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不等式的性质(1)


2014 届高要二中高三数学(理)导学案
不等关系与不等式(学生版)
主备人:杨素玲 一、考点梳理 1.两个实数大小关系的比较 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的,有 a-b>0?a>b; a-b=0?a=b; a-b<0?a<b. 审核:高三理科数学备课组 时间:2013-07-30

a a a 另外,若 b>0,则有 >1?a>

b; =1?a=b; <1?a<b. b b b 考向一 比较大小 【例 1】?已知 a,b,c 是实数,试比较 a2+b2+c2 与 ab+bc+ca 的大小.

【训练 1】 已知 a1, a2∈(0,1), 记 M=a1a2, N=a1+a2-1, 则 M 与 N 的大小关系是( A.M<N B.M>N C.M=N D.不确定

).

2.不等式的性质 (1)对称性:如果 a>b,那么 b<a. (2)传递性:如果 a>b,b>c,那么 a>c. (3)可加性:如果 a>b,那么 a+c>b+c. (4)可乘性:如果 a>b,c>0,那么 ac>bc;如果 a>b,c<0,那么 ac<bc. (5)同向可加性:如果 a>b,c>d,那么 a+c>b+d. (6)同向同正可乘性:如果 a>b>0,c>d>0,那么 ac>bd. (7)可乘方性:如果 a>b>0,那么 an>bn(n∈N,n≥2). n n (8)可开方性:如果 a>b>0,那么 a> b(n∈N,n≥2).
1

3.不等式的一些常用性质 (1)倒数性质: 1 1 ①a>b,ab>0? < . a b a b ③a>b>0,0<c<d? > . c d 1 1 ②a<0<b? < . a b 1 1 1 ④0<a<x<b 或 a<x<b<0? < < . b x a

(2)有关分数的性质:若 a>b>0,m>0,则 b b+m b b-m a a+m a a-m ①真分数: < ; > (b-m>0);②假分数: > ; < (b-m>0). a a+m a a-m b b+m b b-m 考向二 不等式性质的简单应用 1 1 【例 2】(2012· 上海十三校联考)若 < <0,有下面四个不等式:①|a|>|b|,②a<b,③a+ a b b<ab,④a3>b3,则不正确的不等式的个数是( A.0 B.1 C.2 ). D.3

c d 【训练 2】 已知三个不等式:①ab>0;②bc>ad;③ > .以其中两个作为条件,余下 a b 一个作为结论,则可以组成正确命题的个数是( A.0 B.1 C.2 ). D.3

考向三 不等式性质的综合应用 【例 3】?已知函数 f(x)=ax2+bx,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.求 f(-2)的取值范围.

?-1≤α+β≤1, ? 【训练 3】 若 α,β 满足? 试求 α+3β 的取值范围. ?1≤α+2β≤3, ?

2

二、当堂检测 1 1 1.(2011· 浙江)若 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“a< 或 b> ”的 b a A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ). ( ).

2.(2013· 保定模拟)已知 a>b,则下列不等式成立的是 A.a2-b2≥0 C.|a|>|b| B.ac>bc D.2a>2b

1 1 3.(2012· 晋城模拟)已知下列四个条件:①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b,④a>b>0,能推出 < a b 成立的有 A.1 个 B.2 个
2

( C.3 个

). D.4 个

4. (2010 江苏 12) 设实数 x,y 满足 3≤ xy ≤8, 4≤

x2 x3 ≤9, 则 4 的最大值是_____▲____ y y

5.(2010 辽宁文 15).已知-1<x+y<4 且 2<x-y<3,则 z=2x-3y 的取值范围是 π π 6.若- <α<β< ,则 α-β 的取值范围是________. 2 2 7.(13 分)已知 f(x)=ax2-c 且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范围.

3

4

2014 届高要二中高三数学(理)导学案
基本不等式及应用(学生版)
主备人:杨素玲 一、考点梳理 1.考纲要求:均值不等式是高考的热点,主要考查命题的判定,及求最值等问题。 审核:高三理科数学备课组 时间:2013-07-30

a+b 2.基本不等式: ab≤ 2
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. a+b (3)其中 称为正数 a,b 的算术平均数, ab称为正数 a,b 的几何平均数. 2 两个正数的算术平均不小于它们的几何平均,即 2.基本不等式的变形 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).当且仅当 a=b 时取等号. (2)ab≤? a+b?2 ? 2 ? (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号.

a?b ? ab 2

1 (3)a+ ≥2 (a>0),当且仅当 a=1 时取等号; a 1 a+ ≤-2 (a<0),当且仅当 a=-1 时取等号. a b a (4) + ≥2 (a,b 同号),当且仅当 a=b 时取等号. a b (5)三个正数的算术-几何平均不等式:如果 a, b, c ? R? ,则

a ? b =c 时,等号成立;

a?b?c 3 ? abc ,当且仅当 3

推广到一般情形: 对于 n 个正数 a1 , a2 ,? an , 它们的算术平均数不小于它们的几何平均

a1 ? a2 ? ? ? an n ? a1a2 ? an ,当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 时,等号成立 n 3.最值问题: 已知 x, y 是正数,
数,即 ①如果积 xy 是定值 P,则当 x ? y 时,和 x ? y 有最小值 2 P ; ②如果和 x ? y 是定值 S,则当 x ? y 时,积 xy 有最大值

1 2 S . 4

利用基本不等式求最值时,要注意变量是否为正,和或积是否为定值,等号是否成立, 以及添项、拆项的技巧,以满足均基本不等式的条件。

5

4.学习要点: (1)掌握基本不等式的结构特点,利用基本不等式可以求涉及和、积结构的代数式的最 值,难点在于定值的确定。 (2)基本不等式的应用在于“定和求积、定积求和” 。必要时可以通过变形(拆补) 、运 算(指、对数等)构造定值。 (3)只有在满足“一正、二定、三等”条件下,才能取到最值。 (4)基本不等式的主要应用有:求最值、证明不等式、解决实际问题。 二、例题分析: 例 1.已知 x ? 0 ,则 2 ? 3x ?

4 的最小值是_______. x

【练习】⑴ 求 y ?

x2 ? 7 x ? 9 ( x ? 0) 的最大值. x

⑵求 f(x)=

16x (x>0)的最大值 x2+8

例 2.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 2 x ? 8 y ? xy ? 0 ,求: (1) xy 的最小值; (2) x ? y 的最小值。

6

例 3.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 3x ? 4 y ? 12, 求 ⑴ lg x ? lg y 的最大值及相应的 x,y 的值;⑵求 + 的最小值。

1 x

1 y

例 4.某村计划建造一个室内面积为 800 m 的矩形蔬菜温室。在温室内,沿左.右两侧与 后侧内墙各保留 1 m 宽的通道, 沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地。 当矩形温室的边长各为多少 时?蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少

2

三、当堂检测 1.设 a, b ? R ,且 a ? b ? 3 ,则 2 ? 2 的最小值是
a b

A.6

B. 4 2

C. 2 2

D. 2 6

2.下列函数中最小值是 4 的是 A. y ? x ? C. y ? 2
1? x

4 x
? 21? x

4 sin x 1 2 D. y ? x ? 2 ? 3, x ? 0 x ?1
B. y ? sin x ?

7

3.若 x, y 是正实数, 则 ( x ? y )( A.6 B. 9

1 4 ? ) 的最小值为 x y
C. 12 D. 15

5.若正数 a、b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 a ? b 的取值范围是 A. [9,??) B. [6,??) C. (0,9] D. (0,6) )

6(2010 重庆) 已知 x ? 0 , y ? 0 , x ? 2 y ? 2 xy ? 8 ,则 x ? 2 y 的最小值是( A.3 B.4 C.

9 2

D.

11 2

7.点 (m, n) 在直线 x ? y ? 1 位于第一象限内的图象上运动,则 log 2 m ? log 2 n 的最大值是 ____________.

8.函数 y ? log3 ( x ?

1 ? 5)( x ? 1) 的最小值是_____________. x ?1

9. (2010 安徽文 15).若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的 a,b 恒成立的 是 .(写出所有正确命题的编号).

①ab≤1; ② a ? b ?

2 ; ③a2+b2≥2; ④a3+b3≥3; ⑤

1 1 ? ? 2. a b

10.某单位决定投资 3200 元建一仓库(长方体状) ,高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱, 正面用铁栅,每米长造价 40 元,两侧墙砌砖,每米长造价 45 元,顶部每平方米造价 20 元,求: (1)仓库面积 S 的最大允许值是多少? (2)为使 S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?

8

2014 届高要二中高三数学(理)导学案
一元二次不等式的解法(学生版)
主备人:杨素玲 审核:高三理科数学备课组 时间:2013-07-30

考纲要求: 1. 会从实际问题中抽象出二元一次不等式组模型 2. 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数,一元二次方程的联系。 知识导学 1. 一元一次不等式 ax>b (1)当 a>0 时,解为 x ? =0,b<0 时,解为 R. 2. 一元二次不等式: a.一元二次不等式的解法 Ⅰ 将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式 ax2+bx+c>0(a>0) 或 ax2+bx+c<0(a>0). Ⅱ 计算相应的判别式. Ⅲ 当 Δ≥0 时,求出相应的一元二次方程的根. Ⅳ 利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集. b.三个“二次”间的关系

b b ;(2)当 a<0 时,解为 x ? ; (3)当 a=0,b≥0 时无解;当 a a a

判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0

二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象

9

一元二次方程 ax +bx+c=0 (a>0)的根
2

有两相异实根 x1,x2(x1<x2)

有两相等实根 b x1=x2=- 2a 没有实数根

ax2+bx+c>0 (a>0)的解集

{x|x>x2,或 x<x1}

b? ? ?x|x≠- ? 2a? ?

R

ax2+bx+c<0 (a>0)的解集

{x|x1<x<x2}

?

?

一、经典例题导讲 【例 1】解下列关于 x 的不等式: (1) 2 x ? 4 x ? 3 ? 0
2

(2) ? 3x ? 2 x ? 8 ? 0
2

(3)x2-(3+a)x+3a>0.

【训练 1】1. 求不等式 12x2-ax>a2(a∈R)的解集. 2. x ? x ? 2 ? 0(2013 年广东高考)
2

[例 2] 一元二次不等式恒成立问题 已知函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于 x∈R,f(x)<0 恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<5-m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

10

【训练 2】 1. 如果 kx ? 2kx ? (k ? 2) ? 0 恒成立,则实数 k 的取值范围是 (
2

).

A. -1≤k≤0

B. -1≤k<0

C. -1<k≤0

D. -1<k<0

2. 已知 f(x)=x2-2ax+2(a∈R),当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围.

二、知识点训练: 1、不等式组 ?

? x2 ? x ? 2 ? 0
2 ?x ? 2x ? 8 ? 0

的解集为

.

2、 若0 ? a ? 1, 则不等式(a ? x)( x ? ) ? 0的解是 (A) a ? x ? (C)

1 a

1 a

(B) x ? a或x ? (D) x ?

1 a

1 ?x?a a

1 或x ? a a
11

3、不等式 ( x ? 1) x ? 2 ? 0 的解为?????????????????? (A)x≥1 (B)x>1
2





(C) x≥1 或者 x=-2

(D) x≥-2 且 x≠1

4、如果 A= {x | ax -ax+ 1<0}=? ,则实数 a 的集合为( ) (A){a|0<a<4} (B){a|0≤a<4} ( C){a|0<a≤4} (D){a|0≤a≤4} 5、不等式 ax2+bx+2>0 的解集为 x ?
2

?

1 1 ?x? 2 3
2

?,则 a=

;b=

. ;

6、 若 a<0, 则关于 x 的不等式 x ? 4ax ? 5a ? 0 的解集是 7、若函数 y= kx ? 6kx ? k ? 8 ?的定义域是 R,求实数 k 的取值范围;
2

8 、 不 等 式 (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0对x ? R 恒 成 立 , 则 a 的 取 值 范 围
2





9、 (2013· 大同一模)已知函数 f(x)=-x2+2x+b2-b+1(b∈R),若当 x∈[-1,1]时,f(x)>0 恒成立,则 b 的取值范围是________.

10、在实数集上定义运算?:x?y=x(1-y),若不等式(x-a)?(x+a)<1 对任意实数 x 恒成立, 则实数 a 的取值范围是________.

12

2014 届高要二中高三数学(理)导学案
绝对值不等式的解法(学生版)
主备人:杨素玲 知识导学 1. 绝对值三角不等式 定理 1 如果 a,b 是实数,则 a ? b ? a ? b ,当且仅当 ab ? 0 时,等号成立. 定理 1 如果 a,b,c 是实数,则 a ? c ? a ? b ? b ? c ,当且仅当(a-b)(b-c) ? 0 时,等号成立. 2. 绝对值不等式的解法 a. 绝对值的几何意义:一般地,如果 a>0,那么 x ? a 表示数轴上到原点距离小于 a 的点的 集合, x ? a 表示数轴上到原点距离大于 a 的点的集合,因而 审核:高三理科数学备课组 时间:2013-07-30

x ? a ? ?a ? x ? a ;

x ? a ? x ? ?或 a x? a x? b ? a ? x ? b? 或 a x? b? a

进而,如果 a>0 x ? b ? a ? b ? a ? x ? b ? a ; b. (Ⅰ) ax ? b ? c和 ax ? b ? c 型不等式的解法

(Ⅱ) x ? a ? x ? b ? c和 x ? a ? x ? b ? c 型不等式的解法

3.分式不等式:先整理成

f ( x) f ( x) >0 或 ≥0 的形式,转化为整式不等式求解,即: g ( x) g ( x) f ( x ) ? ? f ( x)=0 或f ( x) g ( x) ? 0 ≥0 ? g ( x) ? g ( x) ? 0

f ( x) >0 ? f(x)· g(x)>0, g ( x)
4.指数不等式:

若a ? 1, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x ) ? g ( x); 若0 ? a ? 1, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x )
若 log a ? f ( x) ? 0 ? f ( x ) ? log a g ( x )( a ? 1) ? ? g ( x ) ? 0 ; ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x ) ? log a g ( x )(0 ? a ? 1) ? ? g ( x ) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

5. 对数不等式:

若 log a

13

一、经典例题导讲 [例 1] 解下列不等式 (1) 3x ? 1 ? 2 ; (2) | x ? 5 | ? | x ? 3|? 10 ; (3) x ? 1 ? x ? 3 ? 0 ;

(4)

2 x ?2 2 1 ?0 ( ) x ? x?2 ?2 x?2 (6) lg( x ? 2 x? 2)?1 (5) x ?1 2 ;

[训练 1]1.(2012 陕西) 若存在实数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1|? 3 成立,则实数 a 的取值范围 是 .

2. (2006 安徽文)不等式 A. (??, 2)

1 1 ? 的解集是( ) x 2 B. (2, ??) C. (0, 2) D. ?? ?,0? ? (2, ??)

[例 2]含绝对值不等式的证明 (2012 江苏)已知实数 x,y 满足: | x ? y |?

1 1 5 求证: | y |? , | 2 x ? y |? , 3 6 18

14

[训练 2] 对于实数 x,y,若 x ? 1 ? 1 , y ? 2 ? 1 ,则 x ? 2 y ? 1 的最大值为 的解集是______.

.

[例 3]含绝对值不等式的恒成立问题 若函数 f ( x) ? x ? 2 且 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值 范围。

二、知识点训练: 1. (2010 上海卷)不等式

2-x ? 0 的解集是________ x+4
) D. (??, 0) ? (0, ??)

2. (2010 江西)不等式

x?2 x?2 ? 的解集是( x x
B. (??,0) C. (2, ??)

A. (0, 2)

x2 ? x ? 6 3.(2010 大纲全国Ⅱ理 5).不等式 ? 0 的解集为( x ?1
A. x x ? ?2或x ? 3



?

? ?

B. x x ? ?2或1 ? x ? 3

?

? ?

C. x ? 2 ? x ? 1或x ? 3
2

?

D. x ? 2 ? x ? 1或1 ? x ? 3

?

2x ? 33x }, N ? {x | log 1 ( x ? 1) ? 0}, 则M ? N ? ( ) 4. 已知集合 M ? {x | 3 2

A. (0,

3 ) 2

3 B. ( ,2) 2

C. (1,

3 ) 2


D.(0,1)

5. (2010 陕西文)不等式 2 x ? 1 <3 的解集为 6.(2010 陕西理)不等式 x ? 3 ? x ? 2 ? 3 的解集为


15

7. 命题 A : x ? 1 <3,命题 B : ( x ? 2)( x ? a) <0,若 A 是 B 的充分不必要条件,则 a 的取值 范围是 ( ) B. ? 4, ?? ? C. (??, ?4) D. ? ??, ?4?

A. (4, ??)

8. 已知集合 A ? x ? R | x ? 3 ? x ? 4 ? 9 , B ? ? x ? R | x ? 4t ? , t ? (0, ??) ? ,则集合

?

?

? ?

1 t

? ?

A ? B =________.
9. 关于 x 的不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? a 解集为空集, 则实数 a 的取值范围是??? ( A .(3,+∞) B. [3,+∞) C. (-∞,3] D. (-∞,3) )

10.(2011 陕西卷)若关于 x 的不等式 a ? x ? 1 ? x ? 2 存在实数解,则实数 a 的取值范围 是 11. (2012 全国卷)已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围

12.(2011 辽宁) 已知函数 f(x)=|x-2|-|x-5|. (I)证明:-3≤f(x)≤3; 2 (II)求不等式 f(x)≥x -8x+15 的解集.

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