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【优化方案】2014届高考数学9.6 空间距离 随堂检测(含答案解析)


(2011· 高考江苏卷) 如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2,AB=1,点 N 是 BC 的中点,点 M 在 CC1 上.设二面角 A1-DN-M 的大小为 θ.

(1)当 θ=90° 时,求 AM 的长; 6 (2)当 cos θ= 时,求 CM 的长. 6 解: 建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz.设 CM=t(0≤t≤2), 则各点的坐标为 A(1,0,0),

1 → ?1 → → ? DM A1(1,0,2), ?2,1,0?, N? t), t), 设 ? M(0,1, 所以DN=?2,1,0?, =(0,1, DA1=(1,0,2). → → 平面 DMN 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),则 n1· =0,n1· =0,即 x1+2y1=0,y1+tz1 DN DM =0. 令 z1=1,则 y1=-t,x1=2t,所以 n1=(2t,-t,1),是平面 DMN 的一个法向量. → → 设平面 A1DN 的法向量为 n2=(x2,y2,z2),则 n2· 1=0,n2· =0,即 x2+2z2=0, DA DN x2+2y2=0. 令 z2=1,则 x2=-2,y2=1,所以 n2=(-2,1,1)是平面 A1DN 的一个法向量. 1 (1)因为 θ=90° ,所以 n1· 2=-5t+1=0,解得 t= . n 5 1? 从而 M?0,1,5?. ? 1 51 所以 AM= ?-1?2+12+?5?2= . ? ? 5 (2)因为|n1|= 5t2+1,|n2|= 6, -5t+1 n1·2 n 所以 cos〈n1,n2〉= = . |n1||n2| 6· 5t2+1 因为〈n1,n2〉=θ 或 π-θ,所以? 1 解得 t=0 或 t= . 2 1 1 根据图形和(1)的结论可知 t= ,从而 CM 的长为 . 2 2 6 ? -5t+1 ? ?= , ? 6· 5t2+1? 6


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