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高考数学--异面直线所成角、线面角


题型三

异面直线所成角、线面角

1.从一点 O 出发的三条射线 OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则点 A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上; 2. 已知:直二面角 M-AB-N 中,AE ? M,BF ? N,∠EAB= ? 1 ,∠ABF= ? 2 ,异面直线 AE 与 BF 所成 的角为 ? ,则 cos? ?

cos?1 cos ? 2; 3.立平斜公式: 如图, AB 和平面所成的角是 ? 1 , AC 在平面内, BC 和 AB 的射影 BA1 成 ? 2 ,设∠ABC= ? 3 ,则 cos ? 1 cos ? 2 =cos ? 3 ;
? B D C A

A1

4.异面直线所成角的求法: (1)平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线; (2)补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于 容易发现两条异面直线间的关系; 5.直线与平面所成的角 斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角,它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面 上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线,是产生线面角的关键;

考点一
重点. 典型例题

异面直线所成的角

此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角, 然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的

例 1(2007 年北京卷文) 如图, 在 Rt△ AOB 中,?OAB ? π , 斜边 AB ? 4 .Rt△ AOC 可以通过 Rt△ AOB 以直线 AO
6

A

为轴旋转得到,且二面角 B ? AO ? C 的直二面角. D 是 AB 的中点. (I)求证:平面 COD ? 平面 AOB ; (II)求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小. 思路启迪:(II)的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内. 解答过程:解法 1:(I)由题意, CO ? AO , BO ? AO , ??BOC 是二面角 B ? AO ? C 是直二面角, ? CO ? BO ,又 AO BO ? O ,

D

O C

E

B

? CO ? 平面 AOB , 又 CO ? 平面 COD . ? 平面 COD ? 平面 AOB . (II)作 DE ? OB ,垂足为 E ,连结 CE (如图),则 DE ∥ AO , ??CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角.
在 Rt△COE 中, CO ? BO ? 2 , OE ? 1 BO ? 1 ,
2

z
A

?CE ? CO2 ? OE 2 ? 5 .

D

又 DE ? 1 AO ? 3 .
2

? 在 Rt△CDE 中, tan CDE ? CE ? 5 ? 15 .
DE 3 3

O

x C

B y
1

? 异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arctan 15 .
3

解法 2:(I)同解法 1. (II)建立空间直角坐标系 O ? xyz ,如图,则 O(0, 0, 0) , A(0, 0, 0) , D(0, 0, 2 3) , C (2, 1 ,3) ,
1 ,3) , ?OA ? (0, 0, 2 3) , CD ? (?2,
? cos ? OA, CD ?? OA CD OA CD

?

6 6. ? 4 2 32 2

? 异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arccos 6 .
4

小结: 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形,作法有:①平移法:在异面直线中的一条直线上 选择“特殊点”,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二;②补形法:把空间图形补成 熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系,如解析三.一般来说,平移法是最常用的,应作为
?? 求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围: ? ? 0, .
? 2? ?

例 2.(2006 年广东卷)如图所示,AF、DE 分别是⊙O、⊙O1 的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直,AD=8,BC 是⊙O 的直径,AB=AC=6,OE//AD. (Ⅰ)求二面角 B—AD—F 的大小; (Ⅱ)求直线 BD 与 EF 所成的角. 命题目的: 本题主要考查二面角以及异面直线所成的角等基本知识, 考查空 间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 过程指引: 关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角并掌握利用空间向 量求空间距离和角的一般方法. 解答过程: (Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直, ∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAF 是二面角 B—AD—F 的平面角.

? AF、BC是圆O的直径, ? ABFC是矩形 又 ? AB ? AC ? 6, ? ABFC是正方形
由于 ABFC 是正方形,所以∠BAF=45 . 即二面角 B—AD—F 的大小为 45 ;
0 0



(Ⅱ)以 O 为原点,BC、AF、OE 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示),则 O(0,0,0),A(0,

? 3 2 ,0),B( 3 2 ,0,0),D(0, ? 3 2 ,8),E(0,0,8),F(0, 3 2 ,0)
所以, BD ? (?3 2,?3 2,8), FE ? (0,?3 2,8)

cos ? BD, FE ??

BD ? FE 0 ? 18 ? 64 82 ? ? . 10 | BD || FE | 100 ? 82

设异面直线 BD 与 EF 所成角为 ? ,则 . cos ? ? cos ? BD, FE ? ?

82 . 10
2

故直线 BD 与 EF 所成的角为 arccos

82 . 10

考点二

直线和平面所成的角

此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算. 线面角在空间角中占有重要地位,是高考的常考内容. 典型例题 例 3.(2007 年全国卷Ⅰ理) 四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC ? 底面 ABCD . 已知∠ABC ? 45 ,AB ? 2 ,BC ? 2 2 ,
S

SA ? SB ? 3 .

C D A

B

(Ⅰ)证明 SA ? BC ; (Ⅱ)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小. 考查目的:本小题主要考查直线与直线,直线与平面的位置关系, 二面角的大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 解答过程:解法一:(Ⅰ)作 SO ⊥ BC ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC ⊥底面 ABCD , 得 SO ⊥ 底面 ABCD . 因为 SA ? SB ,所以 AO ? BO , 又 ∠ABC ? 45 ,故 △ AOB 为等腰直角三角形, AO ⊥ BO , 由三垂线定理,得 SA ⊥ BC . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 SA ⊥ BC ,依题设 AD ∥ BC , 故 SA ⊥ AD ,由 AD ? BC ? 2 2 , SA ? 3 , AO ? 2 ,得

S

SO ? 1 , SD ? 11 .
C

O
A

△SAB 的面积 S1 ? 1 AB 2

?1 ? SA ? ? AB ? ? 2 . 2 ? ?
2

2

B

D

连结 DB ,得 △DAB 的面积 S 2 ?

1 AB AD sin135 ? 2 2

设 D 到平面 SAB 的距离为 h ,由于 VD?SAB ? VS ? ABD ,得
1 1 h S1 ? SO S 2 ,解得 h ? 2 . 3 3

设 SD 与平面 SAB 所成角为 ? ,则 sin ? ? h ? 2 ? 22 . SD 11 11 所以,直线 SD 与平面 SBC 所成的我为 arcsin 22 .
11

解法二: (Ⅰ)作 SO ⊥ BC ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC ⊥底面 ABCD ,得 SO ⊥ 平面 ABCD . 因为 SA ? SB ,所以 AO ? BO . 又 ∠ABC ? 45 , △ AOB 为等腰直角三角形, AO ⊥ OB . 如图,以 O 为坐标原点, OA 为 x 轴正向,建立直角坐标系 O ? xyz , S

z

G
C D A

O

E

B

y3

0, 1) , SA ? ( 2, A( 2, 0, 0) , B(0,2, 0) , C (0, ? 2, 0) , S (0, 0, ?1) ,

CB ? (0, 2 2, 0) , SA CB ? 0 ,所以 SA ⊥ BC .
2 2 ?, (Ⅱ)取 AB 中点 E , E ? 0? ? ? ? 2 ,2 , ? ?
2 2 1?. 连结 SE ,取 SE 中点 G ,连结 OG , G ? , ,? ? ? ? ? 4 4 2?

? 2 2 1?, ? 2 2 ? , AB ? (? OG ? ? SE ? ? 1? ? ? 4 ,4 , ? ? 2 ,2 , ? 2? ? ? ?

2,2, 0) .

SE OG ? 0 , AB OG ? 0 , OG 与平面 SAB 内两条相交直线 SE , AB 垂直.
所以 OG ? 平面 SAB , OG 与 DS 的夹角记为 ? , SD 与平面 SAB 所成的角记为 ? ,则 ? 与 ? 互余.
D( 2, 2 2, 0) , DS ? (? 2, 2 21) ,.
cos ? ? OG DS OG DS ? 22 , sin ? ? 22 , 11 11

所以,直线 SD 与平面 SAB 所成的角为 arcsin 22 . 11 小结:求直线与平面所成的角时,应注意的问题是(1)先判断直线和平面的位置关系;(2)当直线和平面斜 交时,常用以下步骤:①构造——作出斜线与射影所成的角,②证明——论证作出的角为所求的角,③计算— —常用解三角形的方法求角,④结论——点明直线和平面所成的角的值.

4


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