB) 0.6 ? ? 0.8 P( A) 0.75

6.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件 由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的 比值为( A. ) B. 5

17 27
C

9

C. 10

27

D.

1 3

【答案】 【解析】

? 加工前的零件半径为 3,高6, ∴ 体积v1 = 9π ? 6 = 54π. ? 加工后的零件,左半部 为小圆柱,半径 2,高4,右半部为大圆柱,半 径为3,高为2. ∴ 体积v2 = 4 π ? 4 + 9π ? 2 = 34π. ∴ 削掉部分的体积与原体 积之比= 54π - 34π 10 = .故选C. 54π 27

7.执行右图程序框图,如果输入的 x , t 均为 2,则输出的 S ? ( A. 4 【答案】 【解析】 C B. 5 C. 7 D. 6



x = 2, t = 2, 变量变化情况如下: M S K 1 2 2 故选C. 3 5 7 1 2 3

8.设曲线 y ? ax ? ln( x ? 1) 在点(0,0)处的切线方程为 y ? 2 x ,则 a ? A. 0 【答案】 【解析】 B. 1 D C. 2 D. 3

? f ( x) = ax - ln(x +1),∴f ′ ( x) = a -

1 . x +1 ∴f (0) = 0, 且f ′ (0) = 2.联立解得a = 3.故选D.

? x ? y ? 7≤0 ? 9.设 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1≤0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?3 x ? y ? 5≥0 ?
A. 10 【答案】 【解析】 B B. 8 C. 3 D. 2



画出区域,可知区域为 三角形,经比较斜率, 可知目标函数 z = 2 x - y在两条直线x - 3 y +1 = 0与x + y - 7 = 0的交点(5,2)处, 取得最大值z = 8.故选B.
10.设 F 为抛物线 C: y 2 ? 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A, B 两点,O 为坐标原点,

则 ?OAB 的面积为( ) A.

3 3 4
D

B.

9 3 8

C.

63 32

D. 9

4

【答案】 【解析】

设点A、B分别在第一和第四象限 ,AF = 2m, BF = 2n,则由抛物线的定义和 直角三角形知识可得, 3 3 3 3 2m = 2 ? + 3m,2n = 2 ? - 3n,解得m = (2 + 3 ), n = (2 - 3 ),∴m + n = 6. 4 4 2 2 1 3 9 ∴S ΔOAB = ? ? (m + n) = .故选D. 2 4 4
11.直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,?BCA ? 90 , M , N 分别是 A 1B 1 , AC 1 1 的中 点, BC ? CA ? CC1 ,则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( A. 1 B. 2 )

10
C

5

C.

30 10

D.

2 2

【答案】 【解析】

如图,分别以 C1 B1,C1 A1,C1C为X , Y , Z轴,建立坐标系。令 AC = BC = C1C = 2, 则 A(0,2,2), B(2,0,2), M (1,1,0), N (0,1,0).∴ BM = ( - 1,1, - 2), AN = (0, - 1, - 2)。 cosθ = BM ? AN | BM | ? | AN | = 0 - 1+ 4 30 = .故选C. 10 6 5
2

2 12.设函数 f ? x ? ? 3 sin ? x .若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足 x0 2 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? m ,则 m 的取值范 m

围是(



A. ? ??, ?6? ? ? 6, ?? B. 【答案】C 【解析】

? ??, ?4? ? ? 4, ??

C.

? ??, ?2? ? ? 2, ??

D. ? ??, ?1? ? ? 4, ??

? f ( x) = 3 sin

πx |m| 的极值为± 3,即[ f ( x0 )]2 = 3, | x0 |≤ , m 2 m2 m2 2 ∴x0 +[ f ( x0 )]2 ≥ + 3, ∴ + 3 < m 2 , 解得 | m |> 2.故选C. 4 4

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生必须做答.第 22 题 ~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题 13. ? x ? a ? 的展开式中, x 7 的系数为 15,则 a=________.(用数字填写答案)
10

【答案】

1 2
3 7 3 7 3 3

【解析】? C10 x a = 15x ∴ C10 a = 15, a =

1 1 .故a = . 2 2

14.函数 f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? 的最大值为_________. 【答案】 1 【解析】

? f ( x) = sin(x + 2φ) - 2 sin φ cos(x + φ) = sin(x + φ) ? cosφ + cos(x + φ) ? sin φ - 2 sin φ cos(x + φ) = sin(x + φ) ? cosφ - cos(x + φ) ? sin φ = sin x ≤1.∴ 最大值为 1.
15. 已 知 偶 函 数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 单 调 递 增 , f ? 2? ? 0 . 若 f ? x ?1? ? 0 , 则 x 的 取 值 范 围 是 __________. 【答案】 【解析】

(-∞ , -1 ) ∪ (3, +∞ )

? 偶函数y = f ( x)在[0,+∞)上单增,且f (2) = 0 ∴ f ( x) > 0的解集为| x |> 2. ∴ f ( x - 1) > 0的解集为| x - 1 |> 2,解得x ∈(-∞, - 1) ∪ (3, +∞) . 故解集为| x - 1 |> 2,解得x ∈ (-∞ , - 1) ∪ (3, +∞ ) .
16.设点 M( x0 ,1) ,若在圆 O: x 2 ? y 2 ? 1上存在点 N,使得 ?OMN ? 45 ,则 x0 的取值范围是 ________.

【答案】 【解析】

[-1,1]

在坐标系中画出圆 O和直线y =1,其中M(x0 ,1)在直线上 . 由圆的切线相等及三角 形外角知识,可得 x0 ∈ [-1,1].故x 0 ∈[-1,1].
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an?1 ? 3an ? 1 . (Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式;

?

2

?

(Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1

a2

an

2

【答案】 【解析】 (1)

(1) 无

(2) 无

? a1 = 1, an+1 = 3an +1.n ∈ N * . 1 1 1 ∴ a n+1 + = 3an +1+ = 3(an + ). 2 2 2 1 1 3 ∴{an + }是首项为a1 + = , 公比为3的等比数列。 2 2 2
(2)

1 3n 3n - 1 1 2 由(1)知,an + = ,∴ an = , = n . 2 2 2 an 3 - 1 1 1 2 1 = 1, 当n >1时, = n < n-1 . a1 an 3 - 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - 3n 3 1 3 ∴ + + +?+ <1+ 1 + 2 +?+ n-1 = =( 1- n ) < . 1 2 a1 a2 a3 an 3 3 3 3 2 13 1 1 1 1 3 所以, + + +?+ < ,n ∈ N * (证毕) . a1 a2 a3 an 2

或者

1 2 1 ? n ? n an 3 ? 1 2

1 ? 1 ? …+ 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ??? ? 3 a1 a2 an 4 8 2
18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD , E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明: PB ∥平面 AEC ; (Ⅱ)设二面角 D ? AE ? C 为 60° , AP ? 1 , AD ? 3 ,求三棱锥 E ? ACD 的体积.

【答案】 【解析】

(1) 无

(2) 无

(1)设 AC 的中点为 G, 连接 EG。在三角形 PBD 中,中位线 EG//PB,且 EG 在平面 AEC 上,所以 PB//平面 AEC. (2)设 CD=m, 分别以 AD,AB,AP 为 X,Y,Z 轴建立坐标系,则

3 1 ,0, ), C ( 3 , m,0). 2 2 3 1 ∴ AD = ( 3 ,0,0), AE = ( ,0, ), AC = ( 3 , m,0). 2 2 A(0,0,0), D( 3 ,0,0), E ( 设平面ADE法向量为n1 = ( x1 , y1 , z1 ), 则n1 AD = 0, n1 AE = 0, 解得一个n1 = (0,1,0). 同理设平面ACE法向量为n2 = ( x2 , y2 , z 2 ),则n2 AC = 0, n2 AE = 0, 解得一个n2 = (m,- 3 ,- 3m). π | n ?n | 3 1 3 ? cos =| cos< n2 , n2 >|= 2 2 = = , 解得m = . 2 2 3 2 2 | n2 | ? | n2 | m + 3 + 3m EF 1 设F为AD的中点,则PA // EF , 且PA = = , EF ⊥ 面ACD, 2 2 1 1 1 3 1 3 即为三棱锥E - ACD的高.∴VE - ACD = ? S ΔACD ? EF = ? ? ? 3 ? = . 3 3 2 2 2 8 3 所以,三棱锥E - ACD的体积为 。 8

19. (本小题满分 12 分) 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y (单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情 况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

b?

?

? ? t ? t ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? ?t ? t ?
i ?1 i

n

2

? ? ? y ? bt ,a

【答案】 【解析】 (1)

(1)

y = 0.5t + 2.3.

(2) 约 6800 元

?t =

1 + 2 +?+ 7 2.9 + 3.3+ 3.6 + 4.4 + 4.8 + 5.2 + 5.9 = 4, y = = 4.3 7 7 设回归方程为y = bt + a, 代入公式,经计算得 3 *14+ 2 + 0.7 + 0 + 0.5 +1.8 + 4.8 14 1 = = , (9 + 4 +1) * 2 14* 2 2 1 a = y - bt = 4.3 - * 4 = 2.3 2 所以,y关于t的回归方程为y = 0.5t + 2.3. b=

1 ? b = > 0,∴ 2007 年至2013 年该区人均纯收入稳步 增长,预计到 2015 年, 2 该区人均纯收入 y = 0.5 ? 9 + 2.3 = 6.8(千元) 所以,预计到 2015 年,该区人均纯收入约 6千8百元左右。
20. (本小题满分 12 分)
2 x2 ? y ? 1? a ? b ? 0? 的左右焦点,M 是 C 上一点且 MF 与 x 轴垂直,直线 设F , 分别是椭圆 F 1 2 2 2 2

a

b

MF1 与 C 的另一个交点为 N.
(Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率;

4

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F1N ,求 a,b.

【答案】 【解析】 (1)

(1)

1 2

(2) a = 7, b = 2 7

MF1 3 b 2 1 3 ?由题知, = ∴ ? = , 且a 2 = b 2 + c 2 .联立整理得: 2e 2 + 3e - 2 = 0, F1 F2 4 a 2c 4 1 1 解得e = .∴ C的离心率为 . 2 2

(2)

由三角形中位线知识可 知,MF2 = 2 ? 2,即

b2 = 4. a 设F1 N = m,由题可知MF1 = 4m.由两直角三角形相似, 可得 3 M , N两点横坐标分别为 c,- c.由焦半径公式可得: 2 3 c MF1 = a + ec, NF1 = a + e(- c),且MF1 : NF1 = 4 : 1, e = , 2 a 2 2 2 a = b + c .联立解得a = 7, b = 2 7 . 所以,a = 7, b = 2 7

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? = e x ? e ? x ? 2 x (Ⅰ)讨论 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)设 g ? x ? ? f ? 2x ? ? 4bf ? x ? ,当 x ? 0 时, g ? x ? ? 0 ,求 b 的最大值; (Ⅲ)已知 1.4142 ? 【答案】 【解析】 (1) (1)

2 ? 1.4143 ,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001)
(2) 2 (3)0.693

f ( x)在R上单增

? f ( x) = e x - e- x - 2 x,x ∈ R ∴ f ′ ( x) = e x + e - x - 2 = e x + 所以,f ( x)在R上单增 .
(2)

1 1 - 2 ≥2 e x ? x - 2 = 0. x e e

g ( x) = f (2 x) - 4bf ( x) = e 2 x - e -2 x - 4 x - 4b(e x - e - x - 2 x) > 0, x > 0. 令h( x) = e 2 x - e -2 x - 4 x - 4b(e x - e - x - 2 x), x > 0, 则h(0) = 0. h′ ( x) = 2e 2 x + 2e -2 x - 4 - 4b(e x + e - x - 2), ∴?x∈ (0,m),m > 0,使h′ ( x) ≥0. 即2e 2 x + 2e -2 x - 4 - 4b(e x + e - x - 2) ≥0 即e 2 x + e -2 x - 2 - 2b(e x + e - x - 2) ≥0. 同理,令m( x) = e 2 x + e -2 x - 2 - 2b(e x + e - x - 2),x ∈ (0,m),m > 0, 则m(0) = 0. m′ ( x) = 2e 2 x - 2e -2 x - 2b(e x - e - x ), ∴?x∈ (0,t ),t > 0,使m( x) ≥0. 即2e 2 x - 2e -2 x - 2b(e x - e - x ) ≥0,即(e x + e - x )(e x e - x ) - b(e x - e - x ) ≥0且e x - e - x > 0, 即e x + e - x ≥b,即e x + e - x > 2 e x ? e - x = 2 ≥b,所以b的最大值为2
或者 g ( x) ? f ? 2x ? ? 4bf ? x ? ? e2 x ? e?2 x ? 4x ? 4b(ex ? e? x ? 2x)

g ' ( x) ? 2e 2 x ? 2e ?2 x ? 4 ? 4be x ? 4be ? x ? 8b ? 2(e x ? e ? x ? 2b ? 2)(e x ? e ? x ? 2)
①当 b ? 2 时,g ' ( x) ? 0 , 等号当且仅当 x ? 0 时成立, 有 g (0) ? 0 , ? g ( x) 在 (??, ??) 上单调增, 所以对任意 x ? 0 , g ( x) ? 0 ②当 b ? 2 时,若 x 满足 2 ? e ? e
x ?x

? 2b ? 2 时,即 0 ? x ? ln(b ? 1 ? b2 ? 2b ) 时, g ' ( x) ? 0 . 而

g (0) ? 0 ,因此当 0 ? x ? ln(b ? 1 ? b2 ? 2b ) 时, g ( x) ? 0
综上, b 的最大值为 2 (3) 由(2)知 g (ln 2) ?

3 ? 2 2b ? 2(2b ? 1) ln 2 2 3 8 2 ?3 ? 4 2 ? 6 ln 2 ? 0 , ln 2 ? ? 0.6928 2 12

当 b ? 2 时, g (ln 2) ?

当b ?

3 2 ? 1 时, ln(b ? 1 ? b2 ? 2b ) ? ln 2 4

3 18 ? 2 g (ln 2) ? ? ? 2 2 ? (3 2 ? 2) ln 2 ? 0 , ln 2 ? ? 0.6934 2 28
所以 ln 2 的近似值为 0.693. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,同按所做的第一题计分,做答时请写清题

号.

22.(本小题满分 10)选修 4—1:几何证明选讲 如图,P 是 O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与 O相 O 于点

交于点 B,C,PC = 2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交 E.证明: (Ⅰ)BE = EC; (Ⅱ) AD ? AE ? 2PB 【答案】 (1) 无
2

(2)无

【解析】 (1)

? PC = 2 PA, PD = DC, ∴PA = PD,Δ PAD为等腰三角形。 连接AB, 则∠ PAB = ∠DEB =β ,∠BCE = ∠BAE =α . ?∠PAB+∠BCE = ∠PAB+∠BAD = ∠PAD = ∠PDA = ∠DEB +∠DBE ∴ β + α = β +∠DBE,即α = ∠DBE,即∠BCE = ∠DBE,所以BE = EC.
(2)

? AD ? DE = BD ? DC, PA2 = PB ? PC, PD = DC = PA, ∴BD ? DC = (PA- PB)PA= PB ? PC - PB? PA = PB( ? PC - PA) PB ? PA = PB ? 2 PB = PB2
23. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为

? ? 2 cos? , ? ? ? 0, ? ? . ? ? 2? ?
(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方 程,确定 D 的坐标. 解析: (1)由 ? ? 2cos ? ,得 ? 2 ? 2? cos? ? x2 ? y 2 ? 2 x ? ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ( 0 ? y ? 1 ) 所以 C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos ? , (0 ? ? ?? ) ? y ? sin ?

(2)设 D 点坐标为 (1 ? cos ? ,sin ? ) ,由(1)知 C 是以 G (1, 0) 为圆心,1 为半径上的半圆,因为

C 在 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同,即 tan ? ? 3, ? ?
坐标为 ( ,

?
3

,故 D 点的直角

3 3 ) 2 2

24. (本小题满分 10)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? = x ? 1 ? x ? a (a ? 0)

a

(Ⅰ)证明: f ? x ? ≥ 2; (Ⅱ)若 f ? 3? ? 5 ,求 a 的取值范围. 证明: (1)由绝对值的几何意义知: f ? x ? ? a ? 1 ? 2

a

1 1 | ? | 3 ? a |? 3 ? ? | 3 ? a |? 5 a a 1 1 故 ?2 ? a ?3? 2? a a
(2) f (3) ?| 3 ? 即(

1 ? 5 5 ? 21 , ) 2 2


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