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直线与平面垂直得判定公开课


直线和平面垂直的 判定

线面垂直定义探索

当一条直线垂直与一个面内的所有直线,则此直 线垂直与这个平面。

1.直线和平面垂直的定义

定义:直线 l与平面 ? 内的任意一条直 线都垂直.记作 l ? ? . 直线 l 叫做平面 ? 的垂线, 平面 ? 叫做直线 l 的垂面,
它们惟一的公共点P叫做垂足.

画法

此定义通常这样用:
l

一条直线平行于一 个平面,则此直线 垂直与这个平面内 的任意一条直线。

a

b

?

线?面?线?线
即:线面垂直 ? 线线垂直
?l ? ?

?l ? ?

a ??

? l?a

同样有

? l ?b

b ??

探究:线面垂直判定定理探究 一条直线情况 问题1:一条直线垂直于一个平面内的一条直线,则此 直线垂直于这个面? 不对

探究:线面垂直判定定理探究 两条直线情况 问题2:如一条直线垂直于一个面的两条平行直线, 则此直线垂直于这个面 不对 问题3:如一条直线垂直于一个面的两条相交直线, 则此直线垂直于这个面 正确

2.直线和平面垂直的判定定理:

判定定理:
一条直线 l 与一个平面? 内的两条相交直线都垂直,

则该直线与此平面垂直.

m ? ?, n ? ? ? ? m?n ? P ? ?? a ?? a ?? ? a ? m, a ? n ? ?

a
n

?

P

m

线线垂直 ? 线面垂直

思考
如果一条直线垂直于一个平 面内的无数条直线,那么这 条直线是否与这个平面垂直?

例1 已知:a // b , ? ? . a
求证: ? ? . b
?

a
n
P

b
m

证明:设 m 是 ? 内的任意一条直线.
? ? a ?? ? ? ??a ? m ? m ??? ??b ? m ? ??b ?? ? ?????a // b? ? m ??? ? 得出:平行线......

练习 :已知PA ? 平面 ABC ,AB是⊙O的直径, C是⊙ O 上的任一点,求证: ? BC . PC

证明直线垂直于面的方法:

找线线垂直方法:
1.找两条直线成 900 。

2.找

Rt ?

得出两直角边垂直。

3.找高线 4.等腰三角形的中线或者角平分线,得出高 5.线面垂直得出线线垂直 6.面面垂直得出线线垂直

探究:如图,直四棱柱A’B’C’D’-ABCD(侧棱与
底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,底面四边形 ABCD满足什么条件时,A’C⊥B’D’?
A’ B’ A B C C’ D D’

练习:P67第2题.

3.直线和平面所成的角
(1).斜线PA:PA∩α =A,但不垂直;交点A叫做斜足; 过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂线PO(PO⊥α), 直线AO叫做斜线PA在平面α上的射影.
P

斜足
a

A

O

垂足 直线AP的射影

(2).直线和平面所成的角:斜线和它在平上的射影 所成的锐角,即∠PAO.

线面角的求法:





求(通常构造三角形)

作:通过斜线上特殊点,作垂线,得到垂足,连接垂 足与斜足,得到射影,则射影与斜足所成的角就是所 求的线面角 证:见黑板 求:三角形的三边,看三边的关系或者用余弦定理

例2:如图,在正方体ABCD-A’B’
C’D’中,求直线A’B和平面A’B’ CD所成的角.
D’ A’ D A C’ B’ O C



分析:先找出这个角.

练习:如图,在长方体ABCD-A’B’C’D’中,
AA’=3,AB=4,BC=5,求直线A’C和平面ABCD所 成的角的正弦值.
D’ A’ D A B

C’
B’ C

练习:P67第3题.

ABCD ? A1B1C1D1 中,直线 AD1与平面 ABCD 所成的角
练习:在正方体 是多少?
D1 A1 D C1 B1 C





小结:
1.线面垂直的定义.

2.线面垂直的判定.
3.证线面垂直的方法 4.直线与平面所成的角.

作业:P67第1题.

回顾:直线与平面垂直的判定方法 1)用定义: 一条直线与平面内的任意一条直线 都垂直,那么这条直线和这个平面垂直. 2)用定理:

m ? ?, n ? ? ? ? m?n ? P ? ?? a ?? a ?? ? a ? m, a ? n ? ?

思考 (1)如图,长方形ABCD-A1B1C1D1中, 棱AA1、BB1 、CC1 、DD1所在的直线都 垂直于平面ABCD,它们之间有什么位 置关系? D1 C
1

A1 D A

B1 C



(2)如图,已知直线 、b和平面?。 a 如果a ? ?,b ? ?,那么,直线 、b a 一定平行吗?


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