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北京市东城区2013-2014学年度高三数学(文)上学期期末考试试题word版带答案2014.1


东城区 2013-2014 学年第一学期期末教学统一检测高三数学 (文科)2014.1
本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1、已知集合 A

? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {?1, 0,1} ,则 A ? B ? (A) {?1} (B) {0} (C) {1} (D) {0,1}

2、在复平面内,复数 i(2 ? i) 对应的点位于 (A)第一象限 (C)第三象限 (B)第二象限 (D)第四象限
开始

3、下列函数中,既是偶函数又在区间 (0, ??) 上单调递减的是 (A) y ? ? ln | x | (C) y ? 2
| x|
2

S=1 a=3 S=S×a S ≥100?
否 是 输出 a 结束

(B) y ? x

3

(D) y ? cos x

4、 “ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

a =a+2

5、执行如图所示的程序框图,输出的 a 值为 (A) 3 (B) 5 (C) 7 (D) 9

6、直线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 相交于 A , B 两点,若 | AB |? 2 3 ,则 k ? (A) ? 3 (B) ?

3 3

(C) 3

(D)

3 3

7、关于平面向量 a, b, c ,有下列三个命题: ①若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c ; ②若 a ? (1, k ) , b ? (?2, 6) , a ∥ b ,则 k ? ?3 ; ③非零向量 a 和 b 满足 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角为 30 .
?

其中真命题的序号为 (A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③

? x 2 ? 5 x, x ? 0, ? 8、已知函数 f ( x) ? ? x 若 f ( x) ? kx ,则 k 的取值范围是 ? ??e ? 1, x ? 0.
(A) (??, 0] (B) (??,5] (C) (0,5] (D) [0,5]

第 1 页 共 8 页

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9、命题“ ?x ? R , x ? 1 ”的否定是 10、双曲线 .

共 110 分)

x2 ? y 2 ? 1的离心率 e ? 9
?

;渐近线方程为 .



11、在△ ABC 中, a ? 15 , b ? 10 , A ? 60 ,则 cos B ?

? x ? 0, ? x y 12、已知变量 x, y 满足约束条件 ? y ? 1, 则 z ? 4 ? 2 的最大值为 ? x ? y, ?
13、某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为 .



1 1 正(主)视图 1 3 侧(左)视图

俯视图

14、对于实数 x ,用 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,如 [ 0.3 ] ? 0, [ 5.6 ] ? 5 .若 n ? N ,
*

?n? a n ? ? ? , S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,则 S8 ? ?4?

; S 4n ? __________.

三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15、 (本小题共 13 分)已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1 . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若 ? ? (0, ) ,且 f (? ) ? 1,求 ? 的值.

? 2

16、 (本小题共 13 分)已知 ?an ? 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a5 ? 45 , a2 ? a6 ? 14 . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足:

b b1 b2 ? 2 ?? ? n ? an ? 1 (n ? N*) ,求 {bn } 的前 n 项和. 2 2 2n

第 2 页 共 8 页

17 、 (本小题共 14 分)如图,边长为 4 的正方形 ABCD 与矩形

D

C

ABEF 所 在 平 面 互 相 垂 直 , M , N 分 别 为 AE, BC 的 中 点 ,

AF ? 3 .
(Ⅰ)求证: DA ? 平面 ABEF ; (Ⅱ)求证: MN ∥平面 CDFE . (Ⅲ)在线段 FE 上是否存在一点 P ,使得 AP ? MN ? 若存在,求出 FP 的长;若不存在,请说明理由.
F A M E B N

18、 (本小题共 13 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax(a ? 0) . (Ⅰ)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的单调区间与极值; (Ⅱ)若对于任意的 x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

19、 (本小题共 13 分)已知椭圆 (Ⅰ)求椭圆方程;

3 x2 y 2 ,右焦点为 ( 3,0) . ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2
x1 x2 y1 y2 ? 2 ? 0 ,求斜率 k a2 b

(Ⅱ) 过椭圆右焦点且斜率为 k 的直线与椭圆交于点 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) , 若 的值.

20、 (本小题共 14 分)设集合 Sn ? {1, 2,3,..., n} ,若 X 是 Sn 的子集,把 X 中所有元素的和称为 X 的“容 量”(规定空集的容量为 0 ) ,若 X 的容量为奇(偶)数,则称 X 为 Sn 的奇(偶)子集. (Ⅰ) 写出 S4 的所有奇子集; (Ⅱ) 求证: Sn 的奇子集与偶子集个数相等; (Ⅲ)求证:当 n ? 3 时, Sn 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.

第 3 页 共 8 页

东城区 2013-2014 学年度第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 (文科) 一、 1、C 5、C 二、 9、 ?x0 ? R , x0 ? 1 ; 10、 2、B 6、B 3、A 7、C 4、A 8、D

10 , 3

x ? 3y ? 0 ;
14、6, 2n ? n ;
2

11、

6 ; 3

12、 ;

13、

3 2 ;

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15、 (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 3sin 2x ? (2cos2 x ?1) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) , 所以 f ( x ) 的最小正周期为 ? . (Ⅱ)因为 f (? ) ? 1,所以 sin(2? ? ) ? 因为 ? ? (0, ) ,所以 2? ? 所以 2? ? (16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,且 d ? 0 . 由已知可得 ? ???????8 分

? 6

? 6

1 . 2

? 2

? ? 5? ? (? , ) . 6 6 6
?????13 分

? ? ? ? .故 ? ? . 6 6 6

?(a1 ? 2d )(a1 ? 4d ) ? 45, ?a1 ? 3d ? 7.
可得 an ? 2n ? 1.

解方程组,可得 a1 ? 1 , d ? 2 .

第 4 页 共 8 页

所以数列 {an } 的通项公式 an ? 2n ? 1. (Ⅱ)设 cn ?

???????????6 分

bn ,则 c1 ? c2 ? ? ? cn ? an ? 1 ,即 c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2n . 2n

当 n ? 1 时,得 c1 ? 2 . 当 n ? 2 时, cn ? 2n ? 2(n ?1) ? 2 . 当 n ? 1 时符合 cn ? 2 . 综上,可知 cn ? 2 (n ? N*) . 所以 bn ? 2n?1 . 所以数列 ?bn ? 是首项为 4 ,公比为 2 的等比数列. 所以数列 ?bn ? 前 n 项和 Sn ?

4(1 ? 2n ) ? 2n? 2 ? 4 . ??????13 分 1? 2

17、 (共 14 分) 证明: (Ⅰ)因为 ABCD 为正方形,所以 DA ? AB . 因为平面 ABCD ? 平面 ABEF ,且 DA 垂直于这两个平面的交线 AB , 所以 DA ? 平面 ABEF . (Ⅱ)连结 FB, FC . 因为 ABEF 是矩形, M 是 AE 的中点, 所以 M 是 BF 的中点. 因为 N 是 BC 的中点, 所以 MN ∥ CF . 因为 MN ? 平面 CDFE ,
A M F E B N

???????4 分
D C

CF ? 平面 CDFE ,
所以 MN ∥平面 CDFE .

???????9 分

(Ⅲ)过 A 点作 AG ? FB 交线段 FE 于点 P , P 点即为所求. 因为 CB ? 平面 ABEF , 所以 CB ? AP . 因为 AP ? FB , 所以 AP ? 平面 BNM . 所以 AP ? MN . 因为

FP 3 ? , AF ? 3 , AF 4

第 5 页 共 8 页

所以 FP ? 18、 (共 13 分)

9 . 4

???????14 分

解: (Ⅰ)当 a ? 2 时,因为 f ( x ) ? ln x ? 2 x ,

1 1? 2x ?2 ? ( x ? 0) . x x 1 所以,当 0 ? x ? 时, f '( x) ? 0 ; 2 ) ? 所以 f '( x
当x?

1 时, f '( x) ? 0 . 2 1 2 1 2

所以,函数 f ( x 的单调递增区间为 (0, ) ,递减区间为 ( , ??) . )

1 1 1 ? ln ? 1 ,无极小值. ??6 分 时,取得极大值 f ( ) 2 2 2 1 1 ? ax ) ? ?a ? (Ⅱ)因为 f '( x ,又 a ? 0 , x x 1 1 所以,当 0 ? x ? 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? 时, f '( x) ? 0 . a a 1 1 即函数 f ( x 在 (0, ) 上单调递增;在 ( , ??) 单调递减. ) a a 1 1 1 ? ln ? 1 . 所以函数 f ( x 在 x ? 时,取得最大值 f ( ) ) a a a
且函数 f ( x 在x? ) 因为对于任意 x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? 0 ,

? 0 ,即 ln 所以 f ( ) 1 e

1 a

1 1 ? 1 ? 0 ,可得 a ? . a e
?????13 分

即 a 的取值范围是 ( , ??) . 19、 (共 13 分) 解: (Ⅰ)依题意有 c ? 3 ,又

c 3 ,即 a ? 2 , b ? a2 ? c2 ? 1. ? a 2

x2 ? y 2 ? 1. ???????????????????5 分 故椭圆方程为 4
(Ⅱ)因为直线 AB 过右焦点 ( 3,0) ,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 3) .

? x2 2 ? ? y ? 1, 联立方程组 ? 4 ? y ? k ( x ? 3). ?
消去 y 并整理得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8 3k 2 x ?12k 2 ? 4 ? 0 .

第 6 页 共 8 页

故 x1 ? x2 ?

8 3k 2 12k 2 ? 4 , . x x ? 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1
?k 2 . 4k 2 ? 1

y1 y2 ? k ( x1 ? 3) ? k ( x2 ? 3) ?
xx yy xx

1 2 1 2 1 2 又 a 2 ? b 2 ? 0 ,即 4 ? y1 y2 ? 0 .

所以

3k 2 ? 1 ?k 2 ? ?0, 4k 2 ? 1 4 k 2 ? 1

可得 k ? ? 20、 (共 14 分) 解: (Ⅰ) {1},{3} ,

2 .?????????????13 分 2

{1, 2},{1, 4},{2,3},{3, 4} , {1, 2, 4},{2,3, 4} .
(Ⅱ)对于 Sn 的每个奇子集 A , 当 1 ? A 时,取 B ? ?A{1}, 当 1 ? A 时,取 B ? A ? {1} , 反之,若 B 为 Sn 的偶子集, 当 1 ? B 时,取 A ? ?B {1}, 当 1 ? B 时,取 A ? B ? {1} , 则 A 为 Sn 的奇子集. ????????4 分

Sn 的奇子集与偶子集之间建立了一个一一对应,
所以 Sn 的奇子集与偶子集的个数相等. ????????9 分 (Ⅲ)对于任意 i ? S n , (1)当 i ? 1 时,含 i 的 Sn 的子集共有 2
n ?1

个,由(Ⅱ)可知,

对每个数 i ( i ? 1 ) ,在奇子集与偶子集中, i 所占的个数是相等的; (2)当 i ? 1 时,将(Ⅱ)中的 1 换成 3 即可, 可知 i ? 1 在奇子集与偶子集中占的个数是相等的. 综合(1) (2) ,每个元素都是在奇子集与偶子集中占的个数相等. 所以 Sn 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.. ????14 分

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