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2013年潍坊市初中学业水平考试数学试题(解析版)


2013 年潍坊市初中学业水平考试数学试题
一、选择题(本题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确 的选项选出来.每小题选对得 3 分,选错、不选或选出的答案超过一个均记 0 分.) 1.实数 0.5 的算术平方根等于( ). A.2 B. 2 C.

2 2

D.

1 2

答案:C. 考点:算术平方根。 点评:理解算术平方根的意义,把二次根式化成最简形式是解答本题的关键. 2.下面的图形是天气预报中的图标,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

).

A.

B.

C.

D.

答案:A. 考点:轴对称图形与中心对称图形的特征。 点评:此题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的概念,二者既有联系又有区别。. 3.2012 年, 我国财政性教育经费支出实现了占国内生产总值比例达 4%的目标.其中在促进义 务教育均衡发展方面,安排义务教育教育经费保障教育机制改革资金达 865.4 亿元 .数据 “865.4 亿元”用科学记数法可表示为( )元. A. 865? 10
8

B. 8.65? 10

9

C. 8.65 ? 10

10

D. 0.865? 10

11

答案:C. 考点: 科学记数法的表示。 n 点评: 此题考查了科学记数法的表示方法. 科学记数法的表示形式为 a× 10 的形式, 其中 1≤|a| <10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 4.如图是常用的一种圆顶螺杆,它的俯视图正确的是( ).

答案:B. 考点:根据实物原型画出三视图。 点评:本题考查了俯视图的知识,注意俯视图是从上往下看得到的视图. 5.在某校“我的中国梦”演讲比赛中,有 9 名学生参加决赛,他们决赛的最终成绩各不相同. 其中的一名学生想要知道自己能否进入前 5 名, 不仅要了解自己的成绩, 还要了解这 9 名学 生成绩的( ). A.众数 B.方差 C.平均数 D.中位数
-1-

答案:D. 考点:统计量数的含义. 点评:本题要求学生结合具体情境辨析不同的集中量数各自的意义和作用,从而选择恰当的统 计量为给定的题意提供所需的集中量数,进而为现实问题的解决提供理论支撑.与单纯考查统 计量数的计算相比较,这样更能考查出学生对统计量数的意义的认识程度. 6.设点 A?x1 , y1 ? 和 B?x2 , y2 ? 是反比例函数 y ?

k 图象上的两个点, 当 x1 < x2 < 0 时,y1 < x
).

y 2 ,则一次函数 y ? ?2 x ? k 的图象不经过的象限是(

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:A. 考点:反比例函数的性质与一次函数的位置. 点评:由反比例函数 y 随 x 增大而增大,可知 k<0,而一次函数在 k<0,b<0 时,经过二 三四象限,从而可得答案. 7.用固定的速度向如图所示形状的杯子里注水, 则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关 系的大致图象是( ).

答案:C. 考点:变量间的关系,函数及其图象. 点评:容器上粗下细,杯子里水面的高度上升应是先快后慢。 8.如图,⊙O 的直径 AB=12,CD 是⊙O 的弦,CD⊥AB,垂足为 P,且 BP:AP=1:5,则 CD 的长为( ). A. 4 2 B. 8 2 C. 2 5 D. 4 5

答案:D. 考点:垂径定理与勾股定理. 点评:连接圆的半径,构造直角三角形,再利用勾股定理与垂径定理解决. 9.一渔船在海岛 A 南偏东 20°方向的 B 处遇险,测得海岛 A 与 B 的距离为 20 海里,渔船 将险情报告给位于 A 处的救援船后,沿北偏西 80°方向向海岛 C 靠近.同时,从 A 处出发 的救援船沿南偏西 10°方向匀速航行.20 分钟后,救援船在海岛 C 处恰好追上渔船,那么救 援船航行的速度为( ). A. 10 3 海里/小时 C. 20 3 海里/小时 B. 30 海里/小时 D. 30 3 海里/小时

答案:D. 考点:方向角,直角三角形的判定和勾股定理. 点评;理解方向角的含义,证明出三角形 ABC 是直角三角形是解决本题的关键. 10.已知关于 x 的方程 kx ? ?1 ? k ?x ? 1 ? 0 ,下列说法正确的是(
2

).

-2-

A.当 k ? 0 时,方程无解 B.当 k ? 1 时,方程有一个实数解 C.当 k ? ?1 时,方程有两个相等的实数解 D.当 k ? 0 时,方程总有两个不相等的实数解 答案:C. 考点:分类思想,一元一次方程与一元二次方程根的情况. 点评: 对于一元一次方程在一次项系数不为 0 时有唯一解, 而一元二次方程根的情况由根的 判别式确定. 11.为了研究吸烟是否对肺癌有影响,某肿瘤研究所随机地调查了 10000 人,并进行统计分 析.结果显示:在吸烟者中患肺癌的比例是 2.5%,在不吸烟者中患肺癌的比例是 0.5%,吸烟 者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多 22 人.如果设这 10000 人中, 吸烟者患肺癌的人 数为 x ,不吸烟者患肺癌的人数为 y ,根据题意,下面列出的方程组正确的是( ).

? x ? y ? 22 A. ? ? x ? 2.5% ? y ? 0.5% ? 10000 ? x ? y ? 10000 C. ? ? x ? 2.5% ? y ? 0.5% ? 22

? x ? y ? 22 ? B. ? x y ? ? 10000 ? ? 2.5% 0.5% ? x ? y ? 10000 ? D. ? x y ? ? 22 ? ? 2.5% 0.5%

21 世纪教育网

答案 B. 考点:二元一次方程组的应用. 点评:弄清题意,找出相等关系是解决本题的关键. 12. 对 于 实 数 x , 我 们 规 定 ?x ? 表 示 不 大 于 x 的 最 大 整 数 , 例 如 ? 1.2? ? 1 , ?3? ? 3 ,

x ? 4? ?? 2.5? ? ?3 ,若 ? ? ? ? 5 ,则 x 的取值可以是( ? 10 ?

).

A.40 B.45 C.51 D.56 答案:C. 考点:新定义问题. 点评:本题需要学生先通过阅读掌握新定义公式, 再利用类似方法解决问题.考查了学生观察 问题,分析问题,解决问题的能力. 二、填空题(本大题共 6 小题,共 18 分,只要求填写最后结果,每小题填对得 3 分.) 13.方程

x2 ? x ? 0 的根是_________________. x ?1

[ 来源:21 世纪教育网]

答案:x=0 考点:分式方程与一元二次方程的解法. 点评:此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转 化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定 注意要验根. 14. 如图, ABCD 是对角线互相垂直的四边形,且 OB=OD, 请你添加一个适当的条件
-3-

____________,使 ABCD 成为菱形.(只需添加一个即可) 答案:OA=OC 或 AD=BC 或 AD//BC 或 AB=BC 等 考点:菱形的判别方法. 点评:此题属于开放题型,答案不唯一.主要考查了菱形的判定,关键是掌握菱形的判定定 理. 15.分解因式: ?a ? 2??a ? 2? ? 3a ? _________________. 答案:(a-1)(a+4) 考点:因式分解-十字相乘法等. 点评: 本题主要考查了整式的因式分解, 在解题时要注意因式分解的方法和公式的应用是本 题的关键. 16.一次函数 y ? ?2 x ? b 中, 当 x ? 1 时,y <1; 当 x ? ?1 时,y >0 则 b 的取值范围是____. 答案:-2﹤b﹤3 考点:一次函数与不等式的关系和不等式组的解法. 点评:把 x ? 1 和 x ? ?1 代入,然后根据题意再列出 不等式组是解决问题的关键. 17. 当白色小正方形个数 n 等于 1,2,3?时,由白色小 正方形和和黑色小正方形组成的图形分别如图所 示.则第 n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于_____________.(用 n 表示, n 是正整数) 答案:n2+4n 考点:本题是一道规律探索题,考查了学生分析探索规律的能力. 点评:解决此类问题是应先观察图案的变化趋势,然后从第一个图形进行分析,运用从特殊 到一般的探索方式, 分析归纳找出黑白正方形个数增加的变化规律, 最后含有 n 的代数式进 行表示. 18. 如 图 , 直 角 三 角 形 ABC 中 , ?ACB ? 90? , AB ? 10 , BC ? 6 , 在线段 AB 上取一点 D ,作 DF ? AB 交 AC 于点 F .现将 ?ADF 沿 DF 折叠,使点 A 落在线段 DB 上,对应点 记 为 A1 ; AD 的 中 点 E 的 对 应 点 记 为 E1 . 若 ?E1 FA 1 ∽

?E1 BF ,则 AD =__________.
答案:3.2 解:∵∠ACB=90°,AB=10,BC=6,∴AC= AB2-BC2 = 102-62 =8,设 AD=2x, ∵点 E 为 AD 的中点,将△ADF 沿 DF 折叠,点 A 对应点记为 A1,点 E 的对应点为 E1, ∴AE=DE=DE1=A1E1=x, ∵DF⊥AB,∠ACB=90°,∠A=∠A,∴△ABC∽△AFD,∴AD:AC =DF:BC , 即 2x:8 =DF:6 ,解得 DF=1.5x, 在 Rt△DE1F 中,E1F2= DF2+DE12 = 3.25 x 2 , 又∵BE1=AB-AE1=10-3x,△E1FA1∽△E1BF,∴E1F:A1E1 =BE1 :E1F ,∴E1F2=A1E1?BE1, 即 3.25x2=x(10-3x),解得 x=1.6 ,∴AD 的长为 2×1.6 =3.2. 考点:本题是一道综合性难题,主要考查轴对称变换,折叠,勾股定理,相似三角形的对应 边成比例.
-4-

点评:利用勾股定理列式求出 AC,设 AD=2x,得到 AE=DE=DE1=A1E1=x,然后求出 BE1, 再利用相似三角形对应边成比例列式求出 DF,然后利用勾股定理列式求出 E1F,然后根据 相似三角形对应边成比例列式求解得到 x 的值,从而可得 AD 的值. 三、 解答题 (本大题共 6 小题, 共 66 分.解答要写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤.) 19. (本题满分 10 分) 如图, 四边形 ABCD 是平行四边形, 以对角线 BD 为直径作⊙ O , 分别于 BC 、 AD 相 交于点 E 、 F . (1)求证四边形 BEDF 为矩形. (2)若 BD ? BE ? BC 试判断直线 CD 与⊙ O 的位置
2

关系,并说明理由. 答案: (1)证明: ? BD为?O的直径, ? ?DEB ? ?DFB ? 90?
又 ?四边形ABCD是平行四边形, ? AD // BC. ? ?FBC ? ?DFB ? 90?, ?EDA ? ?BED ? 90? ?四边形BEDF为矩形. (2)直线CD与?O的位置关系为相切 . BD BC ? BE BD ? ?DBC ? ?CBD,? ?BED ?BDC ? ?BDC ? ?BED ? 90?,即BD ? CD. 理由如下: ? BD 2 ? BE ? BC,? ? CD与?O相切.

考点:平行四边形的性质,矩形的判定,,相似三角形的判定,直径对的圆周角是直角,圆 的切线的判定等知识的综合运用. 点评:关键是掌握矩形的判定方法,三角形相似的判定方法,圆的切线的判定方法. 20.(本题满分 10 分) 为增强市民的节能意识, 我市试行阶梯电价.从 20 13 年开始,按照每户每年的用电量分三个档次计费, 具体规定见右图.小明统计了自己 2013 年前 5 个月的 实际用电量为 1300 度,请帮助小明分析下面问题. ( 1)若小明家 计划 2013 年全年的用电量不超过 2520 度,则 6 至 12 月份小明家平均每月用电量 最多为多少度?(保留整数) (2) 若小明家 2013 年 6 月至 12 月份平均每月用电 量等于前 5 个月 的平均每月用电量,则小明家 2013 年应交总电费多少元?
[来源:21 世纪教育网]

答案:(1)设小明家 6 月至 12 月份平均每月用电 量为 x 度,根据题意的: 1300+7x≤2520,解得 x≤

1220 ≈174.3 7

所以小明家 6 至 12 月份平均每月用电量最多为 174 度. (2)小明家前 5 个月平均每月用电量为 1300÷5=260(度). 全年用电量为 260×12=3120(度). 因为 2520﹤3120﹤4800.
-5-

所以总电费为 2520×0.55+(3120-2520)×0.6=1386+360=1746(元). 所以小明家 2013 年应交总电费为 1746 元. 考点:不等式的应用与分段计费问题 点评:根据题意弄清关系,列出不等式,求出整数解是解第一小题的关键.解决第二小题则 需要找出正确的计量电费的档位,分段算出全年应缴总电费. 21.(本题满分 10 分) 随着我国汽车产业的发展,城市道路拥堵问题日益严峻.某部门对 15 个城市的交通状况进行 了调查,得到的数据如下表所示:

(1)根据上班花费时间,将下面的频数分布直方图补充完整; (2)求 15 个城市的平均上班堵车时间(计算结果保留一位小数); (3)规定:

城 市 堵 车 率

?

上 班 堵 车 时 间 上 班 花 费 时 间 ?上 班 堵 车 时 间

?100% ,比如:北京的

堵车率=

14 12 ? 100 % =36.8%;沈阳的堵车率= ? 100 % =54.5%.某人欲从北京、 52 ? 14 34 ? 12

沈阳、上海、温州四个城市中任意选取两个作为出发目的地,求选取的两个城市的堵车率都 超过 30%的概率. 答案:(1)补全的统计图如图所示

(2)平均上班堵车时间=(14+12×4+11×2+7×2+6×2+5×3+0)÷15≈8.3(分钟). (3)上海的堵车率=11÷(47-11)=30.6%,温州的堵车率=5÷(25-5)=25%,
-6-

堵车率超过 30%的城市有北京、沈阳和上海. 从四个城市中选两个的方法共有 6 种(北京,沈阳),(北京,上海),(北京,温州), (沈阳,上海),(沈阳,温州),(上海,温州). 其中两个城市堵车率均超过 30%的情况有 3 种:(北京,沈阳),(北京,上海),(沈 阳,上海) 所以选取的两个城市堵车率都超过 30%的概率 P ?

3 1 ? . 6 2

考点:频数分布表、频数分布直方图、平均数、概率. 点评:从统计图表得到正确信息是解题关键,第三问先确定堵车率超过 30﹪的城市,再根 据概率的意义, 用列表或树形图表示出所有可能出现的结果,找出关注的结果,从而求出它 的概率. 22.(本题满分 11 分) 如图 1 所示, 将一个边长为 2 的正方形 ABCD 和一个长为 2、 宽为 1 的长方形 CEFD 拼 在一起,构成一个大的长方形 ABEF .现将小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CE F D , 旋转角为 ? . (1)当点 D 恰好落在 EF 边上时,求旋转角 ? 的值;
'

'

'

'

(2)如图 2, G 为 BC 的中点,且 0°< ? <90°,求证: GD ? E D ;
' '

(3)小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中, ?DCD 与 ?CBD 能否全等?
' '

若能,直接写出旋转角 ? 的值;若不能,说明理由.

答案: (1) ∵ DC//EF, ∴∠ DCD ′ = ∠ CD ′ E= ∠ CD ′ E= α . ∴ sin α =

CE CE 1 ? ? ,∴α CD' CD 2

=30° (2) ∵G 为 BC 中点,∴GC=CE′=CE=1, ∵∠D′CG=∠DCG+∠DCD′=90°+α , ∠DCE′=∠D′CE′+∠DCD′=90°+α , ∴∠D′CG=∠DCE′又∵CD′=CD, ∴△GCD′≌△E′CD, ∴GD′=E′D (3) 能. α =135°或α =315° 考点:图形的旋转、三角函数、解直角三角形、全等三角形的判定 点评:本题依据学生的认知规律,从简单特殊的问题入手,将问题向一般进行拓展、变式, 通过操作、观察、计算、猜想等获得结论.此类问题综合性较强,要完成本题学生需要有较 强的类比、迁移、分析、变形应用、综合、推理和探究能力.

-7-

23.(本题满分 12 分) 为了改善市民的生活环境,我是在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场 . 在 Rt△ ABC 内修建矩形水池 DEFG ,使顶点 D、E 在斜边 AB 上, F、G 分别在直角边 BC 、AC 上; 又分别以 AB 、BC 、AC 为直径作半圆, 它们交出两弯新月 (图中阴影部分) , 两弯新月部分栽植花草;其余空地铺设地砖.其中 AB ? 24 3米, ?BAC ? 60? .设 EF ? x 米, DE ? y 米. (1)求 y 与 x 之间的函数解析式; (2)当 x 为何值时,矩形 DEFG 的面积最大?最大面积是多少? (3)求两弯新月(图中阴影部分)的面积,并求当 x 为何值时,矩形 DEFG 的面积等 于 两弯新月面积的

1 ? 3

答案:(1)在 Rt△ABC 中,由题意得 AC= 12 3 米,BC=36 米,∠ABC=30°, 所以 AD ?

DG x 3 EF ? ? x, BE ? ? 3x , tan60? 3 tan30? 3

又 AD+DE+BE=AB, 所以 y ? 24 3 ?

3 4 x ? 3x ? 24 3 ? 3x, (0<x<8). 3 3
4 4 4 3 x) ? ? 3 x 2 ? 24 3 x ? ? 3 ( x ? 9) 2 ? 108 3. 3 3 3

(2)矩形 DEFG 的面积

S ? xy ? x(24 3 ?

所以当 x=9 时,矩形 DEFG 的面积最大,最大面积为 108 3 平方米. (3)记 AC 为直径的半圆\、BC 为直径的半圆、AB 为直径的半圆面积分别为 S1、S2、S3, 两弯新月面积为 S,则 S1 ?

1 1 1 ?AC 2 , S 2 ? ?BC 2 , S 3 ? ?AB 2 , 8 8 8

由 AC2+BC2=AB2 可知 S1+S2=S3,∴S1+S2-S=S3-S△ABC ,故 S=S△ABC

1 ? 12 3 ? 36 ? 216 3 (平方米) 2 4 1 3 ( x ? 9) ? 108 3 ? ? 216 3 , 即 ( x ? 9) 2 ? 27 ,解得 x ? 9 ? 3 3 ,符合题意, 由? 3 3 1 所以当 x ? 9 ? 3 3 米时,矩形 DEFG 的面积等于两弯新月面积的 . 3
所以两弯新月的面积 S= 考点:考查了解直角三角形,二次函数最值求法以及一元二次方程的解法。
-8-

点评: 本题是二次函数的实际问题。 解题的关键是对于实际问题能够灵活地构建恰当的数学 模型,并综合应用其相关性质加以解答. 24.(本题满分 13 分) 如图,抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 关于直线 x ? 1 对称,与坐标轴交于 A、B、C 三点,且

? 3? AB ? 4 ,点 D? 2, ? 在抛物线上,直线 l 是一次函数 y ? kx ? 2?k ? 0? 的图象,点 O 是坐标 ? 2?
原点. (1)求抛物线的解析式; (2)若直线 l 平分四边形 OBDC 的面积,求 k 的值. (3) 把抛物线向左平移 1 个单位, 再向下平移 2 个单位, 所得抛物线与直线 l 交于 M、N 两 点, 问在 y 轴正半轴上是否存在一定点 P , 使得不论 k 取何值, 直线 PM 与 PN 总是关于 y 轴 对称?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说明理 由.

答案:(1)因为抛物线关于直线 x=1 对称,AB=4,所以 A(-1,0),B(3,0), 由点 D(2,1.5)在抛物线上,所以 ? 又?

?a ? b ? c ? 0 ,所以 3a+3b=1.5,即 a+b=0.5, ?4a ? 2b ? c ? 1.5

b 1 3 ? 1 ,即 b=-2a,代入上式解得 a=-0.5,b=1,从而 c=1.5,所以 y ? ? x 2 ? x ? . 2a 2 2 1 2 3 (2) 由 (1) 知y ?? x ?x? , 令 x=0,得 c(0,1.5),所以 CD//AB, 2 2 7 3 , ), 令 kx-2=1.5,得 l 与 CD 的交点 F( 2k 2 2 令 kx-2=0,得 l 与 x 轴的交点 E( ,0 ), k
根据 S 四边形 OEFC=S 四边形 EBDF 得:OE+CF=DF+BE,

2 7 2 7 11 ? ? (3 ? ) ? (2 ? ), 解得 k ? , k 2k k 2k 5 1 2 3 1 2 (3)由(1)知 y ? ? x ? x ? ? ? ( x ? 1) ? 2, 2 2 2
即: 所以把抛物线向左平移 1 个单位, 再向下平移 2 个单位, 所得抛物线的解析式为 y ? ?

1 2 x 2

假设在 y 轴上存在一点 P(0,t),t>0,使直线 PM 与 PN 关于 y 轴对称,过点 M、N 分别向
-9-

y 轴作垂线 MM1、 NN1, 垂足分别为 M1、 N1, 因为∠MPO=∠NPO,所以 Rt△MPM1∽Rt△NPN1, 所以

MM 1 PM1 ,………………(1) ? NN 1 PN1 ? xM t ? y M ,又 yM =k xM-2, yN=k xN-2, ? xN t ? yN
1 2 x 中,整理得 x2+2kx-4=0, 2

不妨设 M(xM,yM)在点 N(xN,yN)的左侧, 因为 P 点在 y 轴正半轴上, 则(1)式变为

所以(t+2)(xM +xN)=2k xM xN,……(2) 把 y=kx-2(k≠0)代入 y ? ?

所以 xM +xN=-2k, xM xN=-4,代入(2)得 t=2,符合条件, 故在 y 轴上存在一点 P(0,2),使直线 PM 与 PN 总是关于 y 轴对称. 考点:本题是一道与二次函数相关的压轴题,综合考查了考查了二次函数解析式的确定,函 数图象交点及图形面积的求法,三角形的相似,函数图象的平移,一元二次方程的解法等知 识,难度较大. 点评:本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及 质点运动问题、 分类讨论思想于一体的综合题, 能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识, 解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进,既考查了知识掌握,也考查 了方法的灵活应用和数学思想的形成。

- 10 -


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