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2007安徽省合肥高三二质检数学(理)-2007安徽合肥二...(697K)


2006—2007学年度安徽省合肥市高三年级第二次教学质量检测

数学试题(理)
考试时间:120 分钟 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 Pn

( k ) ? C n P (1 ? P )
k k n?k

满分:150 分 球的表面积公式 2 S ? 4 ? R (其中 R 表示球的半径) 球的体积公式
V球 ? 4 3

?R

3

(其中 R 表示球的半径)

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,请把正确的答案填在题后的括号内. 1.(3 + 4i) (3 + 2i) = ( ) A.1 B.9-8i C.1 + 18i D.9-20i 2.已知 sin( 2 ? ? ? ) ? A.
1 7 4 5 ,? ? ( 3? 2 1 7 , 2 ? ) ,则 sin ? ? cos ? sin ? ? cos ?

= D.7





B.-

C.-7

2 3.集合 A ? | x || x ? 3 |? a , a ? 0 |, B ? | x | x ? 3 x ? 2 ? 0 | ,且 B ? A ,则实数 a 的取值范

围是 A. ? ? ? ,1 ? B. ?1, ?? ?
an 2an ? 1
1 13

( C. ? ? ? , 2 ? D. ?2 , ?? ? (
1 11



4.数列{an}中,若 a n ? 1 ?

, a 1 ? 1 ,则 a6 =



A.13

B.

C.11

D.

5.如果椭圆在左焦点到左准线的距离等于长半轴的长,则其离心为
1 2


5 ?1 2



A.

B.

5 ?1 2

C.
1

4 5

D.

2 6.函数 f ( x ) ? lg( x ? 1), x ? ?3 , ?? ? 的反函数是


10 10
x



A. g ( x ) ? C. g ( x ) ?

10 10

x

? 1 ( x ? 0) ? 1 ( x ? 0)

B. g ( x ) ? D. g ( x ) ?

? 1 ( x ? 1) ? 1 ( x ? 1)

x

x

7.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的顶点在一个球面上,且棱长为 1, 则球的表面积为 ( A.12π B.4π C.3π
y x? 2



D.π 的取值范围是 ( )

8.已知 M(x,y)是圆 x2 + y2 = 1 上任意一点,则
3 3 3 3
3? ? 3 , ?? ?? ? 3 ? ? 3 ? ? ? ?

A. [ ?
? ? ?

,

]

B. [ ? 3 , 3 ] D. ?? ? , ? 3 ?

C. ? ? ? , ?

? ?

3 , ??

?

9.过△ABC 内部一点 M 任作一条直线 EF,AD⊥EF 于 D, BF⊥EF 于 E,CF⊥EF 于 F,都有 AD ? BE ? CF ? 0 , 则点 M 是△ABC 的 A.三条高的交点 C.三边中垂线的交点 ( )

B.三条中线的交点 D.三内角平分线的交点
2 2

10.若对所有正数 x,y,不等式 x ? y ? a x ? y 都成立,则 a 的最小值是 A. 2 B.2 C. 2 2 D.8





( 11. 函数 f (x)在定义域 R 内可导, f ( x ) ? f ( 2 ? x ) , 若 且当 x ? ( ?? ,1) 时, x ? 1) f ? ( x ) ? 0 ,
2

设 a ? f ( 0 ), b ? f ( ), c ? f ( 3 ) ,则
2

1

0

( D.b < c < a



0

A.a < b < c

B.c < a < b

C.c < b < a

7

0

12. 二元函数 f (x, y)定义域为 D ? {( x , y ) | f ( x , y ) 有意义 } , 则函数 f ( x , y ) ? ln[ x ln( y ? x )]
3

的定义域所表示的平面区域是

2





8

2

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在答题中横线上。 13.函数 y = f (x)的图象如右图所示,命题: ①函数 y = f (x)的定义域是 ?? 5 , 6 ? ; ②函数 y = f (x)的值域是 ?0 , ?? ? ; ③函数 y = f (x)在定义域内是增函数; ④函数 y = f (x)有反函数. 其中正确命题的序号是 . 14.函数 y ? sin x ?
3 cos x , x ? [

?
6

, ? ] 的值域是

.

15.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,O 为 CD 上的动点,VP—OAB 恒为定值,且△PDC 是正三 角形,则直线 PD 与直线 AB 所成角的大小是 . 16.设坐标平面内有一个质点从原点出发,每次沿坐标轴向正方向或负方向跳动 1 个单位, 经过 10 次跳动质点落在点(2,4)处,则质点不同的运动方法共有 种(用 数字作答). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 y ? A sin( ? x ? ? ), x ? R , A ? 0 , ? ? 0 , | ? |? 标为 (
?
6 , 3 ) ,与其相邻的对称中心的坐标是 ( ?

?
2

,若该函数图象一个最高点坐

?
12

, 0 ).

(1)求函数 y ? A sin( ? x ? ? ) 的解析式; (2)求函数图象在 x ? ? 18. (本小题满分 12 分) 直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,侧棱 CC1 = 2,∠BAC = 90° AB ? AC ? , 的中点,N 是 CC1 中点,求 (1)二面角 B1—AN—M 的大小; (2)C1 到平面 AMN 的距离.
3

?
4

处切线方程.

2 ,M 是棱 BC

19. (本小题满分 12 分) 已知:等差数列{an}中,a3 + a4 = 15,a2a5 = 54,公差 d < 0. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)求
Sn ? an n

的最大值及相应的 n 的值.

20.甲盒有标号分别为 1、2、3 的 3 个红球;乙盒有标号分别为 1、2…、n(n≥2)的 n 个黑球, 从甲、乙两盒中各抽取一个小球,抽取的标号恰好分别为 1 和 n 的概率为
1 12 .

(1)求 n 的值; (2)现从甲、乙两盒各随机抽取 1 个小球,抽得红球的得分为其标号数;抽得黑球,若 标号数为奇数,则得分为 1,若标号数为偶数,则得分为零,设被抽取的 2 个小球 得分之和为 ? ,求 ? 的数学期望 E ? . 21. (本小题满分 12 分) 设抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 ) 的焦点为 F,准线与 x 轴交点为 Q,过 Q 点的直线 l 交抛物
2

线于 A、B 两点. (1)直线 l 的斜率为
2 2

,求证: FA ? FB ? 0 ;

(2)设直线 FA、FB 的斜率为 kFA、kFB,探究 kFB 与 kFA 之间的关系并说明理由. 22. (本小题满分 14 分) 已知:三次函数 f ( x ) ? x ? ax
3 2

? bx ? c ,在 ( ?? , ? 1), ( 2 , ?? ) 上单调增,在(-1,2)
2

上单调减,当且仅当 x ? 4 时, f ( x ) ? x ? 4 x ? 5 . (1)求函数 f (x)的解析式;
2

(2)若函数 h ( x ) ?

f ?( x ) 3( x ? 2 )

? ( m ? 1) ln( x ? m ) ,求 h ( x ) 的单调区间.
0 0 7

0

参考答案
一、选择题 1.C 2.A 3.D 4.D 5.D 6.D
4

3

2

8

7.C

8.A

9.B

10.A

二、填空题: 13.② 14. [ ? 3 , 2 ] 15.60°
?
6

16.9450
?
12

三、解答题: 17. (1)由题意知 A ? 3 ,
? ?
2? T
y ? 3 s i n 2 x ? ? ) ,又由 2 ? (

1 4

T ?

? (?

) ?

?
4

,所以 T ? ? ,

? 2 ………………………………………………………………2 分

?
6

? ? ? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,? ? 2 k? , k ? Z ,

因为 | ? |?

?
2

,所以 ? ?
?
6 ), x ? R

?
6

. ………………………………………………4 分

y ? 3 sin( 2 x ?

…………………………………………………6 分
? 3 ……………………………………10 分

(2) y ? ? 6 cos( 2 x ?
?
4

?
6

), y ? |

x??

x 4

函数图象在 x ? ? 即3x ? y ?
3 2

处的切线方程为 y ?
3 4

3 2

3 ? 3( x ?

?
4

)

3 ?

? ? 0 ………………………………………………12 分
2 2 2 2

18. 解法一: 建立坐标系如图所示, A ( 0 , 0 , 0 ), M ( (1) 则

,

, 0 ), N ( 0 ,

2 ,1), B 1 ( 2 , 0 , 2 )

……………………………………1 分
AM ? ( 2 2 , 2 2 , 0 ), AN ? ( 0 , 2 ,1), AB ? ( 2 , 0 , 2 )

设平面 AMN 的法向量为 m ? ( p , q , r ) ,平面 AB1N 的 法向量为 n ? ( s , t , k ) …………………………2 分
2 2 2 2

由 AM ? m ? 0 , AN ? m ? 0 ,得

p ?

q ? 0,

2q ? r ? 0 ,

令 p ? 1 ,则 q ? ? 1, r ?

2 ,于是 m ? (1, ? 1,

2 ). …………………………3 分

由 AB 1 ? n ? 0 , AN ? n ? 0 ,得 2 s ? 2 k ? 0 , 2 t ? k ? 0 ,
5

令 k ? ? 2 ,则 s ? 2 , t ? 1 ,于是 n ? ( 2 ,1, ? 2 ). ……………………………4 分
m ? n ? ? 1, | m | ?
?1 2? 7

1 ? 1 ? 2 ? 2 , | n |?
7 14

4 ?1? 2 ?

7

cos ? m , n ?

? ?

……………………………………………………5 分

所以二面角 B1—AN—M 的大小 ar cos

7 14

. ……………………………………6 分

(2) NC 1 ? ( 0 , 0 ,1) ,C1 到平面 AMN 的距离: d ?

| m ? NC |m |

1

|

?

2 2

. ………12 分

解法二:∵∠BAC = 90° ,AB = AC = 2 ,M 是棱 BC 的中点. ∴AM⊥BC,BC = 2,AM = 1, ∴AM⊥平面 BCC1B1, ∴平面⊥AMN⊥平面 BCC1B1.……………………………2 分 (1)作 B1H⊥MN 于 H,HR⊥AN 于 R,连 B1R ∵平面 AMN∩平面 BCC1B1 = MN ∴B1H⊥平面⊥AMN,又由三垂线定理知,B1R⊥AN, ∴∠B1RH 是二面角 B1—AN—M 的平面角…………3 分 由已知得 AN ?
3 , MN ? 2

B1 M ?

5 ? B 1 N ,则 B 1 H ?
RH AM

3 2 2

又 Rt△AMN~Rt△HRN,
6 6

?

HN AN

? RH ?

,? B 1 R ?

HR

2

? B1 H

2

?

14 3

cos ? B 1 RH ?

RH B1 R

?

7 14

……………………………………5 分

所以二面角 B1—AN—M 的大小 ar cos

7 14

. ……………………………………6 分

(2)∵N 是 CC1 中点 ∴C1 到平面 AMN 的距离等于 C 到平面 AMN 的距离
6

设 C 到平面 AMN 的距离为 h, 由 VC—AMN = VN—AMC 得
1 3 ? 1 2
2 2

AM ? MN ? h ?

1 3

?

1 2

AM ? MC

?h ?

. …………………………………………………………12 分

19. (1)解? { a n } 为等差数列,? a 2 ? a 5 ? a 3 ? a 4
? a 2 ? a 5 ? 15 ?? ? a 2 ? a 5 ? 54 ?a 2 ? 6 ?a5 ? 9

……………………………………………………2 分
?a 2 ? 9 ……………………………4 分 ? ?a5 ? 6

解得 ?

(因 d ? 0 , 舍去 )

?d ? ?1 ? ? ………………………………………………………………5 分 ? a 1 ? 10
? a n ? 11 ? n . ……………………………………………………………6 分

(2)? a 1 ? 10 , a n ? 11 ? n ………………………………………………6 分
? Sn ? ? 1 2
? ? 1 2
22 x

n

2

?
n

21 2
2

n
21 2 n
22 x
2

Sn ? an n

?

n ? (11 ? n ) ? ?

1 2

(n ?

22 n

)?

23 2

. …………8 分

因 f (x) ? x ? 又4 ?

, f ?( x ) ? 1 ?

? 0 ,知 f ( x ) 在 ( 0 ,

22 ) 上单减,在 ( 22 , ?? ) 上单增,

22 ? 5 ,
1 2 ? f (5 ) ? 9
Sn ? an n

而 f (4) ? 9

2 5

. …………………………………………10 分
1 2 47 5 23 2 34 5

∴当 n = 5 时,

取最大值为 ?
1 12

?

?

?

. ………………12 分

20.解: (1)由题意知

1 3n

?

? n ? 4 ……………………………………6 分

7

(2) P ( ? ? 1) ?

1 C3
1

?

C2 C4

1 1

?

1 6 C1
1 1

P (? ? 2 ) ?

C1

1 1

?

C2 C4 C2 C4
1 1

1 1

?

?

C2 C4 C2 C4
1 1

1 1

?

1 6 1 6

?

1 6 1 6

?

1 3 1 3

C3 P (? ? 3 ) ? C1
1 1

C3 C1
1 1

?

?

?

?

?

?

C3 P (? ? 4 ) ?

C3 1 6

C1

1 1

?

C2 C4

1 1

?

……………………………………10 分
1 3 1 6 5 2
2 2 (x ? p 2 ) …………2 分

C3

E? ? 1?

1 6

? 2?

1 3

? 3?

? 4?

?

……………………12 分

21. (1)证明:? Q ( ?

p 2

,0 )

∴直线 l 的方程为: y ?

? 2 p (x ? ) ?y ? 由? 2 2 ? y 2 ? 2 px ?

消去 x 得: y ? 2 2 py ? p = 0
2 2

解得: A (
p 2

3? 2 2

2

p , ( 2 ? 1) p ), B (

3?2 2

2

p , ( 2 ? 1) p ) ………………4 分

而F(

,0 )

故 FA ? (( 1 ?
2

2 ) p , (1 ?

2 ) p ), FB ? (( 1 ?

2 ) p , ( 2 ? 1) p )

? FA ? FB ? ? p

? p

2

? 0

(2) k FA ? ? k FB 或 k FA ? k FB ? 0 . 因直线 l 与抛物线交于 A、B 两点,故直线 l 方程: y ? k ( x ?
p ? ? y ? k(x ? ) 由? 2 消去 x 得: ky 2 ? y ? 2 px ?

p 2

)( k ? 0 )

2

? 2 px ? kp

2

? 0

设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )

则 y1 y 2 ? p

2

8

k FA ?

y1 x1 ? p 2

, k FB ?

y2 x2 ? p 2
2 2



p ? k FA ? y y1
2

2 2

p ? y ( p
2

?
2

y2 p ? y2
2

?

p 2

? ? k FB . ………………12 分

)

2p

y2 2p

?

p 2

2

2p

22.解: (1)? f ( x ) 在 ( ?? , ? 1), ( 2 , ?? ) 上单增, (-1,2)上单减
2 ? f ? ( x ) ? 3 x ? 2 ax ? b ? 0 有两根-1,2

2a ? ?1? 2 ? ? ? ? 3 ?? ?? 1 ? 2 ? b ? 3 ?

3 ? ?a ? ? ?? 2 ?b ? ? 6 ?

? f (x) ? x ?
3

3 2

x

2

? 6 x ? c …………4 分

令 H (x) ? f (x) ? x ? 4 x ? 5 ? x ?
2 3

5 2

x

2

? 2x ? c ? 5

2 H ? ( x ) ? 3 x ? 5 x ? 2 ? ( 3 x ? 1)( x ? 2 )

H ( x ) 在 ( ?? , ?
? H (4) ? 0 ? 故? 1 ? H (? ) ? 0 3 ?

1 3

), ( 2 , ?? ) 单调增, ( ?

1 3

, 2 ) 单调减

? c ? ? 11

? f (x) ? x ?
3

3 2 3 2

x x
2

2

? 6 x ? 11 ? 6 x ? 11 . ………………………………………………6 分

故 f (x) ? x ?
3
2

(2)? f ( x ) ? 3 x ? 3 x ? 6
? h ( x ) ? x ? 1 ? ( m ? 1) ln( x ? m )( x ? ? m 且 x ? 2 ) ………………8 分
? h ?( x ) ? 1 ? m ?1 x? m ? x ?1 x? m

……………………………………… 10 分

9

当 m≤-2 时,-m≥2,定义域: ( ? m , ?? )
h ? ( x ) ? 0 恒成立, h ( x ) 在 ( ? m , ?? ) 上单增;

当 ? 2 ? m ? ? 1 时, 2 ? ? m ? 1 ,定义域: ( ? m , 2 ) ? ( 2 , ?? )
h ? ( x ) ? 0 恒成立, h ( x ) 在 ( ? m , 2 ), ( 2 , ?? ) 上单增

当 m >-1 时,-m <1,定义域: ( ? m , 2 ) ? ( 2 , ?? ) 由 h ? ( x ) ? 0 得 x >1,由 h ? ( x ) ? 0 得 x <1. 故在(1,2)(2,+∞)上单增;在 ( ? m ,1) 上单减. ……………………… 12 分 , 所以当 m≤-2 时,h(x)在(-m,+∞)上单增; 当 ? 2 ? m ? ? 1 时, h ( x ) 在 ( ? m , 2 ), ( 2 , ?? ) 上单增; 当 m >-1 时,在(1,2)(2,+∞)上单增;在(-m,1)单减.…………14 分 ,

10


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