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河北省衡水中学2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题


衡水中学 2013 届高三第二次模拟考试 数学(理)试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 共 120 分钟
一、 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的

序号填涂在答题卡上) 1.设 A ? ? x | A. a ?

? ?

1 ? ? x ? 5, x

? Z ? , B ? ?x | x ? a? ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是( 2 ?



1 2

B.

a?

1 2

C. a ? 1

D. a ? 1

2. 某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名。现用分层抽样的方法在 这 70 名学生中抽取一个样本, 已知在高一年级的学生中抽取了 6 名, 则在高二年级的学生中应抽 取的人数为( A.6 ) B.8 C.10 D.12 ) D.243 )

3.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 3,a2 ? a3 ? 6 ,则 a7 ? ( A.64 B.81 C.128

4.已知向量 a , b 满足 a ? b ? a ? b ? 1 ,则向量 a , b 夹角的余弦值为(

A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

5.已知已知点(2,3)在双曲线 C: 则它的离心率为( ) A.2 6.若(x+ B.

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上,C 的焦距为 4, a2 b 2

3

C. 2 2

D. 2 3 )

1 n ) 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为( x
B.20 C.30 D.120

A.10

2 7. 设集合 A ? {0,1,2,3} ,如果方程 x ? mx ? n ? 0 ( m, n ? A )至少有一个根 x0 ? A ,就称该

方程为合格方程,则 合格方程的个数为(



A.6

B.8

C. 9

D.10

8.如图,ABCD 是边长为 l 的正方形,O 为 AD 的中点,抛物线的顶点为 O 且通过点 C,则阴影部分 的面积为( A. ) B.

1 4

1 2

C.

1 3

D.

3 4

9.设? ? 0 ,函数 y ? sin??x ?

? ?

??

4? 个单位 ? ? 2 的图像向右平移 3? 3
) C.

后与原图像重合,则 ? 的最小值是( A

2 . 3

B.

4 3

3 2

D.3

10.点 P 到点 A? 么 a 的值是( A.

1 ?1 ? ,0 ? , B?a,2? 及到直线 x ? ? 的距离都相等,如果这样的点恰好只有一个,那 2 ?2 ?
) B.

1 2

3 2

C.

1 3 或 2 2

D. ?

1 1 或 2 2

11. 从点 P 出发的三条射线 PA, PB, PC 两两成 60? 角,且分别与球 O 相切于 A, B, C 三点,若球的 体积为 A. 2

4? ,则 OP 两点之间的距离为( 3
B. 3

) C.1.5 D. 2

12.已知以 T ? 4 为周期的函数 f ( x) ? ? 有 5 个实数解,则 m 的取值范围为( A. ?

?m 1 ? x 2 , x ? (?1,1] ? ,其中 m ? 0 。若方程 3 f ( x) ? x 恰 ? 1 ? x ? 2 , x ? (1,3] ?
) C. ( , )

? 15 ? ? ? 3 ,3 ? ? ?

B. (

15 , 7) 3

4 8 3 3

D. 2, 7

?

?

第Ⅱ卷 非选择题
13.已知 cos 2? ?

(共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)

3 4 4 ,则 sin ? ? cos ? = 5

? y?x ? 14. 在约束条件 ? x ? y ? 2 下,过点 ?1,1? 的线性目标函数 z 取得最大值 10,则线性目标函数 ? y ? ?1 ?

z ? ___

(写出一个适合题意的目标函数即可) ;

15. 四棱锥 P ? ABCD 的三视图如右图所示,四棱锥

P ? ABCD 的五个顶点都在一个球面上, E 、 F 分别是
棱 AB 、 CD 的中点,直线 EF 被球面所截得的线段长 为 2 2 ,则该球表面积为 .

16. 已知等差数列 {an } 的首项 a1 及公差 d 都是整数,前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 1, a 4 ? 3, S 3 ? 9 , 设 bn ? 2n an , 则b1 ? b2 ? ? ? bn 的结果为 三.解答题(共 6 个小题,共 70 分) 17.(本题满分 10 分)对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生作 为样本,得到这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分 布直方图如下: (Ⅰ)求出表中 M , p 及图中 a 的值; (Ⅱ) 若该校高三学生有 240 人, 试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间 [10,15) 内的人 数; (Ⅲ)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至多一人参加社 区服务次数在区间 [25,30) 内的概率. 。

18、 (本题满分 12 分) 已知 ? 为锐角, tan? ? 且 数列{ a n }的首项 a1 ? 1 , a n ?1 ? f (a n ) . (Ⅰ)求函数 f (x) 的表达式;

? 2 ?1, 函数 f ( x) ? 2 x tan 2? ? sin(2? ? ) , 4

(Ⅱ)求数列 {a n } 的前 n 项和 S n

? BD D , 0 ∥B ° C C, ? ? 19.(本题满分 12 分)如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P AC 中 AB A 9

B D C? B? 3, B 4. D?1, A PD?平面 A C , A
(Ⅰ)求证: B D? P C ; (Ⅱ)求直线 AB 与平面 PDC 所成的角;

?? ? ? ?? ?? (Ⅲ)设点 E 在棱 P C 上, P ? P ,若 DE ∥平面 PAB ,求 ? 的值. E ?C

20.(本题满分 12 分)已知椭圆 C1 : 物线 C 2 : y 2 ? 4 x 的焦点 F 重合. (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程;

? 3? x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M ?1, ? ,且其右焦点与抛 2 ? 2? a b

(II)直线 l 经过点 F 与椭圆 C1 相交于 A、B 两点,与抛物线 C2 相交于 C、D 两点.求 最大值.

AB CD



21. (本题满分 12 分) 给定椭圆 C :

x2 y2 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 称圆心在原点 O , 半径为 a ? b 2 a b

的圆是椭圆 C 的“准圆” 。若椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2 ,0) ,其短轴上的一个端点到 F 的距离为

3.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程. (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的一个动点,过动点 P 作直线 l1 , l 2 使得 l1 , l 2 与椭圆 C 都 只有一个交点,且 l1 , l 2 分别交其“准圆”于点 M , N ,求证: MN 为定值.

22. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ)当 a ? b ?

1 2 ax ? bx. 2

1 时,求函数 f (x) 的最大值; 2 1 2 a (Ⅱ)令 F ( x) ? f ( x) ? ax ? bx ? , 0 ? x ? 3 )其图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 处切线的 ( 2 x 1 斜率 k ≤ 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2
(Ⅲ)当 a ? 0 , b ? ?1 ,方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,求正数 m 的值.
2

2012~2013 学年度高三年级二模考试 数学试卷(理科)

4.【考察目标】考察向量的概念、向量的几何意义,以及平面向量的线性运算和向量的数量积的 运算及其几何意义,考察学生运用平面向量处理有关长度、角度问题的能力,考察数形结合的数 学思想。 【解题思路】 解法 1: a ? b ?

a 2 ? 2ab ? b 2 ? 1 ? 2ab cos? ? 1 ? 1 ,

cos? ? ?

1 2

解法 2:数形结合方法 【答案】B 5.【考察目标】本题考查双曲线的概念,标准方程和几何性质,综合考察运算求解能力。 【解题思路】 解法 1:设

4 9 c ? 2 ? 1, a 2 ? b 2 ? 4 ,则 a 2 ? 1或a 2 ? 16(舍) ? ? 2 e 2 a a b 2c 解法 2: F1 (?2,0), F2 ?2,0? ,根据双曲线的定义知 2a ? 2 , e ? ?2 2a

【答案】A 6. 【考察目标】考察学生运用二项式定理解决与二项展开式系数有关问题的能力 【解题思路】解:因为(x+

1 n n ) 展开式的二项式系数之和为 64,即为 2 =64,n=6,那么展开式中常 x

数项就是 x 的幂指数为 0 的项,即为 20. 【答案】B 7.【考察目标】考察分类计数原理和分步计数原理,以及运用其解决简单的实际问题的能力,设

置 A 为四元素集,减少分类的类型,把两个原理的考察放在了中心位置。 【解题思路】 解法 1:当 x0 ? 0 时,则 n ? 0, m ? 0,1,2,3 都可以,共 4 种; 当 x0 ? 1 时,则 1 ? m ? n ? 0, 即 m ? n ? 1 ,则 m ? 0, n ? 1 , m ? 1, n ? 0 ,共 2 种; 当 x0 ? 2 时,则 4 ? 2m ? n ? 0, 即 2m ? n ? 4 ,则 m ? 1, n ? 2, m ? 2, n ? 0 ,共 2 种 当 x0 ? 3 时,则 9 ? 3m ? n ? 0 即 3m ? n ? 9 ,则 m ? 2, n ? 3 ,共 1 种; 【答案】C 8.【考察目标】考查定积分的基本思想和微积分的基本定理的含义,考察考生运用数学知识解决 实际问题的能力。 【解题思路】.以 O 为圆心,以 OD 为 y 轴建立直角坐标系,抛物线的方程为 x ? 2 y ,
2

1 1 1 1 S ? ? ( ? x)dx ? . 0 2 2 3

【答案】C 9.【考察目标】考察三角函数的图像和性质,了解三角函数的周期性。 【 解 题 思 路 】 将 y=sin(

? x+

? 4? )+2 的 图 像 向 右 平 移 个 单 位 后 为 3 3

y ? sin[? ( x ?

4? ? ? 4?? 4?? 3k =2k ? ,即 ? ? ,又因为 ) ? ] ? 2 ? sin(? x ? ? ) ? 2 ,所以有 2 3 3 3 3 3
3k 3 ≥ , 2 2

? ? 0 ,所以 k≥1,故 ? ?

【答案】C 10.【考察目标】考察抛物线的概念,标准方程和几何性质,考察数形结合思想,考察圆锥曲线的 简单运用。
2 【 解 题 思 路 】 解 法 一 : 点 P 在 抛 物 线 y ? 2 x 上 , 设 P? ? 2 , y? , 则 有 ? ? ?

? y2

?

? y2 1 ? ? y2 ? 15 1 ?1 ? 2 2 2 ? ? 2 ? 2 ? = ? 2 ? a ? ? ? y ? 2 ? ,化简得 ? 2 ? a ? y ? 4 y ? a ? 4 ? 0 , 当 a ? 2 时, 符合 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
题意;当 a ?

2

2

a 2 15 17 1 ?? 17 ? 1 1 ? 3 ? a? ? 0 , ? a ? ?? a 2 ? a ? ? ? 0 ,则 a ? ? 。 时,?=0,有 a ? 2 ?? 4? 2 4 8 2 2 ?
2

解法二:由题意有点 P 在抛物线 y ? 2 x 上,B 在直线 y=2 上,当 a ? ? 的交点,符合题意;当 a ?

1 时,B 为直线 y=2 与准线 2

1 时,B 为直线 y=2 与抛物线通径的交点,也符合题意, 2

【答案】D 11.【考察目标】考察学生对空间结合体的结构特征,考察考生空间想象能力。

【解题思路】 过圆心做一个平面和三条线相交于三点 M,N,K,则 P-MNK 构成了一个正四面 体。设 PM=a,则 OM ?

3 6 a , OP ? a ,在 RT?POM 中,运用面积法,可得 3 3

3 6 3 2 1 1 a a ? a ,故 a ? ,故 OP ? 3 PM ? r ? OP ? OM ,故 3 3 2 2 2
【答案】B 12. 【考察目标】考察学生运用函数的图像分析函数图像和性质的能力,考察数形结合的能力。
2 【解题思路】解: y ? m 1 ? x , x ? ? ?1,1? 的图象为椭圆上半部分, y ? 1 ? x ? 2 , x ? ?1,3? 的图

象为两条线段根据 f ( x) 的周期 T=4 可知其图象,由方程 3 f ( x) ? x 恰有 5 个实数解,则
2 3m 1? (x ? 4) ? x 有 两 解



(9m2 ? 1) x 2 ? 72m2 x ? 135m2 ? 0 有 两 解 , 所 以

? ? (?72m2 )2 ? 4 ? (9m2 ? 1) ?135m2 ? 0 解 得 m ? (9m2 ? 1) x 2 ? 144m2 x ? 63 ? 9m2 ? 0 无解,所以

15 ; 3

3m 1 ? ( x ? 8) 2 ? x 无 解 即

? ? (?144m2 )2 ? 4 ? (9m2 ? 1) ? 63 ? 9m2 ? 0 解得 m ? 7 。故

15 ?m? 7 3

【答案】B 13.【考察目标】考察二倍角公式,同角基本关系式,考查恒等变形的能力 【解答过程】 sin ? ? cos ? = 1 ? 2 sin ? cos ? ? 1 ?
4 4

2

2

1 2 17 sin 2? ? 2 25

【答案】

17 25

14.【考察目标】本试题主要考查了线性规划的最优解问题的运用。 【解题思路】根据已知线性约束条件可知,不等式组表示的平面区域为下图所示, 线性目标函数 z ? ax ? by ,那么过点(1,1)取得最大值为 10,因此只要满足 a ? b ? 10 且 b ? 0, ?1 ? ?

a ? 1 ;因此可以为 z ? x ? 9 y 。 b

【答案】 z ? x ? 9 y (若为线性目标函数 z ? ax ? by ,只要满足 a ? b ? 10 且

b ? 0, ?1 ? ?

a ?1 b

15.【考察目标】考察考察简单组合体的结构特征,考察三视图的概念和识别三视图所表示的结合 体的方法,考察学生空间想象能力。 【解答过程】由三视图可知原图是一个四棱锥。 【答案】 12?

16.【考察目标】考察等差数列概念,通项公式,前 n 项和公式,考察错位想减求和。 【解题思路】 解法 1:运用线性规划的知识可得整数点, 解法 2:运用不等式的知识可得, 解法 3:猜测也可以 【答案】 n ? 2n ?1 17.解(Ⅰ)由分组 [10,15) 内的频数是 10 ,频率是 0.25 知, 所以 M ? 40 . 因为频数之和为 40 ,所以 10 ? 24 ? m ? 2 ? 40 , m ? 4 .

10 ? 0.25 , M
??????1 分 ??????2 分 ??????3 分

p?

m 4 ? ? 0.10 . M 40

因为 a 是对应分组 [15, 20) 的频率与组距的商,所以 a ?

24 ? 0.12 .?????4 分 40 ? 5

(Ⅱ)因为该校高三学生有 240 人,分组 [10,15) 内的频率是 0.25 , 所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 60 人. (Ⅲ)这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 m ? 2 ? 6 人, 设在区间 [20, 25) 内的人为 ?a1 , a2 , a3 , a4 ? ,在区间 [25,30) 内的人为 ?b1 , b2 ? . 则任选 2 人共有 (a1 , a2 ), (a1 , a3 ), (a1 , a4 ), (a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a2 , a3 ), (a2 , a4 ), (a2 , b1 ), ???6 分

(a2 , b2 ), (a3 , a4 ) , (a3 , b1 ),(a3 , b2 ),(a4 , b1 ),(a4 , b2 ),(b1, b2 ) 15 种情况,
而两人都在 [25,30) 内只能是 ? b1 , b2 ? 一种, 所以所求概率为 P ? 1 ? 18. 解:⑴ tan 2? ? ??????8 分 ??????10 分 又∵ ? 为锐角

1 14 ? .(约为 0.93 ) 15 15

2 tan ? 2( 2 ? 1) ? ?1 2 1 ? tan ? 1 ? ( 2 ? 1) 2
∴ sin(2? ?

∴ 2? ?

?
4

?
4

) ?1

f ( x) ? 2 x ? 1

????5 分

(2) ∵ a n ?1 ? 2a n ? 1, ∵ a1 ? 1
n

∴数列 ?a n ? 1?是以 2 为首项,2 为公比的等比数列。
n

∴ a n ?1 ? 1 ? 2(a n ? 1)

可得 a n ? 1 ? 2 ,∴ a n ? 2 ? 1 ,

????9 分

∴ Sn ?

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 ? n ? 2 1? 2

????12 分

P E A D F G

2 2 19.【方法一】 (1)证明:由题意知 D C?2 3 则 BB 2 B C , C ?? = DD D ,, C ? D

??D PD 而 D B P, ? D? 面D ? A? C B P D C , , D
? .P C ? B C面 P D ? 内(4 分) ? 面 P B PC , D 在D D ? C .
(2)∵ DE ∥ AB ,又 PD?平面 A C . B D

B

F 9? C 则∠ FDG 为直线 AB 与平面 PDC 所成的角. 在 Rt△ DFC 中,∠ D ? 0,
(8 分) (3)连结 EF ,∵ DF ∥ AB ,∴ DF ∥平面 PAB . 又∵ DE ∥平面 PAB , ∴平面 DEF ∥平面 PAB ,∴ EF ∥ AB .

B D ∴平面 PDC ? 平面 A C .过 D 作 DF // AB 交 B C 于 F 过点 F 作 FG ? C D 交 C D 于 G ,

D D ?0.即直线 AB 与平面 PDC 所成角为 6 0 ? D? 3 F 3 t n FG 3∴∠ FG 6? F , ? ∴ a? ? , C

D CB1 ? , B4 ? , , 又∵ A1 ? F

? ? P E B F 1 ??? 1 ??? 1 ? ? , PE ? PC ? ? . C B C 4∴ 4 4 (12 分) ∴P ,即
【方法二】如图,在平面 ABCD 内过 D 作直线 DF//AB,交 BC 于 F,分别 以 DA、DF、DP 所在的直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系.

D (1)设 P ?a,则 B 1,, ? 3, D 3C ,) ? (?) ( ? 0 ?? , P3 a ,
? ? ? ? ? ? ? ? D ? 30 B ? C ? C ? ,∴ D P ∵ BP 3 ?
(2)由(1)知 (4 分) .
A

? ? ? ?

? ? ? ?

z P E

x

? ? ? ? BPB 面 量 DC 是 法 y F ?, P 向 面就 的 D D 平 D C B

D

G C

? ? ? ? ? ? ? ? 与 角 面 C 小 所为 A0, , B , .设 AP成 B ? 0 ? 0 BD 大 ( ,3 D,3 ) ( 1 ) ?? ? ???? ? ? |D A| BB ? 3 3 ? ?? ? s ? ?? ? ?? i ?? n ? . 0 9 ?? ? ? 0 ? , ?? ? 6 |D ? A| 23 2 ? ?, 0 B| B | 则
即直线 A 面 成 ? . 为 B P 与 C角 平所 60 D (8 分)

由条件知 A(1,0,0) B(1, 3 ,0) , ,

?

(3)由(2)知 C(-3, 3 ,0) ,记 P(0,0,a) ,则

? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?,a ) ?3 , , ) ?, A?0 30, D ?0 ,a, P( , P( 3 a B , ) P ( ,0 ) A 1 0 - , C ? ( ,

?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? E ?C E 3 3 a, ? ( , 而 P ? P ,所以 P ? , )

? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? (,aa. DP D C 0? , ) ? 3, ? ) E P P ? ,)( ???? ( a? 3 a 3 ? ? D E P0 , 3 , ? ?= ???? ? ? ? AB n ? n? x y z 为平面 PAB 的法向量,则 ? ???? ? ? ? 0 ,即 ? 3 y ? 0 ,即 ? y ? 0 . , ) 设 ( , ? ? ? ? x ? az ? 0 ? x ? az ?PA ?n ? 0 ? ?
取 得, z 1 x a 进而得 n(,0 1 , ? , ? ?a , )

?
?

???

E平 B E / P A ,3 a ? 由 D/ 面 ,得 D ?n?0∴ - ?a 0 a - ,
1 而 ?0 ? ? . a ,? 4 (12 分)
20. 解: (Ⅰ)解法 1:由抛物线方程,得焦点 F (1,0) ,? c ? 1. ………1 分 故a ?b ? c ?1
2 2 2

?? ? ??

? ?



又椭圆 C1 经过点 M (1, ) ,∴
2

3 2

1 9 ? 2 ?1 2 a 4b
4 2


2

由①②消去 a 并整理,得, 4b ? 9b ? 9 ? 0 ,解得 b ? 3 ,或 b ? ?
2

3 (舍去) , 4

从而 a ? 4 . 故椭圆的方程为
2

x2 y 2 ? ?1 . 4 3
物 线 方 程

……………4 分 , 得 焦 点





2







F(

1

,, 0

)

3 3 ? c ? 1. ? 2a ? (1 ? 1) 2 ? ( ) 2 ? (1 ? 1) 2 ? ( ) 2 ? 4, ? a 2 ? 4, b2 ? 3. 2 2

x2 y 2 ? ?1 . 故椭圆的方程为 4 3

……………4 分

x1 ? x2 ?

8k 2 , 3 ? 4k 2

x1 ? x2 ?

4(k 2 ? 3) 3 ? 4k 2

所以, | AB |?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
8k 2 2 16(k 2 ? 3) 12(1 ? k 2 ) ) ? ? . ……………8 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? 1? k 2 ? ( ? y ? k ( x ? 1), 2 ? y ? 4x

由?



k 2 x 2 ? ( 2 k 2 ? 4 ) x? k2 ? 0

显然 ? 2 ? 0 ,?该方程有两个不等的实数根.设 C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) .

? k ? 0, ? x3 ? x4 ? 2 ?

4 , k2

由抛物线的定义,得 | CD |? x3 ? x4 ? 2 ? 4 ?

4 4(1 ? k 2 ) ? . ……………10 分 k2 k2

12(1 ? k 2 ) k2 3k 2 3 3 ? ? ? ? ? ? . 2 2 2 3 4 CD 3 ? 4k 4(1 ? k ) 3 ? 4k 4? 2 k AB
综上,当直线 l 垂直于 x 轴时,

AB CD

取得最大值

3 . ……………………………12 分 4

21. 解: (Ⅰ)? c ?
2 2

2 , a ? 3,? b ? 1 ,?椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ……2 分 3
…………3 分

准圆方程为 x ? y ? 4 。

(Ⅱ)①当 l1 , l 2 中有一条无斜率时,不妨设 l1 无斜率,因为 l1 与椭圆只有一个公共点,则其方程

为 x ? ? 3 ,当 l1 方程为 x ? 此时经过点

3 时,此时 l1 与准圆交于点

? 3,1?, ?

3 ,?1 ,

?

? 3,1?(或 ?

3 ,?1 )且与椭圆只有一个公共点的直线是 y ? 1 (或 y ? ?1 ) ,

?

即 l 2 为 y ? 1 (或 y ? ?1 ) ,显然直线 l1 , l 2 垂直; 同理可证 l1 方程为 x ? ? 3 时,直线 l1 , l 2 垂直.
2 2

…………………………6 分

②当 l1 , l 2 都有斜率时,设点 P( x0 , y 0 ) ,其中 x0 ? y 0 ? 4 . 设经过点 P( x0 , y 0 ) 与椭圆只有一个公共点的直线为 y ? t ( x ? x0 ) ? y 0 ,

? y ? tx ? ( y 0 ? tx0 ) ? 2 2 2 ( 则 ? x2 消去 y ,得 1 ? 3t ) x ? 6t ( y 0 ? tx0 ) x ? 3( y 0 ? tx0 ) ? 3 ? 0 . ? y2 ? 1 ? ?3

( 由 ? ? 0 化简整理得: 3 ? x0 )t ? 2 x0 y 0 t ? 1 ? y 0 ? 0 .…………………………8 分
2 2 2

( 因为 x0 ? y 0 ? 4 ,所以有 3 ? x0 )t ? 2 x0 y 0 t ? ( x0 ? 3) ? 0 .
2 2 2 2 2

设 l1 , l 2 的斜率分别为 t1 , t 2 ,因为 l1 , l 2 与椭圆只有一个公共点,

( 所以 t1 , t 2 满足上述方程 3 ? x0 )t ? 2 x0 y 0 t ? ( x0 ? 3) ? 0 ,
2 2 2

所以 t1 ? t 2 ? ?1,即 l1 , l 2 垂直.

…………………………10 分

综合①②知:因为 l1 , l 2 经过点 P( x0 , y 0 ) ,又分别交其准圆于点 M , N ,且 l1 , l 2 垂直,所以线段

MN 为准圆 x 2 ? y 2 ? 4 的直径,所以 MN =4.
22.

………………………12 分

所以 a ≥ (?

1 2 x0 ? x0 ) max , x0 ? (0,3] 2

1 2 1 1 x0 ? x0 取得最大值 ,所以 a ≥ ???8 分 2 2 2 2 (3)因为方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,
当 x0 ? 1 时, ?

因为 h(1) ? 0 , 所以方程 (*) 的解为 x2 ? 1 , 即 分

m ? m 2 ?m 4 2

?1, 解得 m ?

1 ?????12 2

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