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重庆一中2015高三文科上期期中数学试题


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【解析】重庆市重庆一中 2015 届高三上学期期中考试数学文试题 数 学 试 题 卷(文科)
【题文】一、选择题(每题 5 分,共 10 题) 【题文】1.已知全集 U ? ? 1,2,3,4,5,6?, A ? ?2,3,6?,则 ?U A ? ( A. ? 1,4, 5? B. ?2,3,6? C. ? 1,4,6? ) 2014.11

D. ?4,5,6? )

【题文】2.函数 f ? x ? ? A. ? ,1?

2 x ? 1 ? lg?1 ? x ? 的定义域为(

?1 ? ?2 ?

B. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

C. ? ,?? ?

?1 ?2

? ?

? ?? D. ?1,
)

【题文】3.执行右图的程序,若输入的实数 x =4,则输出结果为( A. 4 B. 3 C. 2 D.

1 4

【题文】4.函数 y ? sin x sin ? A.

? 2

?? ? ? x ? 的最小正周期是( ?2 ?
C. 2π

) D. 4π )

B.

?

【题文】5.直线 l1 : ?a ? 1?x ? y ? 1 ? 0 和 l2 : 3 x ? ay ? 2 ? 0 垂直,则实数 a 的值为( A.

1 2

B.

3 2


C.

1 4
丙 86 2.1

D.

3 4
丁 85 5.6 )

【题文】6.甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表: 乙 89 3.5

平均成绩 x 方差 S 2

89 2.1

从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛,最佳人选是( A. 甲 B.乙 C.丙
-1-

D.丁

【题文】7.直线 x ? y ? 2 ? 0 与圆 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 相交于 A, B 两点,则弦 AB ? (
2 2



A.

2 2

B.

3 2

C. 3

D. 2 )cm 3

【题文】8.若某几何体的三视图 (单位:cm) 如图所示,则此几何体的体积是(

3

4
正视图

2
侧视图

2 俯视图 A. ? B. 2? C. 3? D. 4?

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 【题文】9.(原创)设实数 x 和 y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 7 ? 0 ,且 z ? ax ? y 取得最小值的最优解仅为 ?2 x ? y ? 9 ? 0 ?
点 A?1,2 ? ,则实数 a 的取值范围是( A. ? ? ?,? ? ) C. ? , ? ??

? ?

1? 3?

B. ? ? ?,? ? 3

? ?

1? ?

?1 ?3

? ?

D. ? ,?? ?

?1 ?3

? ?

【知识点】线性规划的应用.

E5

【答案】 【解析】C 解析:A 为直线 x-2y+3=0 与 x+3y-7=0 的交点,设直线 x+3y-7=0 与 2x+y-9=0 的交点 B, 直线 2x+y-9=0 与 x-2y+3=0 的交点 C,则当 a ? 0 时, z ? ax ? y 取得最小值的最优解仅为点 B;当 a>0 时, 要使 z ? ax ? y 取得最小值的最优解仅为点 A?1,2 ? ,需使-a< k AB ? ?

1 1 ,解得 a> .故选 C. 3 3

【思路点拨】画出可行域,讨论 a 值,得目标函数取得最小值的条件. 【题文】10.已知正数 a, b, c 满足 a ? b ? ab, a ? b ? c ? abc, 则 c 的取值范围是( A. ? 0, ? 3 )

? ?

4? ?

B. ? , ? 2 3 E6

? 1 4? ? ?

C. ? , ? 3 3

? 1 4? ? ?

D. ?1, ? 3

? 4? ? ?

【知识点】基本不等式.

【答案】 【解析】D 解析:∵正数 a,b 满足 a+b=ab,∴ab ? 2 ab ? ( ab )2 ? 2 ab ? 0

? ab ? 2 ? ab ? 4 ,由 a ? b ? ab, a ? b ? c ? abc,

-2-

ab ? 1 ? 1 1 1 1 ? 1? ? , , ab ? 4,? ab ? 1 ? 3,? 0 ? ab ? 1 ab ? 1 ab ? 1 3 1 4 ?1 ? 1 ? ? ,故选 D. ab ? 1 3 1 【思路点拨】由正数 a,b 满足 a+b=ab 得 ab ? 4 ,由 a+b+c=abc 变形成 c ? 1 ? 即可得出结论. ab ? 1
得 c ? ab ? 1 ?

ab

【题文】二、填空题(每题 5 分,共 5 题) 【题文】11.命题“ ?x ? R,2 ? 0 ”的否定是 【题文】12.已知复数 z ? (2 ? i )( x ? i ) 为纯虚数,其中 i 为虚数单位,则实数 x 的值为
x

? ? ? 【题文】13.若向量 a、b 的夹角为 150 ? , a ? 3 ,
【知识点】向量的运算. F3

? ? ? b ? 4 ,则 2a ? b ?

【答案】 【解析】2 解析: 2a ? b ? = 28 ? 16 3 ? ? ?

?

?

4 a

??

2

? 4a ? b ? (b) 2 ? 12 ? 4 ? 4 3 cos150 ? 16

? ? ?

3? ? ?2. 2 ? ?

【思路点拨】把求向量的模,转化为数量积运算即可. 【题文】14.已知数列 ?an ?满足: a1 ? 1, an ?1 ? an ? 【知识点】累加法;裂项求和法. D1 【答案】 【解析】 2 ? D4

1 n ? N ? ,则数列 ?an ?的通项公式为____ n?n ? 1?

?

?

1 n

解析: an ? ? a2 ? a1 ? ? ? a3 ? a2 ? ?

? ? an ? an?1 ? ? a1

?

1 1 ? ? 1? 2 2 ? 3

?

1 ? 1? ?1 1? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? n ? 1? n ? 2? ? 2 3?
1 n? N? 得 n?n ? 1?

1 1? ? 1 ?? ? ? ? 1 =2n ? n ?1 n ?

【思路点拨】由 a1 ? 1, an ?1 ? an ?

?

?

an ? ? a2 ? a1 ? ? ? a3 ? a2 ? ?
再用裂项求和法求解.

? ? an ? an?1 ? ? a1 ?

1 1 ? ? 1? 2 2 ? 3

?

1 ?1 ? n ? 1? n

【题文】15.设 n 为正整数, f ?n ? ? 1 ?

1 1 1 3 5 ? ? ? ? ,计算得 f ?2 ? ? , f ?4 ? ? 2, f ?8? ? , 2 3 n 2 2

f ?16 ? ? 3 ,观察上述结果,可推测一般的结论为
【知识点】归纳推理.
n

M1

【答案】 【解析】 f (2 ) ?

n?2 (n ? N * ) 2

解析:∵ f 2

4 , f ?2 ? ? 2 ? , ? ?? 3 2 2
1 2

-3-

5 6 n?2 f ? 23 ? ? , f ? 24 ? ? , ∴归纳得 f (2n ) ? (n ? N * ) . 2 2 2
【思路点拨】把计算得的几个式子重新整理,归纳总结规律得结论. 【题文】三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算过程) 【题文】16.(原创) (本题满分 13 分)已知等差数列 ?a n ? 满足: a5 ? 5, a2 ? a6 ? 8 . ⑴求 ?a n ? 的通项公式; an ? n ⑵若 bn ? an ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . S n ?
a

n?n ? 1? 2 ? 1 ? 2 n n?n ? 1? n ?1 ? ? ?2 ?2 2 1? 2 2

?

?

【题文】17. (本题满分13分)从某校高三学生中抽取 n 名学生参加数学竞赛,根据成绩(单位:分)的分组及各数据绘制
的频率分布直方图如图所示,已知成绩的范围是区间 [40, 100),且成绩在区间[70, 90)的学生人数是 27 人.⑴求n 的 ; 值

⑵若从数学成绩(单位:分)在[40,60)的学生中随机选取 2 人进行成绩分析,求至少有 1 人成绩在[40, 50)内的概率.

【知识点】用样本估计总体;古典概型. I2 【答案】 【解析】 (1)50; (2)

K2

7 . 解析:⑴成绩在区间 ?70, 90 ? 的频率是: 10 27 ? 50 人. 1 ? (0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54,∴ n ? 0.54 50 ? 的学生人数是:50×0.04=2 人, ⑵成绩在区间 ? 40,
60 ? 的学生人数是:50×0.06=3 人, 成绩在区间 ?50, 50 ? 的学生分别是 A1,A2,成绩在区间 ?50, 60 ? 的学生分别是 B1,B2,B3, 设成绩在区间 ? 40,

从成绩在 ?40, 60 ? 的学生中随机选取 2 人的所有结果有:(A1,A2),(A1,B1), (A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)共 10 种情况. 至少有 1 人成绩在 ?40, 50 ? 内的结果有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2, B3)共 7 种情况. ∴ 至少有 1 人成绩在 ?40, 50 ? 内的概率 P=

7 . 10

-4-

【题文】18.(原创) (本题满分 13 分)已知 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且有

( 2a ? c) cos B ? b cos C . ⑴求角 B 的大小;
【 答 案 】【 解 析 】 (1)

?

2 sin A ? sin C cos B ? sin B cos C

?

? ; (2)7. 4

解 析 : ⑴ 由 条 件 ( 2a ? c) cos B ? b cos C 可 得 :

整理得: 2 sin A cos B ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin ?B ? C ? ? sin A 所以 cos B ?

2 ? ,又 0 ? B ? ? ,故 B ? 2 4

⑵由 m ? n 可得: 5?cos 2 A ? 1? ? 4?3 cos A ? 4 ? ? 0 整理得: 5 cos 2 A ? 6 cos A ? 8 ? 0

4 或 cos A ? ?2 (舍去) 5 又 0 ? A ? ? ,? A 为锐角 3 3 故 sin A ? , tan A ? 5 4
从而 cos A ? 于是 tan ?

?? ? 1 ? tan A ? A? ? ?7 ?4 ? 1 ? tan A

【题文】19.(原创) (本题满分 12 分)如图,已知 DE ? 平面ACD, DE // AB, ?ACD 是 正三角形, AD ? DE ? 2 AB ? 2 ,且 F是CD 的中点. ⑴求证: AF // 平面BCE ; ⑵求四棱锥 C ? ABED 的全面积.

【知识点】线面平行的判定;几何体的全面积.

G4 G1

【答案】 【解析】 (1)证明:见解析; (2) S 全 ? 6 ? 3 ? 6 .

-5-

解析:⑴取 CE 中点 P ,连结 FP, BP ∵ F 为 CD 的中点,∴ FP // 又 AB //

1 DE 2

1 DE ∴ AB //FP 2 ∴ ABPF 为平行四边形,∴ AF // BP
又∵ AF ? 平面 BCE , BP ? 平面 BCE , ∴ AF //平面 BCE .

⑵ S ABED ? 3 , S ?ACD ? 3 , S ?CDE ? 2 , S ?ABC ? 1 , S ?BCE ?

6

S全 ? 6 ? 3 ? 6
【题文】20. (本题满分 12 分)已知函数 g x ?

??

2 m?2 ? ln x , f ?x ? ? mx ? ? ln x , m ? R . x x

⑴求函数 g ( x) 的极值;⑵若 f ( x) ? g ( x) 在 ?1, ?? ? 上为单调函数,求 m 的取值范围. 【知识点】导数的应用;不等式恒成立问题. B12 E8 【答案】 【解析】 (1) g ? x ?极小值 ? g ?2 ? ? 1 ? ln 2 ,无极大值; (2) ? ??, 0? 解析: (1)? g ??x ? ? ? 2 ? ? x x x2

?1, ?? ?

.

2

1

x?2

令 g ?? x ? ? 0 得: x ? 2 ;令 g ?? x ? ? 0 得: x ? 2

? ?? 又因为 g ? x ? 的定义域为 ?0,
故 g ? x ? 在 ?0,2 ? 上单调递减,在 ?2,?? ? 上单调递增 故 g ? x ?极小值 ? g ?2 ? ? 1 ? ln 2 ,无极大值。 (2)∵ f ( x) ? g ( x) ? mx ?

mx 2 ? 2 x ? m m . ? 2 ln x. ? ? f ( x) ? g ( x) ?? ? x2 x

f ( x) ? g ( x) 在 ?1, ? ? 上为单调函数,
2 ? mx 2 ? 2 x ? m ? 0 或者 mx ? 2 x ? m ? 0 在 ?1, ? ? 恒成立

mx 2 ? 2 x ? m ? 0 等价于 m(1 ? x 2 ) ? 2 x, 即 m ?

2x , 1 ? x2

-6-

? ? 2x 2 ? 2 ? ? ,? 而 ? max ? 1???? m ? 1 . 1 ? x2 x ? 1 ? x ? 1 ? x ? x?
? mx 2 ? 2 x ? m ? 0 等价于 m(1 ? x 2 ) ? 2 x, 即 m ?


2x 在 ?1, ? ? 恒成立, 1 ? x2

2x ? ? 0,1? , m ? 0 . 1 ? x2

综上, m 的取值范围是 ? ??, 0?

?1, ?? ? .

【思路点拨】 (1)先求定义域上导函数为零的根,再判断此根两侧导函数值的符号,由此得函数的极值情 况; (2)h(x)= f ( x) ? g ( x) 在 ?1, ?? ? 上为单调函数,则在 ?1, ? ? 上 h? ? x ? ? 0 或

h? ? x ? ? 0 恒成立,在采用分离常数法求 m 范围.
【题文】21. (本题满分 12 分)已知椭圆

x2 y 2 6 ,过点 A (0, ?b) 和 ? 2 ?( 1 a ? b ? 0) 的离心率 e ? 2 a b 3

B (a, 0) 的直线与原点的距离为

3 . ⑴求椭圆的方程; 2

⑵设 F1、F2 为椭圆的左、右焦点,过 F2 作直线交椭圆于 P, Q 两点,求 ?PQF1 的内切圆半径 r 的最大值.

y P

F1

o
A

F2
Q

B x

【知识点】椭圆的方程;直线与椭圆的位置关系;三角形的面积公式. H5 H8

x2 1 【答案】 【解析】 (1) (2) . ? y2 ? 1; 3 2
解析:⑴直线 AB 的方程为 原点到直线 AB 的距离为

x y ? ? 1 即 bx ? ay ? ab ? 0 a ?b

ab a ?b
2 2

?

3 即 3a 2 ? 3b 2 ? 4a 2b 2 ..........① 2

e?

c 6 2 ? ? c2 ? a2 a 3 3

...................................②

又 a2 ? b2 ? c2

...................................③

-7-

由①②③可得: a 2 ? 3, b 2 ? 1, c 2 ? 2

故椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 3
2 ,0 ,设 P? x1 , y1 ?, Q? x2 , y2 ?

⑵ F1 ? 2 ,0 , F2

?

? ?

?

由于直线 PQ 的斜率不为 0 ,故设其方程为: x ? ky ? 2 联立直线与椭圆方程:

? x ? ky ? 2 ? 2 ? k 2 ? 3 y 2 ? 2 2ky ? 1 ? 0 ?x 2 ? ? y ?1 ?3

?

?

? 2 2k y1 ? y2 ? ? 2 ? ? k ? 3 ...................................④ 故? 1 ?y y ? ? 1 2 ? k2 ?3 ?
而 S ?F1PQ ? S ?F1F2 P ? S ?F1F2Q ?

1 F1 F2 y1 ? y2 2

? 2

? y1 ? y2 ?2 ? 4 y1 y2 .........................⑤
? 2 2k ? 4 2 6 k 2 ?1 ? ? 2 ? ? ? ? ? k2 ?3? k2 ?3 k2 ?3 ? ?
2

将④代入⑤得: S ?F1PQ 又 S ?F1PQ ? 所以

1 ? PF1 ? PF2 ? PQ ?? r ? 2a ? r ? 2 3r 2

2 6 k 2 ?1 ? 2 3r k2 ?3
? 1 2

2 k 2 ?1 2 ? 故r ? 2 k ?3 k 2 ?1 ?
2 k 2 ?1

2 k 2 ?1

当且仅当 k 2 ? 1 ?

即 k ? ?1 时,取得“ ? ”

故 ?PQF1 的内切圆半径 r 的最大值为

1 . 2

【思路点拨】 (1)根据已知条件,得关于椭圆中参数 a、b、c 的方程组,求得 a、b、c 即可; (2)由于直线 PQ 的斜率不为 0 ,故可设其方程为: x ? ky ? 2

-8-

? 2 2k ? x ? ky ? 2 y1 ? y2 ? ? 2 ? ? 2 ? k ?3 ? k 2 ? 3 y 2 ? 2 2ky ? 1 ? 0 ,得 ? 联立直线与椭圆方程: ? x 2 ?y y ? ? 1 ? ? y ?1 1 2 ?3 ? k2 ?3 ?

?

?

由 S?F1PQ ?

1 2 6 k 2 ?1 F1 F2 y1 ? y2 得 : S?F1 P Q = , 又 ?F1 P Q的 周 长 为 定 值 4a= 4 3 , 所 以 2 k2 ? 3

1 2 k 2 ?1 S?F1PQ ? ? 4a ? r ? 2a ? r ? 2 3r ,这样得 r 关于 k 的函数 r ? ,求这个函数的最大值即可. 2 k2 ? 3
【典例剖析】本考题第二小题是较典型的问题,寻找 ?PQF1 的内切圆半径 r ,与过焦点 F2 的直线

x ? ky ? 2 中,参数 k 的函数关系是本题的关键;而三角形的两种面积计算公式是桥梁.

-9-


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