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北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编22:双曲线(教师版)


北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 22:双曲线
一、选择题

x2 y2 1 . (2013 届北京市延庆县一模数学理)已知双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 ,一个焦点与抛 a b 2 物线 y ? 16 x 的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为 ( )
A. y ? ?

3 x 2

B. y ? ?

3 x 2

C. y ? ?

3 x 3

D. y ? ? 3 x

【答案】D 2 . (北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) 已知双曲线的中心在原点,一个焦点为

F1 (? 5 ,0) ,点 P 在双曲线上,且线段 PF1 的中点坐标为 (0, 2) ,则此双曲线的方程是 (
A.



x ? y2 ? 1 4

2

B. x ?
2

y ?1 4

2

C.

x y ? ?1 2 3

2

2

D.

x y ? ?1 3 2

2

2

【答案】B

解:由双曲线的焦点可知 c ? 5 ,线段 PF1 的中点坐标为 (0, 2) ,所以设右焦点为 F2 ,则有 PF2 ? x , 且 PF2 ? 4 , 点 P 在 双 曲 线 右 支 上 。 所 以 PF1 ?
2 2 2

(2 5) 2 ? 4 2 ? 36 ? 6 , 所 以
2

y2 PF1 ? PF2 ? 6 ? 4 ? 2 ? 2a ,所以 a ? 1, b ? c ? a ? 4 ,所以双曲线的方程为 x ? ? 1 ,选 B. 4
3 . (2013 北京海淀二模数学理科试题及答案) 双曲线 C 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,且 F2 恰为抛物线 y 2 ? 4 x 的

焦点,设双曲线 C 与该抛物线的一个交点为 A ,若 ?AF1F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形,则双曲线 C 的 离心率为 ( ) A. 2
【答案】

B. 1 ? 2 B.

C. 1 ? 3

D. 2 ? 3

x2 y 2 2 4 . (2013 北京朝阳二模数学理科试题)若双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 y ? x ? 2 有 a b
公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是 A. [3, ??) B. (3, ??) C. (1,3] 【答案】A. ( D. (1,3) )

5 . (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 12 月综合练习(一)数学理试题) 已知 F1 、 F2 为双曲线

C:

x2 ( ) ? y 2 ? 1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠ F1 PF2 = 600 ,则 P 到 x 轴的距离为 4 5 15 2 15 15 A. B. C. D. 5 5 5 20 【 答 案 】 B 【 解 析 】 由 双 曲 线 的 方 程 可 知 a ? 2, b ? 1, c ? 5 , 在 ?F1 PF2 中 , 根 据 余 弦 定 理 可 得

(2c) 2 ? PF12 ? PF2 2 ? 2 PF1 ? PF2 cos 60?
2 2

,
2


2

4c 2 ? ( PF1 ? PF2 ) 2 ? PF1 ? PF2

,





4c ? 4a ? PF1 ? PF2 , 所 以 PF1 ? PF2 ? 4c ? 4a ? 20 ? 16=4 , 所 以 ?F1 PF2 的 面 积 为

1 1 3 1 PF1 ? PF2 sin 60? ? ? 4 ? ? 3 ,又 ?F1 PF2 的面积也等于 S ? ? 2ch ? 5h ? 3 ,所以高 2 2 2 2 3 15 15 h? ? ,即点 P 到 x 轴的距离为 ,选 B. 5 5 5 S?

x2 y 2 6 . (北京东城区普通校 2013 届高三 12 月联考理科数学)设 F1 、 F2 分别为双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0, b>0) 的 a b

左、 右焦点.若在双曲线右支上存在点 P ,满足 PF2 ? F1F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴 长,则该双曲线的渐近线方程为 A. 3x ? 4 y ? 0 B. 3x ? 5 y ? 0
2

( C. 5 x ? 4 y ? 0
2



D. 4 x ? 3 y ? 0

【答案】D【解析】依题意|PF2|=|F1F2|,可知三角形 PF2 F1 是一个等腰三角形,F2 在直线 PF1 的投影是其

中点,由勾股定理知可知 PF1 ? 2 4c ? 4a ? 4b ,根据双曲定义可知 4b﹣2c=2a,整理得 c=2b﹣a,代 入 c =a +b 整理得 3b ﹣4ab=0,求得 = ∴双曲线渐进线方程为 y ? ?
2 2 2 2

4 x ,即 4 x ? 3 y ? 0 .故选 3

D. ( )

7 . (2013 届北京大兴区一模理科)双曲线 x 2 - my 2 = 1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m 等于

A.

1 4

B.

1 2

C. 2

D. 4

【答案】D 8 . (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题) 已知抛物线 y ? 2 px 的焦点 F 与双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K ,点 A 在抛物线上且 | AK |? 2 | AF | , 7 9 则△ AFK 的面积为 ( )
A.4
【答案】D

B.8

C.16

D.32

解:双曲线的右焦点为 (4, 0) ,抛物线的焦点为 (

p p , 0) ,所以 ? 4 ,即 p ? 8 。所以抛物线方程为 2 2 y2 y 2 ? 16 x , 焦 点 F ( 4 , ,0 准 线 方 程 x ? ?4 , 即 K (? 4 , ,0 设 A( , y ) , ) ) 16

过 A 做 AM 垂直于准线于 M,由抛物线的定义可知 AM ? AF ,所 以 AK ?

2 AF ? 2 AM ,即 AM ? MK ,所以

y2 ? (? 4) ? y ,整理得 y 2 ? 16 y ? 64 ? 0,即 16
D.

( y ? 8)2 ? 0 ,所以 y ? 8 ,所以 S?AFK ?

1 1 KF y ? ? 8 ? 8 ? 32 ,选 2 2

9 . (北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) ,过 a 2 b2 其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M , N 两点, O 为坐标原点.若 OM ? ON ,则双曲线的离
心率为 A. ( B. )

?1 ? 3 2

1? 3 2

C.

?1 ? 5 2

D.

1? 5 2

【答案】D

【解析】由题意知三角形 OMN 为等腰直角三角形,所以 MF ? OF ? c ,所以点 M (c, c) ,代入双

c2 c2 c2 y 2 b2 b2 曲线方程 2 ? 2 ? 1 ,当 x ? c 时, 2 ? 2 ? 1 ,得 y ? ,所以由 y ? ? c ,的 b 2 ? ac ,即 a b a b a a
c 2 ? a 2 ? ac, c 2 ? ac ? a 2 ? 0 , 所 以 e2 ? e ? 1 ? 0 , 解 得 离 心 率 e ?

1? 5 2

, 选

D.
10. (2013 北京高考数学(理) 若双曲线 )

A.y=±2x

B.y= ? 2x

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为 a 2 b2 2 1 C. y ? ? x D. y ? ? x 2 2
3a ,所以我们有 b ? 2a ,渐近线方程为 y ? ?





【答案】B 于由离心率为 3 ,可知 c ? 二、填空题

b x ? ? 2x a

x2 y 2 ? 1(a ? 0) 的离心率为 2 ,则抛物线 11. (2013 北京丰台二模数学理科试题及答案) 若双曲线 C: 2 ? a 3 y 2 ? 8x 的焦点到 C 的渐近线距离是______.
【答案】

2;
)圆 ( x ? a) ? y ? 1 与双曲线 x ? y ? 1的渐
2 2 2 2

12. (北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题

近线相切,则 a 的值是 _______.

2 2 2 解:双曲线 x ? y ? 1的渐近线为 y ? ? x ,不妨取 y ? x ,若直线 y ? x 与圆相切,则有圆心 (a, 0) 到 a ? 1 ,即 a ? 2 ,所以 a ? ? 2 。 直线 x ? y ? 0 的距离 d ? 2 x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,并与其 13. (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )以双曲线 9 16
渐近线相切的圆的标准方程是
【答案】 ( x ? 5) ? y ? 16
2 2

【答案】 ?

_____.

解:双曲线的渐近线为 y ? ?

4 4 x ,不妨取 y ? x ,即 4 x ? 3 y ? 0 。双曲线的右焦点为 (5, 0) ,圆心 3 3
4?5 32 ? 42 ? 4 ,即圆的半径为 4,所以所求圆的标准方程为

到 直 线 4x ? 3 y ? 0 的 距 离 为 d ?

( x ? 5) 2 ? y 2 ? 16 。

14 . 北 京 市 东 城 区 普 通 校 2013 届 高 三 3 月 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 如 图 , (

y

F1 和 F2 分 别 是 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) a 2 b2
F1

A

的两个焦点, A 和 B 是以 O 为圆心,以 OF1 为半径的圆与 O 该双曲线左支的两个交点,且 △F2 AB 是等边三角形,则双 曲线的离心率为
【答案】 1 ?

F2

x

.

B

3
2

15. (2013 届北京市高考压轴卷理科数学)抛物线 y

? ?12 x 的准线与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的两渐近线围成的 9 3

三角形的面积为
【答案】 3

3
2

x2 y 2 3 3 ? ? 1 的两渐近线为 y ? x和y?? x, 9 3 3 3 令 x ? 3 ,分别解得 y1 ? 3, y2 ? ? 3 ,所以三角形的低为 3 ? (? 3) ? 2 3 ,高为 3,所以三角形的面 1 积为 ? 2 3 ? 3 ? 3 3 . 2 y2 2 16. (2013 北京昌平二模数学理科试题及答案)双曲线 x ? 2 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? 3 x ,则 b b ? _________. 【答案】 3 ; x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 的焦点相同,那 17. (2010 年高考(北京理) 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 2,焦点与椭圆 ) 25 9 a b
【解析】 抛物线 y ? ?12 x 的准线为 x ? 3 ,双曲线 么双曲线的焦点坐标为________;渐近线方程为__________?

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标是(±4,0),所以双曲线 2 ? 2 ? 1 25 9 a b 的焦点也是(±4,0),在双曲线中,c=4,又离心率为 2,所以 a=2,b=2 3 ,所以渐近线方程为 3 x±y=0.
【答案】( ?4 ,0) ,

3x ? y ? 0 ;解:椭圆

18. (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习(二)数学(理)试题 ) 若双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 y ? 3 x 无交点,则离心率 e 的取值范围是 a 2 b2
【答案】 (1, 2]

.

19. (北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )已知定点 A 的坐标为 (1, 4) ,点 F 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,点 P 是双曲线右支上的动点,则 PF ? PA 的最小值为 4 12
【答案】9



, 0 解: 由双曲线的方程可知 a ? 2 , 设右焦点为 F1 , F1 () 则 4

。PF ? PF1 ? 2a ? 4 , P ?F 即 F P

1

?4,

所以 PF ? PA ? PF1 ? PA ? 4 ? AF1 ? 4 ,当且仅当 A, P, F1

三点共线时取等号,此时

AF1 ? (4 ? 1) 2 ? 42 ? 25 ? 5 ,所以 PF ? PA ? AF1 ? 4 ? 9 ,即 PF ? PA 的最小值为 9.
20. (2013 北京顺义二模数学理科试题及答案)已知双曲线

x2 y2 2 6 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 的离心率为 ,顶 2 3 a b

点与椭圆

x2 y2 ? ?1 8 5

的焦点相同,那么该双曲线的焦点坐标为__________,渐近线方程为_______________.
【答案】

?? 2

2 ,0 , y ? ?

?

15 x 3

21. (北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )以 y ? ? x 为渐近线且经过点 (2, 0) 的双曲线方

程为______.

x2 y 2 【答案】 ? ?1 4 4

解:因为双曲线经过点 (2, 0) ,所以双曲线的焦点在 x 轴,且 a ? 2 ,又双曲线的渐近线为 y ? ? x ,所 以双曲线为等轴双曲线,即 b ? a ? 2 ,所以双曲线的方程为
三、解答题 22. (2009 高考(北京理))已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1。 4 4

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? 2 3 a b

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 是圆 O : x ? y ? 2 上动点 P( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0) 处的切线, l 与双曲线 C 交
2 2

于不同的两点 A, B ,证明 ?AOB 的大小为定值. 【答案】 【解法 1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.

? a2 3 ? ? ? 3 ,解得 a ? 1, c ? 3 , (Ⅰ)由题意,得 ? c c ? ? 3 ?a ?
∴ b ? c ? a ? 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x ?
2 2 2
2
2 2 (Ⅱ)点 P ? x0 , y0 ?? x0 y0 ? 0 ? 在圆 x ? y ? 2 上,

y2 ? 1. 2

圆在点 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为 y ? y0 ? ? 化简得 x0 x ? y0 y ? 2 .

x0 ? x ? x0 ? , y0

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 由? 及 x0 ? y0 ? 2 得 2 ?x x ? y y ? 2 0 ? 0

? 3x

2 0

2 ? 4 ? x 2 ? 4 x0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0 ,

∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且 0 ? x0 ? 2 ,
2
2 ∴ 3 x0 ? 4 ? 0 ,且 ? ? 16 x0 ? 4 3 x0 ? 4 8 ? 2 x0 ? 0 ,
2 2 2

?

??

?

设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,

4 x0 8 ? 2 x2 , x1 x2 ? 2 0 , 2 3x0 ? 4 3x0 ? 4 ??? ??? ? ? OA ? OB ∵ cos ?AOB ? ??? ??? ,且 ? ? OA ? OB
则 x1 ? x2 ?

??? ??? ? ? 1 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 2 ? 2 ? x0 x1 ?? 2 ? x0 x2 ? , y0 1 2 ? 4 ? 2 x0 ? x1 ? x2 ? ? x0 x1 x2 ? ? x1 x2 ? 2 ? 2 ? x0 ?
2 2 2 2 x0 ? 8 ? 2 x0 ? ? 8 ? 2 x0 8 x0 1 ? ?4 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 2 3x0 ? 4 2 ? x0 ? 3x0 ? 4 3x0 ? 4 ? ? ? 2 2 8 ? 2x 8 ? 2x ?? 2 0 ? 2 0 ? 0 . 3x0 ? 4 3 x0 ? 4
?

∴ ?AOB 的大小为 90 .. 【解法 2】(Ⅰ)同解法 1.

2 2 (Ⅱ)点 P ? x0 , y0 ?? x0 y0 ? 0 ? 在圆 x ? y ? 2 上,

圆在点 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为 y ? y0 ? ?

x0 ? x ? x0 ? , y0

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 化简得 x0 x ? y0 y ? 2 .由 ? 及 x0 ? y0 ? 2 得 2 ?x x ? y y ? 2 0 ? 0

? 3x ? 3x

2 0

2 ? 4 ? x 2 ? 4 x0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0

① ②
2 0

2 0

2 ? 4 ? y 2 ? 8 y0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0

∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且 0 ? x ? 2 , ∴ 3 x0 ? 4 ? 0 ,设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,
2

2 2 8 ? 2 x0 2 x0 ? 8 , y1 y2 ? 2 则 x1 x2 ? 2 , 3 x0 ? 4 3 x0 ? 4 ??? ??? ? ? ? ∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,∴ ?AOB 的大小为 90 .

∵ x0 ? y0 ? 2 且 x0 y0 ? 0 ,∴ 0 ? x0 ? 2, 0 ? y0 ? 2 ,从而当 3 x0 ? 4 ? 0 时,方程①和方程②的判别式
2 2
2 2 2

均大于零).


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