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必修一人教B 版 2.1.3函数单调性


教学目标
知识与技能
1、 理解函数单调性的定义; 2、掌握单调函数的图像特征;

3、学会证明函数在某一区间上的单调性;并根据函数的单
调性求函数的最大(小)值.

过程与方法
通过实例,使学生体会到函数的最大(小)值,实际上是 函数图象的最高(低)点的纵坐标,因而借助函数图象的直观

性可得出函数的最值,有利于培养以形识数的解题意识.

情感态度与价值观
利用函数的单调性和图象求函数的最大(小) 值,解决日常生活中的实际问题,激发学生学习的 积极性.

教学重难点
重点
函数单调性的概念的理解及其函数单调性的证明

难点
利用函数的单调性求函数的最大(小)值.

问题1
画出f(x)=x的图像,并观察其图像。 上升 1、从左至右图象上升还是下降 ____?

?, ??)上,随着 x 的增大, f(x) 的值 2 、在区间 (________
增大 随着 ______. 5 -5 o

f(x)=x
5

-5

问题2
2 f(x) = x 画出 的图像,并观察图像.

(-∞,0] 上,f(x)的值随着x的增大而 1、在区间 ________ 减小 ______. 2 f(x) = x (0,+∞) 上, 2、 在区间 ________ f(x) 的 值 随 着 x 的 增 大 而 5 增大 _____. -5 o 5

-5

对于二次函数 f(x) = x2,我们可以这样描述 “在区间 (0, +?)上,随x的增大,相应的f(x)也随

着增大”.
在区间 (0, +?)上,任取两个 x1 , x 2,得到

f(x1 ) = x ,f(x2 ) = x2 ,当 x1 < x2 时,有 f(x1 ) < f(x2 )
2 (0, +?)上是这增 这时,我们就说函数 f(x) = x在区间

2 1

2

函数.

思 考

(1)对于函数y= f(x) ,若在区间 I 上,当x=1

时, y=1; 当 x=2时, y=3 , 能说在区间 I 上函数值
y 随自变量 x的增大而增大吗? y
3 1 0 1 2

x

思 考

(2)对于函数y= f(x) ,若在区间 I 上,当x=1,

2, 3, 4, 时, 相应地 y=1, 3, 4, 5,能说在区间 I 上函

数值y 随自变量x 的增大而增大吗?
y
4 3 2 01 1 2 3 4

x

思 考

(3) 对于函数y= f(x)若 区间I 上有n个数

x1< x2<x3<· · · < xn,它们的函数值满足: y1< y2<y3<· · · < yn时,能说在区间 I 上 y 随 x 的增大 而增大吗 ? y
yn y3 y2 y1 0 x1 x2 x3

若x取无数 个呢?
xn x应该取区间I内所有实数

x

能否仿照前面的描述,说明函数 2 在区间 (-∞,0]上是减函数吗? f(x) = x

在区间(-∞,0] 上,任取两个 x1 , x,得到 2

f(x1 ) = x12 ,f(x2 ) = x22,当 x1 < x2 时,有 f(x1 ) > f(x2 )
这时,我们就说函数 f(x) = x在区间(0, +?)上是这减
2

函数.

知识要 点
函数单调性的概念:
1.增函数
一般地,设函数 y=f(x) 的定义域为 I ,如果对 于定义域 I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1 ,

x2 ,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2) ,那么就说 f(x) 在
区间D上是增函数,如图1 .

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于 定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2 ,

当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2) ,那么就说f(x)在区间D
上是减函数 ,如图2.

y
y=f(x) f(x1) f(x2) x x2

y
y=f(x) f(x1) 0 x1

f(x2)
x2 x

0

x1
图1

图2

注 意
1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的 性质,是函数的局部性质. 2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1, x2;当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2) 分别是 增函数和减函数.

在某区间上,
增函数 ? 从左向右图象呈上升趋势
y

o

x

减函数

?

从左向右图象呈下降趋势。
y o x

函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函

数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)
单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.

例1 下图是定义在区间[-4,5]上的函数y=f (x),根 据图像说出函数的单调区间,以及在每一单调区 间上,它是增函数还是减函数?
3 2

o
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -2 -3

解:函数y=f(x)的单调区间有[-4,-2),[-2,-1),
[-1,1),[1,3),[3,5],其中y=f (x)在区间 [-4,-2), [-1,1), [3,5]上是增函数,在区间 [-2,-1), [1,3)上是减函数.

诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时, 压强p将增大,试用函数单调性证明之.
k 分析:按题意就是证明函数 p = 在区间 v (0, 上是减函数 . +?)

k 例2 物理学中的玻意耳定律 p = (k为正常数) 告 V

证明:根据单调性的定义,设V1,V2是定义域 (0,+∞)上的任意两个实数,且V1<V2,则

取值

V2 - V1 k k p(V1 ) - p(V2 ) = =k V1 V2 V1V2
又k>0,于是 p(V1 ) - p(V2 ) > 0

作差变形

由V1,V2∈ (0,+∞)且V1<V2,得V1V2>0, V2- V1 >0

定号



p(V2 ) > p(V1 )

k 所以,函数 p = , V ? (0, +?)是减函数.也就 结论 V 是说,当体积V减少时,压强p将增大.

1 例3 求证:函数 f(x) = - - 1 在区间 ? 0, + ? ? 上是单 x 调增函数.

证明:在区间(0,+∞)上任取两个值 x1 , x且 2 x1 < x2 ,则

1 1 x1 - x 2 f(x1 ) - f(x2 ) = - + = x1 x2 x1x2 x1x2 > 0 ,所以说 又因为 x1 - x2 < 0 , f(x1 ) - f(x2 ) < 0

1 即函数 f(x) = - - 1 在区间(0,+∞)上是单调 x 增函数.

用定义证明函数单调性的步骤是: (1)取值
即取 x1 , x 2 是该区间内的任意两个值且 x1 < x2

(2)作差变形
即求

f(x1 ) - f(x2 ) ,通过因式分解、配方、有

理化等方法

(3)定号
即根据给定的区间和

x2 - x1 的符号的确定

f(x1 ) - f(x2 ) 的符号

(4)判断

根据单调性的定义得结论

思考
若把区间改为 ? -?, 0? ,结论变化吗 ? a 若把函数改为 f(x) = - - 1 (a ? 0), 结论变化吗? x

自己动手做一下吧

探究
1 画出反比例函数 y = 的图象. x 1 这个函数的定义域是什么?

{x∣x≠0}

2 它在定义域I上的单调性怎样?证明你的结 论. y 分两个区间(0,+∞), (∞ ,0)来考虑其单调性. 0 x

证明:(1)在区间(0,+∞)上,设x1,x2是(0,+∞)上 任意两个实数,且x1<x2,则

由于x1,x2? ? 0,+? ? 得x1x2>0,又由x1<x2得x2-x1>0

x 2 - x1 1 1 = f(x1)- f(x2)= x1 x 2 x1 x 2

所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2).
函数f(x)=1/x 在(0,+∞)上是减函数. (2)在区间(- ∞ ,0)上,同理可得到函数 f(x)=1/x 在(- ∞ ,0)上是减函数。综上所述,函数 f(x)=1/x 在定义域上是减函数.

下列两个函数的图象: y
M y

观察

M

x
o x0
图1

o
图2

x0

x

思 考

观察这两个函数图象,图中有个最高点, 那么这个最高点的纵坐标叫什么呢?

思 考

设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M, 则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小 关系如何? f(x)< M

例如函数f ? x? = -x2 +1? x∈R ?
2

1是此函数的最大值
?(0)=1
1

1、对任意的 x ? R都有?(x)≤1. 2、存在0,使得?(0)=1.

O

知识要 点
M是函数y= f (x)的最大值(maximum value):
一般地,设函数y= f (x)的定义域为I,如果存在 实数M满足: (1)对于任意的x ∈I,都有f (x) ≤M; (2)存在 x ,使得 f(x0 ) = M . ? I 0

思 考

能否仿照函数的最大值的定义,给出函数 y=f(x)的最小值的定义呢? 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果实

数M满足:
(1)对于任意的的x∈I,都有f(x) ≥M;

(2)存在 x0 ? I ,使得 f(x0 ) = M ,
那么我们称M是函数y=f(x)的最小值(minimun value).

思 考 思 考

函数的最大值是函数值域中的一个元素吗?



如果在函数f(x)定义域内存在x1和 x2,使对 定义域内任意x都有 f(x1 ) ? f(x) ? f(x2 ) 成立,由 此你能得到什么结论?如果函数f(x)的最大值是b, 最小值是a,那么函数f(x)的值域是[a,b]吗? 函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值.

探究:函数单调性与函数的最值的关系
(1)若函数y=f (x)在区间[m,n] (m<n)上单调递增,

则函数y=f (x)的最值是什么?

y
f(n)

当x=m时,f (x)有最 小值f (m),当x=n时,f (x) 有最大值f (n).

m
O

n

x
f(m)

(2)若函数y=f(x)在区间[m,n]上单调递减,则函数 y=f(x)的最值是什么?

y
当x=m时,f (x)有最

f(m)

大值f (m),当x=n时,f(x)

O

m

n

有最小值f (n).

x

f(n)

(3)若函数 f(x) = a(x - l)2 + h(a < 0,m < l < n) 则函 数y=f(x)在区间[m,n]上的最值是什么?

y
f(m)

f(l)
最大值f (l)=h,有最小值f (m), f (n)中较小者.

f(n)
O

m

l

n

x

例4 "菊花"烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是 期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度 h米与时间t秒之间的关系为: h ? t ? = -4.9t 2 + 14.7t + 18, 那么烟花冲出后什么时候是 它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少

? 精确到1米 ? ?

2 h(t) = -4.9t +14.7t +18的图像。显然, 解:做出函数

函数图像的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横 坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距 地面的高度. 由二次函数的知识,对于函数 h h(t) = -4.9t 2 +14.7t +18 ,我们有
20 15 10 5

14.7 当t = = 1.5 时,函 2 ? (-4.9) 数有最大值
1 2 3
4

o

t

4 ? (-4.9) ? 18 -14.72 h= ? 29 4 ? (-4.9)

所以,烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻,此 时距离地面的高度约为29m.

1 (x ? [3, 5]) ,求函数的最大 例5 已知函数 f(x) = x-2 值与最小.
分析:由函数的图象可知道,此函数在[3,5]上 递减。所以在区间[3,5]的两个端点上分别取得最大 值与最小值. 解:设 x1 , x 2 是区间[3,5]上的任意两个实数, 且 x1 < x 2,则
(x 2 - 2) - (x1 - 2) x 2 - x1 1 1 f(x1 ) - f(x 2 ) = = = . x1 - 2 x 2 - 2 (x1 - 2)(x 2 - 2) (x1 - 2)(x 2 - 2)

由于 3 ? x1 ? x2 ? 5, 得 x2 - x1 > 0,(x1 - 2)(x2 - 2) > 0,

于是


f(x1 ) - f(x2 ) > 0
f(x1 ) > f(x2 )

所以,此函数在区间[3,5]的两个端点上分别取得 最大值与最小值即在x=3时取得最大值是1,在

x=5时取得最小值为0.5.

课堂小结
1、单调函数的图象特征;

2、函数单调性的定义; 3、证明函数单调性的步骤; 4、函数的最值: 最大值
最小值

?

5、函数的最值的求法
(1)利用二次函数的性质(配方法)求函数的最值;
(2)利用图象求函数的最值; (3)利用函数单调性求函数的最值 .

高考链接
1 ( 2007年广东)函数f ? x ? = 1- 在区间??? ???的 x 2 最小值为??????? 3

1.填表

课堂练习
y = kx + b(k ? 0)
k y = (k ? 0) x

函数

k >0

k <0

k >0
???? ??? ??? ???

k <0
???? ??? ??? ???

单调区间 (-?, +? ) ???? ??? 单调性 增函数 减函数

减函数

增函数

y = ax2 + bx + c (a ? 0)
函数

a>0
单调区间
? ???? ? ? ?? ? ? ??? ?? ??

a<0
? ? ?? ? ??? ???? ? ? ?? ??

单调性

减函数

增函数

增函数

减函数

1 0.5 2.函数y = ? x ∈? 2, 5??的最大值为??????? x 0.2 最小值为??????

3.已知函数f(x)在 ? -∞, 2? 上单调递增, 在 ? 2, +∞? 上
最大 值为??????? f(2) 单调递减则f ? x ? 有??????

4.函数y = x2 + 4x + 2在区间?-3, 5? 上的最小
-2 值为???????

1 2 3 f(x) = x - x + 的值域也是[1,b],求b的值. 2 2 1 2 3 1 2 解:因为 f(x) = x - x + = (x - 1) + 1 2 2 2
所以f(x)在x=1时取得最小值为1,又因为x∈[1,b],
由f(x)的图像可知道在区间[1,b]上是递增的,所以
y

5 . 设b>1为常数,如果当x∈[1,b]时,函数

1 0

1 2 3 f(b) = b - b + = b 2 2 得b=3或b=-1,因为b>1, 所以说b=3.
1 x


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