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2012届高三第一轮复习数学课件(新人教B版):第2编 9函数的图像


学案9 函数的图象

考纲解读 考向预测 填填知学情 课内考点突破 规律探究

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考点1 考点2 考点3

考纲解读
会运用基本初等函数的图象分析 函数的性质.

函数的图象

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考向预测
借助图象研究函数的性质是一种常用的方法,高考对
图象的考查,既有容易的选择题,又有综合程度较高的解 答题.总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查.主要形 式可能有:①函数图象;②函数图象变换的知识(包括函 数图象对称性的证明);③数形结合思想,利用图象解决某

些问题;④识图、读图能力.

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1、作图
(1)利用描点法作图: ①确定函数的定义域; ②化简函数的解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性); ④画出函数的图象. 返回目录

(2)利用基本函数的图象变换作图,常见的图象变换有

以下三种:
平移变换 :① y=f(x-a)的图象可由y=f(x)的图象沿x轴 向右(a>0)或向左(a<0)平移 |a| 个单位得到. ②y=f(x)+h的图象可由y=f(x)的图象向上(h>0)或向下 (h<0)平移 |h| 个单位得到.
a

③y=f(ωx-a)的图象可由y=f(ωx)的图象沿x轴向右
(ωa>0)或向左(ωa<0)平移
?

个单位得到.

伸缩变换:① y=kf(x)(k>0)的图象可由y=f(x)的图象

的横坐标不变,纵坐标变为原来的k倍(k>1时伸长,0<
k<1时缩短)而得到. 返回目录

② y=f(kx)(k>0)的图象可由y=f(x)的图象纵坐标不变, 横坐标变为原来的 倍(k>1时缩短,0<k<1时伸长)而得 到. 对称变换: ①y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 y轴 对称.
1 k

②y=f(x)与y=-f(x)的图象关于
③y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于

x轴
原点

对称.
对称.

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④y=|f(x)|的图象是保留 y=f(x) 的图象中位于上半

平面内的部分及与x轴的交点,将y=f(x)的图象中位于下
半平面内的部分以 x 轴 为对称轴翻折到上半平面中去而 得到. ⑤y=f(|x|)的图象是保留y=f(x)的图象中位于右半平 面内的部分及与y轴的交点 ,去掉左半平面内的部分而

利用偶函数的性质 ,将右半平面内的部分以 y轴为对称
轴翻转到左半平面中去而得到. ⑥奇函数的图象关于 原点 成中心对称图形, 偶函数的图象关于 y轴 成轴对称图形. 返回目录

2、识图 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分 布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、

值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析
式中参数的关系. 3、用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关 系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径、获

得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.

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4、有关结论
a?b x= 成轴对称图形. 2 1 (b-a)对称. 2

(1)若f(a+x)=f(b-x),x∈R恒成立,则y=f(x)的图象关于 (2)函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=

(3)若定义在R上的函数f(x)关于直线x=a与x=b(b>a)
(4)若定义在R上的函数关于点(a,c)和(b,c)(b>a)成中

都对称,则f(x)为周期函数,2b-2a是它的一个周期.

心对称,则f(x)为周期函数,2b-2a是它的一个周期.
(5)若定义在R上的函数f(x)的图象关于点(a,c)成中心 对称,关于直线x=b(b>a)成轴对称,则f(x)是周期函数,4b-

4a是它的一个周期.
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考点1

作出函数图象

作出下列函数的图象: (1)y=|x-2|(x+1); (2) y=10|lgx| .

【分析】显然直接用已知函数的解析式列表描点
有些困难,除去对其函数性质分析外,我们还应想到 对已知解析式进行等价变形. 返回目录

【解析】(1)当x≥2,即x-2≥0时,y=(x-2)(x+1)=x2
1 2 9 -x-2=(x- ) - ; 4 2

当x<2,即x-2<0时,y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-(x1 2 9 )+ . 2 4

∴y=

?

1 9 2x-( ) ,x≥2, 2 4 -x-( 1 )2+ 9 ,x<2. 2 4

这是分段函数,每段函数 图象可根据二次函数图象作出 (如图2-9-3). 返回目录

(2)当x≥1时,lgx≥0,y=10|lgx| =10lgx=x; 当0<x<1时,lgx<0,y=10|lgx| x,x≥1, ∴y= 1 ,0<x<1. x 这是分段函数, =10-lgx=

?

10

lg

1 x

1 . ? x

每段函数可根据正
比例函数或反比例 函数作出(如图2-9-4).

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作不熟悉的函数图象,可以变形成基本函数再作图,
但要注意变形过程是否等价,要特别注意 x, y的变化范围.

因此必须熟记基本函数的图象.例如 : 一次函数、反比例
函数、二次函数、指数函数、对数函数及三角函数的图

象 . 在变换函数解析式中要运用转化变换和分类讨论的思
想.作分段函数的图象时要注意各段间的“触点”.

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已知函数f(x)=|x-8|-|x-4|. (1)在图中作出 函数y=f(x)的 图象; (2)解不等式 |x-8|-|x-4|>2.

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(1)f(x)=

?

4, -2x+12,

x≤4 4<x≤8

-4,

x>8,

图象如下:

(2)不等式|x-8|-|x-4|>2,
即f(x)>2,由-2x+12=2 得x=5.由函数f(x)的图 象可知,原不等式的解 集为(-∞,5). 返回目录

考点2

识图、辨图

已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示,那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是 ( )

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【分析】利用导数的几何意义求. 【解析】由已知图象知函数g′(x)为增函数,f′(x)为减函

数且都在x轴上方,∴g(x)的图象上任一点的切线的斜率
在增大,而f(x)的图象上任一点的切线的斜率在减小,又由 f′(x0)=g′(x0). 故应选D.

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灵活运用导函数的几何意义及某点处导数相等选择正
确图象.

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函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)· g(x)的图 象可能是 ( )

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【解析】∵函数y=f(x)· g(x)的定义域是函数y=f(x)与 y=g(x)的定义域的交集(-∞,0)∪(0,+∞),图象不经过坐标

原点,故可以排除C,D.由于当x为很小的正数时f(x)>0且
g(x)<0,故f(x)· g(x)<0. 故应选A.

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考点3

函数图象的应用

已知函数f(x)=|x2-4x+3|.
(1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合M={m|使方程f(x)=mx有四个不相等的实根}.

【分析】(1)求函数f(x)的单调区间,可先画出函数f(x)
的图象,通过观察函数的图象得出结论. (2)方程f(x)=mx有四个不相等的实根可转化为直线 y=mx与函数f(x)的图象有四个不同的交点来解决.

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【解析】f(x)= (x-2)2-1,x∈(-∞,1]∪[3,+∞) -(x-2)2+1,x∈(1,3), 作出图象如图所示. (1)递增区间为[1,2]和[3,+∞),递减区间为(-∞,1] 和[2,3]. (2)由图象可知,y=f(x)与y=mx图象有四个不同的交点, 直线y=mx应介于x轴与切线l1之间. y=mx ? y=-(x-2)2+1? x2+(m-4)x+3=0. 由Δ=0得m=4〒2 3 . m=4+2 3 时,x=- ? (1,3)舍去, 3 ∴m=4-2 3 . ∴m∈(0,4-2 3 ). ∴集合M={m|0<m<4-2 3 }.

?

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函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系
问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得 问题结果的重要工具,要重视数形结合解题的思想方法, 常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况.

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若关于x的方程 2x ? 1 =x+m有两个不同的实数根, 求实数m的取值范围.

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【解析】 画出y= 2x ? 1 和y=x+m的图象. 1 1 当直线y=x+m过点(- ,0),即m=- 时,两图象有两 2 2 个交点.如图所示. 由

?

y= 2x ? 1 y=x+m

得x2+(2m-2)x+m2-1=0.
令Δ=0得m=1. 1 ∴当- ≤m<1时,两图象有两个交点,即方程 2 2x ? 1 =x+m有两个不同的实数根.

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1. 要熟悉一些常见的函数图象对称性的判定方法,
如奇函数的图象、偶函数的图象等.

2.方程f(x)=g(x)的解的个数可以转化为函数 y=
f(x)与y=g(x)的图象的交点个数. 3.不等式f(x)>g(x)的解集为 f(x)的图象位于 g(x) 的图象上方的那部分点的横坐标的取值范围.

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