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极坐标与参数方程测试题(有详解答案)


极坐标与参数方程
(一)常见曲线的参数方程如下: 直线的参数方程和参数的几何意义 1.过定点(x0,y0) ,倾角为α 的直线:

x ? x0 ? t cos? y ? y0 ? t sin ?

(t 为参数)

其中参数 t 是以定点 P(x0,y0)为起点,对应于 t 点 M(x,y)为终点的有向线段

PM 的数量,又称 为点 P 与点 M 间的有向距离. 根据 t 的几何意义,有以下结论. 1 . 设 A 、 B 是 直 线 上 任 意 两 点 , 它 们 对 应 的 参 数 分 别 为 tA 和 tB , 则 AB = t B ?t A = ○

(t B ? t A ) 2 ? 4t A ? t B .
2 .线段 AB 的中点所对应的参数值等于 ○ 2.中心在(x0,y0) ,半径等于 r 的圆:

t A ? tB . 2

x ? x0 ? r cos? y ? y0 ? r sin ?

( ? 为参数)

3.中心在原点,焦点在 x 轴(或 y 轴)上的椭圆:

x ? a cos? y ? b sin ?

( ? 为参数)

(或

x ? b cos? ) y ? a sin ?

中心在点(x0,y0)焦点在平行于 x 轴的直线上的椭圆的参数方程 ? 4.顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上的抛物线:

? x ? x0 ? a cos? , (?为参数) ? y ? y0 ? b sin ? .

x ? 2 pt 2 y ? 2 pt
(二)极坐标系

(t 为参数,p>0)

1、定义:在平面内取一个定点 O,叫做极点,引一条射线 Ox,叫做极轴,再选一 个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向) 。对于平面内的任意一点 M,用ρ 表 示线段 OM 的长度,θ 表示从 Ox 到 OM 的角,ρ 叫做点 M 的极径,θ 叫做点 M 的极角, O 有序数对(ρ , θ )就叫做点 M 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。

M

?
?

图1

x

2、极坐标有四个要素:①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位及它的方向.极坐标与直角坐标都是
1

一对有序实数确定平面上一个点,在极坐标系下,一对有序实数 ? 、 ? 对应惟一点 P( ? , ? ),但平面内 任一个点 P 的极坐标不惟一.一个点可以有无数个坐标,这些坐标又有规律可循的,P( ? ,? )(极点除外) 的全部坐标为( ? , ? + 2k? )或 ( ? ? ,? + (2k ? 1)? ) , ( k ? Z). 极点的极径为 0, 而极角任意取. 若对 ? 、

? 的取值范围加以限制. 则除极点外, 平面上点的极坐标就惟一了, 如限定 ? >0, 0≤ ? < 2? 或 ? <0,? ?
< ? ≤ ? 等. 极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点与坐标是一一对应的,而极坐标系中,点与坐标是一 多对应的.即一个点的极坐标是不惟一的.

(三)直角坐标与极坐标互化公式
y

?
N x

( ,

)

?
?

M y H

? ? ? ? ? ? ?

x ? ? cos?

O

y ? ? sin?

? ? ? ? ? ? ?

x2 ? y2 ? ?2
y tan? ? ( x ? 0) x

(直极互化 图)

(四)例题与练习(极坐标意义、点坐标的互化、方程的互化、应用) 1.在同一极坐标系中与极坐标 M(-2, 40°)表示同一点的极坐标是( ) (A) (-2, 220°) (B)(-2, 140°) (C)(2,-140°) (D)(2,-40°) 2.已知 M ? ? 5,

? ?

??

? ,下列所给出的不能表示点的坐标的是( 3?
B、 ? 5,

)

A、 ? 5,?

? ?

??
? 3?

? ?

4? ? ? 3 ?

C、 ? 5,?

? ?

2? ? ? 3 ?

D、 ? ? 5,?

? ?

5? ? ? 3 ?

3.把点 A( ?5,

?

), B (3,? ) 的极坐标化为直角坐标。 6 4

?

4.把点 M (? 3,?1), N (0,?3), P( 2, 0) 的直角坐标化为极坐标。 5. 点 P 1,? 3 ,则它的极坐标是 ( A、 ? 2,

?

?

) C、 ? 2,?

? ?

??
? 3?

B、 ? 2,

? ?

4? ? ? 3 ?

? ?

??
? 3?

D、 ? 2,?

? ?

4? ? ? 3 ?

2

6. 极坐标方程 ? ? 4cos ? 化为直角坐标方程是( A. ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 C. x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 7.将下列数方程化成普通方程.

)

B. x2 ? y 2 ? 4 D. ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 4

2 ? 1 ? 1? t2 ? x ? x ? a(t ? ) x? ? 2 ? ? 2 ? x ? 2t 2 ? x ? ?m y ? 1 ? ? 1? t t 1 ? t ,④ ? ①? ,② ? ,③ ? ,⑤ ? . ? 2 t 1 y ? m x ? 1 2 t y ? 2 t ? ? ?y ? ? y ? b(t ? ) ?y ? ? ? ? t 1? t2 ? ? 1? t 2 ?
6 ? ○

? x ? a cos? , (?为参数, a ? b ? 0) ? y ? b sin ? .

7 ? ○

? x ? cos2 ? ? y ? sin ?
2 t 2 的位置关系是( 2 t 2
D、相离

? 1 x? ? ? ? ? 2 8. 曲线 2 ? ? 4sin( x ? ) 与曲线 ? 4 ?y ? 1 ? ? ? 2
A、 相交过圆心 9. 在极坐标 ?? ,? ? B、相交

) 。

C、相切

?0 ? ? ? 2? ? 中,曲线 ? ? 2 sin ? 与 ? cos? ? ?1 的交点的极坐标为____________.

10. 在极坐标系中,圆 ? ? 2 上的点到直线 ? cos? ? 3 sin ? ? 6 的距离的最小值是 11. 圆 C: ?

?

?

. .

? ?x = 1+ cosθ ? x = ?2 2 + 3t (θ 为参数)的圆心到直线 l: ? (t 为参数)的距离为 y = sin θ y = 1 ? 3t ? ? ?

? 3 x ? 3? t ? ? 2 12.直线 ? (t 为参数)的倾斜角是 ?y ? 1? 1 t ? 2 ?
A.

? 6

B.

? 3

C.

5? 6

D.

2? 3
( )

? x ? ?1 ? t cos ? 13.方程 ? (t 为非零常数, ? 为参数)表示的曲线是 ? y ? 3 ? t sin ?
A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线

14.已知椭圆的参数方程是 ? A.

? x ? 5 cos? 5 ( ? 为参数) ,则椭圆上一点 P ( , ? 2 3 )的离心角可以是 2 ? y ? 4 sin ?
C.

? 3

B.

2? 3

4? 3
3

D.

5? 3

三、解答题(题型注释) 15.(本小题满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为

? x ? 3cos? ? (? 为参数) ? ? ? y ? sin?

. 半轴为

(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴 正 极轴)中,点 P 的极坐标为(4,

? ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2

(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

16.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 方程为 ?

? x ? 5cos ? (? 为参数) ? y ? 3sin ?

(Ⅰ)求过椭圆的右焦点,且与直线 ?

? x ? 4 ? 2t (t 为参数)平行的直线 l 的普通方程。 ?y ? 3?t

(Ⅱ)求椭圆 C 的内接矩形 ABCD 面积的最大值。

4

17.坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴非负半轴重合.直线 l 的参

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 数方程为: ? ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为: ? ? 4 cos? . ?y ? 1 t ? 2 ?
(1)写出曲线 C 的直角坐标方程,并指明 C 是什么曲线; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 P, Q 两点,求 PQ 的值.

18.在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程是 ?

?x ? t (t为参数) ,在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取 ? y ? 2t ? 1

相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos ? (I)求圆 C 的直角坐标方程; (II)求圆心 C 到直线 l 的距离。

19.(本小题满分 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点 M 的极坐标为

? ?? ? x ? 1 ? 2 cos ? , ? ( ? 为参数) . ? 4 2, ? ,曲线 C 的参数方程为 ? 4? ? ? ? y ? 2 sin ? ,
(1)求直线 OM 的直角坐标方程; (2)求点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值.

5

20.以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知点 P 的极坐标为 ? 2,

? ?

??

?, 4?

? ? 1 x ? x ? 2? x y ? 3 后的图形为曲线 C ? ? 1 所对应的切线经过伸缩变换 ? 直线 l 过点 P , 且倾斜角为 , 方程 3 36 16 ? y? ? 1 y ? ? 2
2 2

(Ⅰ)求直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标系方程 (Ⅱ)直线 l 与曲线 C 相交于两点 A, B ,求 PA ? PB 的值。

21.(本小题满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》 在直角坐标系中, 以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线 C : ? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) ,

? ? x ? ?2 ? 已知过点 P(?2,?4) 的直线 l 的参数方程为: ? ? ? y ? ?4 ? ? ? (Ⅰ)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若 | PM |, | MN |, | PN | 成等比数列,求 a 的值.

2 t 2 ,直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N . 2 t 2

6

22.(本小题满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》 在直接坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,曲线 C 的参数方程为

? x ? 3 cos ? ? (?为参数) ? ? ? y ? sin ?
(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以

? x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为 (4, ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2
(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? ? ? 2 (t是参数) ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos(? ? ) . 已知直线 l 的参数方程是 ? 4 2 ? y? t?4 2 ? 2 ?
(1)求圆心 C 的直角坐标; (2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值.

24. 已知曲线 C1 的参数方程式 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建 ? y ? 3sin ?

立坐标系,曲线 C2 的极坐标方程式 ? ? 2 .正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A, B, C , D 依逆时针次序

?? 排列,点 A 的极坐标为 ? ? 2, ? . ? 2?
(I)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (II)设 p 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围.
2 2 2 2

7

答案
P (4, ) 2 化为直角坐标,得 P(0,4) 15.解: (I)把极坐标系下的点 。
因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上, (II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) , 从而点 Q 到直线 l 的距离为

?

| 3 cos ? ? sin ? ? 4 | d? ? 2
cos(? ?
由此得,当

2 cos(? ? ) ? 4 ? 6 ? 2 cos(? ? ) ? 2 2 6 2 ,

?

?
6

) ? ?1

时,d 取得最小值,且最小值为 2.

x ? 2y ? 2 ? 0 , 16. (1) 由已知得椭圆的右焦点为 ? 4, 0 ? , 已知直线的参数方程可化为普通方程: 所以 k ?
于是所求直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 (2) S ? 4 xy ? 60sin ? cos ? ? 30sin 2? , 当 2? ? 17.

1 , 2

?
2

时,面积最大为 30

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 2 2 2 (2)把 ? 代入 x ? y ? 4 x ,整理得 t ? 3 3t ? 5 ? 0 ,---6 分 ?y ? 1 t ? 2 ?
设其两根分别为 t1 , t 2 , 则 t1 ? t 2 ? 3 3, t1t 2 ? 5 ,---8 分 所以 PQ ? t1 ? t 2 ?

7 .----10 分
8

18.(1)圆 C 的直角坐标方程是 x 2 +y 2 -2 x=0 ; (2)圆心 C 到直线 l的距离d =
π? ? 19.解: (Ⅰ)由点 M 的极坐标为 ? 4 2, ? ,得点 M 的直角坐标为(4,4), 4? ?

3 5 。 5

所以直线 OM 的直角坐标方程为 y ? x .
? ? x ? 1 ? 2 cos ? , (Ⅱ)由曲线 C 的参数方程 ? ( ? 为参数), ? ? y ? 2 sin ?

化成普通方程为: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ,

圆心为 A(1,0),半径为 r ?

2.

由于点 M 在曲线 C 外,故点 M 到曲线 C 上的点的距离最小值为

| MA | ?r ? 5 ? 2 .
20.

21.(Ⅰ) y 2 ? 2ax, y ? x ? 2 .

………..5 分

? ? x ? ?2 ? ? (Ⅱ)直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ?

2 t 2 ( 为参数), t 2 t 2
………………7 分

代入 y 2 ? 2ax , 得到 t 2 ? 2 2 (4 ? a)t ? 8 (4 ? a) ? 0 , 则有 t1 ? t2 ? 2 2 (4 ? a), t1 ? t2 ? 8 (4 ? a) . 因为 | MN |2 ? | PM | ? | PN | ,所以 (t1 ? t2 )2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1 ? t2 ? t1 ? t2 . 解得
a ?1.

…………10 分

9

22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (I)把极坐标系下的点 P (4,

?
2

) 化为直角坐标,得 P (0, 4)

因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上, …………5 分

(II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin? ) , 从而点 Q 到直线 l 的距离为,

d?

3 cos ? ? sin ? ? 4 2

?

2cos(? ? 2

?
6

)?4

? 2 cos(? ?

?
6

)? 2 2

由此得,当 cos(? ?

?
6

) ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 2 ……10 分

23.解: (I)? ? ? 2 cos ? ? 2 sin? ,

? ? 2 ? 2? cos ? ? 2? sin? , ?圆C的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ,
即 (x ?

…………(2 分) …………(3 分)

2 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? 1 ,?圆心直角坐标为 ( ,? ) .…………(5 分) 2 2 2 2

(II)方法 1:直线 l 上的点向圆 C 引切线长是

(

2 2 2 2 2 t? ) ?( t? ? 4 2 ) 2 ? 1 ? t 2 ? 8t ? 40 ? (t ? 4) 2 ? 24 ? 2 6 , 2 2 2 2
…………(8 分)

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6 方法 2:?直线l的普通方程为 x ? y ? 4 2 ? 0,

…………(10 分) …………(8 分)

|
圆心 C 到 直线l 距离是

2 2 ? ?4 2| 2 2 ? 5, 2
…………(10 分)

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 52 ? 12 ? 2 6 24.见 2012 新课标卷 23
10


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