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揭阳一中2011—2012学年高二上学期第一次阶段考试(文数)


揭阳一中 2011—2012 学年高二上学期第一次阶段考试 数学(文科)
一、选择题。 (每小题 5 分,共 8 小题,共 40 分) 1、已知数列{ an }的通项公式是 an =

n ( n ? N* ),则数列的第 5 项为( n ? 25
2



A.

1 10

B.

1 6

C.

1 5

D.

1 2

2、在△ABC 中, a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边, A ? 75?, C ? 45? , b = 2 ,则此 三角形的最小边长为( A. ) B.

6 4

2 2 3

C.

2 6 3

D.

2 4
)

S3 1 S6 3、设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 =( S6 3 S12 3 A. 10 B. 1 3 C. 1 8 D.

1 9

b 4 、 在 ?ABC 中 , a、 、

c 分 别 是 三 内 角 A、B、C 的 对 边 , 且
) D.

sin2 A ? sin2 C ? (sin A ? sin B)sin B ,则角 C 等于(
A.

? 6

B.

? 3

C.

5? 6

2? 3


5、已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a4 ? 18 ? a5 ,则 S8 等于( A.72 B.54 C.36 D.18

6、设 ? , ? 是三角形 ABC 的两个锐角,且 tan? tan ? ? 1, 则△ ABC 的形状是( A、 钝角三角形 C、 锐角三角形 B、 直角三角形 D、 任意三角形



7 、在等差数列 ?an ? 中, a1 ? ?2 0 1 1 ,其前 n 项的和为 Sn .若

S2 0 1 0 S 2 0 0 8 ? ? 2 ,则 2010 2008

S 2011 ? (

) B. 2010 C. 2011 D. ?2011 )

A. ?2010

8、一直角三角形三边长 a、b、c 成等比数列,且 a ? b ? c ,则( A.三边长之比为 3:4:5 C.较大锐角的余弦值为 B.三边长之比为 1: 3 : 3

5 ?1 2

D. c 2 ? ab

1

9、设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( A.63 B.45 C.36 D.27



10、已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2,? ,且 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) ,则当 n ? 1 时,

log2 a1 ? log2 a3 ?? ? log2 a2n? 1 ? (
A. n(2n ? 1) B. (n ? 1) 2

) C. n2 D. (n ? 1)2

二、填空题。 (每小题 5 分,共 6 小题,共 30 分) 11、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? n ? 1? ,则 a5 的值为 ______ 12、 △ ABC 中,内角 A , B , C 对边的边长分别是 a, b, c ,且 c ? 3, b ? 1, B ? 30? ,则 △ ABC 的面积等于 _______. 13、已知 Sn 是等差数列{an}(n∈N*)的前 n 项和,且 S6>S7>S5,有下列四个命题: ①d<0; ②S11>0; ③S12<0; ④使得 Sn>0 的所有 n 中的最大值为 13;

其中正确命题的序号是_________. 14、甲船在 A 处观察乙船,乙船在它的北偏东 60°的方向,两船相距 a 海里,乙船正向 北行驶, 若甲船是乙船速度的 3倍, 甲船为了尽快追上乙船, 则应取北偏东________ (填 角度)的方向前进。 三、解答题。 (共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15、 (本小题满分 12 分) ?ABC 的面积是 30, a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边,且

cos A ?

12 . 13
(2)若 c ? b ? 1 ,求 a 的值。

(1)求 AB ? AC ;

16、 (本小题满分 12 分)等比数列{an}中,an > 0(n∈N*),公比 q∈(0,1),且 a1a5+2a3a5+ a2a8=25, a3 与 a5 的等比中项为 2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求数列{Sn}的通项公式; 17、 (本小题满分 14 分) 已知Δ ABC 的角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c, 设向量 m ? (a, b) ,

?

2

? ? n ? (sin B,sin A) , p ? (b ? 2, a ? 2).
(1)若 m // n ,求证:Δ ABC 为等腰三角形; (2)若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C =

??

?

??

? ?

? ,求Δ ABC 的面积 . 3

18、 (本小题满分 14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an 是 Sn 与 2 的等差中项,数列 {bn}中,b1=1, 点 P(bn,bn+1)在直线 x-y+2=0 上。 (1)求 a1 和 a2 的值; (2)求数列{an},{bn}的通项 an 和 bn;

19、 (本小题满分 14 分)某外商到一开发区投资 72 万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各 种经费 12 万美元,以后每年增加 4 万美元,每年销售蔬菜收入 50 万美元。 (1)若扣除投资及各种经费,则从第几年开始获取纯利润? (2)若干年后,外商为开发新项目,按以下方案处理工厂:纯利润总和最大时,以 16 万美 元出售该厂,问多长时间可以出售该工厂?能获利多少?

20、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

x (a, b为常数且 a ? 0) 满足 f (2) ? 1 ,且 ax ? b

f ( x) ? x 有唯一实数解。
(1)求 f ( x ) 的表达式 ; (2)记 xn ? f ( xn?1 )(n ? N且n ? 1) ,且 x1 = f (1) ,求数列 {xn } 的通项公式。 (3)记 y n ? xn ? xn?1 ,数列{ y n }的前 n 项和为 S n ,是否存在 k∈N*,使得 S n ? 对任意 n∈N*恒成立?若存在,求出 k 的最小值,若不存在,请说明理由.

k 10

参考答案
一、 选择题: ACABA ADCBC

3

二、 填空题: 11、20 13、①② 三、 解答题: 12、

3 3 或 2 4
14、30°

cos A ?
15、 解: (1)由

1 2 5 12 1 s i n A ?1 ? ( ) 2? bc sin A ? 30 1 3 1 3 . 又2 13 , 得 , ∴ bc ? 156 .

??? ? ???? 12 AB ? AC ? bc cos A ? 156 ? ? 144 13 .

(Ⅱ)a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

? (c ? b) 2 ? 2bc(1 ? cos A) ? 1 ? 2 ?156 ? (1 ?

12 ) ? 25 13 , ∴

a ? 5.

16、解:(1)∵a1a5+2a3a5+a2a8=25,∴a3 +2a3a5+a5 =25, ∴(a3+a5) =25, 又 an>0,∴a3+a5=5, 又 a3 与 a5 的等比中项为 2, ∴a3a5=4. 1 1 n-1 而 q∈(0,1), ∴a3>a5,∴a3=4,a5=1, ∴q= ,a1=16, ∴an=16×( ) 2 2 5-n =2 . 4 (2)∵bn=log2an=5-n,∴bn+1-bn=-1, b1=log2a1=log216=log22 =4, n(9-n) ∴{bn}是以 b1=4 为首项,-1 为公差的等差数列, ∴Sn= . 2

2

2

2

17、 (1)证明:? m ∥ n , ? a sin A ? b sin B, 由正弦定理,

?

?

a b ? b? ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径,∴ a ? b 2R 2R ? ?ABC 为等腰三角形 ? ? ? ? (2)解:? m ⊥ p , m ? p ? 0 ,即 a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0
得a?

? a ? b ? ab
由余弦定理可知, 4 ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab
2 2 2

即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0

? ab ? 4(舍去ab ? ?1) ∴ S ?

1 1 ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 2 2 3
∴Sn=2an-2
4

18、解: (1)∵an 是 Sn 与 2 的等差中项

∴a1=S1=2a1-2, 解得 a1=2

a1+a2=S2=2a2-2,解得 a2=4 (2)∵Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2,又 Sn—Sn-1=an, (n ? 2, n ? N *) an≠0, ∴ ∴an=2an-2an-1, ∵

an ? 2(n ? 2, n ? N *),即数列{an}是等比数列 a n?1

∵a1=2,∴an=2n

∵点 P(bn,bn+1)在直线 x-y+2=0 上,∴bn-bn+1+2=0, ∴bn+1-bn=2,即数列{bn}是等差数列,又 b1=1,∴bn=2n-1,

19、解:由题意知,每年的经费是以 12 为首项,4 为公差的等差数列,设纯利润与年数的
关系为 f(n) 则 f(n)=50n–[12n+

n(n ? 1) ×4]–72=–2n2+40n–72 2
∴–2n2+40n–72>0,解得 2<n<18

(1)获纯利润就是要求 f(n)>0

由 n∈N 知从第三年开始获利. (2)f(n)=–2(n–10)2+128 当 n=10 时,f(n)|max=128. 按此方案需 10 年时间,共获利 128+16=144(万美元).

x ? x 即 ax2 ? ?b ?1? x ? 0 有唯一解,? b ? 1 ax ? b 1 2 x 2x ? 1 ?a ? 又 f ( 2) ? , ? f ? x? ? ? 1 2a ? 1 2 x ?1 x ? 2 2 2 1 1 1 xn?1 (2) 由 xn ? f ? xn?1 ? ? 又 x1 ? f ?1? ? ? ? ? 1 3 xn xn ?1 2 xn?1 ? 1 2
20、解:(1) 由 f ? x ? ?

?

1 3 ? , x1 2

?1? 3 1 ? 数列 ? ? 是以首项为 ,公差为 的等差数列 2 2 ? xn ?
? 1 3 1 n?2 ? ? ? n ? 1? ? ? xn 2 2 2
? xn ? 2 n?2

(3) 由 y n ? x n ? x n ?1 ?

2 2 1 1 ? ? 4( ? ) n?2 n?3 n?2 n?3

? Sn ? y1 ? y2 ? y3 ? ... ? yn = x1 x2 ? x2 x3 ? ?? ? xn xn?1

?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 4 ? 1 ?1 ? 4 ?? ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ?? ?? ? 4 ? ? ?3 n?3? 3 ? n ? 2 n ? 3 ?? ?? 3 4 ? ? 4 5 ?
5

要使 S n ? 又 k∈N*

k 对任意 n∈N*恒成立, 10
∴k 的最小值为 14.

只需

4 k ? 3 10

即k ?

40 3

6


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