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文科数学黑龙江省哈尔滨市第三中学2015届高三下学期第三次模拟考试题


哈尔滨三中 2015 年第三次模拟考试 数学试卷(文史类)答案及评分标准
一、选择题: 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 B 5 B 6 B 7 C 8 C 9 A 10 D 11 C 12 A

二、填空题: 13. 8 三、解答题: 17. (Ⅰ) an ? 2n ? 1 , ………………………… 2分 14. y ?

x ? 1 15.

?
6

16. 6

b1 ? 1, b4 ? 8 ,? q ? 2 ,

…………………………

4分

? bn ? 2n ?1 .
(Ⅱ) cn ? (2n ? 1)2 n ?1 ,

…………………………

6分

S n ? 1 ?1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 2 ? 2Sn ?

? (2n ? 1)2n?1 ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ? 1)2n

1? 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ?

上述两式作差得

?Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ?

? 2 ? 2n?1 ? (2n ? 1)2n

? 2(1 ? 2n ?1 ) ? n ? Sn ? 1 ? 2 ? ? ? (2n ? 1)2 ? 1? 2 ?

Sn ? 3 ? 2n (3 ? 2n) …………………………
优秀 男生 40 非优秀 20 总计 60

12 分

18.

女生 总计

20 60

30 50

50 110

(I)

………………………… (II) K ?
2

6分

110(40 ? 30 ? 20 ? 20) 2 60 ? 50 ? 60 ? 50
……………………… 10 分

K 2 ? 7.822

K 2 ? 7.822 ? 6.635
? 有 99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关.…………………………12 分
19. (Ⅰ) 平面 ABCD ? 平面 ABE , AD ? 平面 ABCD , AD ? AB , 且平面 ABCD ? 平面 ABE ? AB ,? AD ? 平面 ABE , BE ? 平面 ABE ,

? AD ? BE


…………………

3分

BE ? AF , AD ? 平面 ADF , AF ? 平面 ADF , AD ? AF ? A ,
………………… …………… 6分 12 分

? BE ? 平面 ADF
(Ⅱ) VD ? AFC ? VF ? ADC ?

1 3 1 S ?AFC ? ? 3 2 2

20. (Ⅰ) F ? 0,1? , y ? kx ? 1 ,

? y ? kx ? 1 , x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 , ? 2 ?x ? 4 y
x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 ,

AB ? AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 4 ?1 ? k 2 ? ? 16 ,
…………… 4分

k = ? 3 , l : y ? 3x ? 1 或 l : y ? ? 3x ? 1 ;
(Ⅱ)圆 O : x ? y ? 1 ,
2 2

直线 l 与圆 O 相切时,

m k ?1
2

? 1 , m 2 ? k 2 ? 1 ? 1 ,……………

6分

? y ? kx ? m , x 2 ? 4kx ? 4m ? 0 , ? ? 16k 2 ? 16m ? 0 得 m ? k 2 ? m 2 ? 1 ? 2 x ? 4 y ?

得 m2 ? m ? 1 ? 0 得 m ?

1? 5 1? 5 或m ? 2 2

x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4m , y1 y2 ?

x12 x2 2 ? ? m2 , 4 4

? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? m2 ? 4 m ? ? ?3, 0 ? , 0 ? m ? 1 或 3 ? m ? 4 ,
综合以上, 3 ? m ? 4 , …………… 9 分

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2
S?

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 4 m4 ? m3 ? m2 ,
…………… 10 分

1 AB ? d ? 2 m4 ? m3 ? m2 , 2

3 ? m ? 4 时, S ? ? m ? ? 0 , S ? m ? 在 ? 3, 4 ? 单调递增,
S ? 3? ? S ? S ? 4 ? ,即 6 11 ? S ? 8 19 .
21.(Ⅰ)由 f ?( x) ? …………… 12 分

a ?1 b a ?1 b ? 1 ? 得 f ?(1) ? ? 1 ? ? 0,? b ? ?a ……2 分 2 x 1 1 x 1? a 又 f (1) ? ? 1 ? b ln 1 ? c ? 2a ? 2,? c ? 3a …………3 分 1 1? a (Ⅱ)由上知 f ( x) ? ? x ? a ln x ? 3a x
得 f ?( x) ?

a ?1 ? a x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? a ? 1) ? 1 ? ? ? x x2 x2 x2

讨论得当 a ? 2 时 f ( x) 在 (0,??) 上为增函数, 当 a ? 2 时 f ( x) 在 (0,1), (a ? 1,??) 上为增函数,在 (1, a ? 1) 上为减函数 当 1 ? a ? 2 时 f ( x) 在 (0, a ? 1), (1,??) 上为增函数,在 (a ? 1,1) 上为减函数

当 a ? 1 时 f ( x) 在 (1,??) 上为增函数,在 (0,1) 上为减函数…………8 分 (III)①当 a ? 2 时,由(Ⅱ)知 f ( x) 在 (1, a ? 1) 上为减函数,不符合…………9 分 ②当 1 ? a ? 2 时,由(Ⅱ)知 f ( x) 在 (1, ??) 单调递增,则 g ( x) ? e ? ? f ( x) ?

? ?

51 ? ?在 4?

?1, a ? 单调递增成立;
同时需要当 x ? 1 时 (2 x 3 ? 3ax 2 ? 6ax ? 5a 2 ? 6a ) ? e x ? e ? ? f ( x) ?

? ?

51 ? ? 4?

即 (2 ? 3a ? 6a ? 5a ? 6a ) ? e ? e ? ?1 ? a ? 1 ? 3a ?
2

? ?

51 ? ? 4?
………10 分
x

得 20a 2 ? 4a ? 51 ? 0 ,解得 ?
3 2

17 3 ?a? 10 2
2

同时也需要 g ( x) ? (2 x ? 3ax ? 6ax ? 5a ? 6a ) ? e 在区间 ?? a,1? 上也为增函数 由 g ?( x) ? (6 x ? 6ax ? 6a ? 2 x ? 3ax ? 6ax ? 5a ? 6a ) ? e
2 3 2 2 x

? (2 x3 ? (3a ? 6) x 2 ? 12ax ? 5a 2 ) ? e x
记 h( x) ? 2 x ? (3a ? 6) x ? 12ax ? 5a
3 2 2

h ?( x) ? 6 x 2 ? 6(a ? 2) x ? 12a ? 6( x ? a )( x ? 2)
同时当 1 ? a ?

3 时, x ? ? a ? x ? ?2 ? h?( x) ? 0 2
3 2 2 2 3 2 2

又 h(? a ) ? ?2a ? (3a ? 6)a ? 12a ? 5a ? a ? a ? a (a ? 1) ? 0

? g ?( x ) ? 0 ,所以此种情况 1 ? a ?
综上: 1 ? a ?

3 2
………………………12 分

3 2

22. (Ⅰ) 解析: (Ⅰ)证明:

AB 是直径,? AC ? BD , BC ? DC ,
………………………5 分

??ABC ≌ ?ADC ,? ?ADB ? ?ABD
(Ⅱ)解:

DE 切⊙O 于点 E,? ED 2 ? DC ? DB ? DC ? ? DC ? BC ? ? 2 DC 2 ,

ED = 4 2 ,? DC ? 4 ,在 Rt ?ADC 中, AC ?

AD 2 ? DC 2 ? 25 ? 16 ? 3 .
………………………10 分
2

23. 23.(Ⅰ)由 ? ? 6 cos ? 得 ? ? 6 ? cos ? ,? x ? y ? 6 x ,即 ? x ? 3? ? y 2 ? 9
2 2 2

…………… 4 分

? 曲线 C 表示以 ? 3, 0 ? 为圆心, 3 为半径的圆.

……………

5分

1 ? x ? 2 ? t, ? 2 ? 2 2 2 (Ⅱ) ? 代入? x ? y ? 6 x 得 t ? t ? 8 ? 0, ?y ? 3 t ? ? 2
t1 ? t2 ? 0

? PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ?

? t1 ? t2 ?

2

? 4 t1 ? t2 ? 12 ? 4 ? ( ?8) ? 33 ;

…………… 10 分

1 ? ? 3x ? 2 ?-(3x-1) | =3, 24. (Ⅰ) f ( x) = 3x ? 2 + | 3x-
当且仅当 ?

……………4 分 ……………5 分

2 1 ? x ? 时,等号成立,故 m ? 3 . 3 3

(Ⅱ)证明:(

p4 q4 ? 2 )· ( a 2 ? b 2 ) 2 a b

p2 q2 ? a ? ? b )2, a b 4 4 p q 2 2 2 即( 2 ? 2 ) ?3 ? ( p ? q ) ? 9 , a b

? (

p4 q4 故 2 ? 2 ?3 a b

………………………10 分


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