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上海市闸北区2015届高三二模数学理试题(含详细答案)


闸北区 2014 学年度第二学期高三数学(理科)期中练习卷
考生注意:1. 本次测试有试题纸和答题纸,解答必须在答题纸上,写在试题纸上的解答无效 2. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号,以及试卷类型等填写清楚,并在规定区域 内贴上条形码 3. 本试卷共有 18 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟 一、填空题(60 分)本大题共有 10 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每个空格 填对得 6 分,否则一律得零分 1.设幂函数 f ( x) 的图像经过点 ?8, 4 ? ,则函数 f ( x) 的奇偶性为 .

2.设复数 z1 ? 2 ? i, z2 ? 1 ? 2i ,在复平面的对应的向量分别为 OA, OB ,则向量 AB 对应的复数所对应 的点的坐标为 .

3. 已知定义域为 R 的函数 y ? f ( x) 的图像关于点 ? ?1,0? 对称, y ? g ? x ? 是 y ? f ( x) 的反函数,若

x1 ? x2 ? 0 ,则 g ? x1 ? ? g ? x2 ? ?

.

4. 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a ,得 2 分的概率为 b ,不得分的概率为 c ,其中

a, b, c ? ? 0,1? ,已知投篮一次得分的期望是 2,则 ab 的最大值是

.

?2n ?1 ,1 ? n ? 2, n ? N ? 5.设 an ? ? 1 数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ,则 lim Sn ? n ?? ? n , n ? 3, n ? N ? 3

.

? x 2 ? 6 x ? 6, x ? 0, 6. 设函数 f ( x) ? ? ,若存在互不相等的实数 x1 , x2 , x 3 满足 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ,则 ? x ? 4,x ? 0.
x1 ? x2 ? x3 的取值范围
n

.

1 ? ? 7.若二项式 ? x ? ? 展开式中只有第四项的系数最大,则这个展开式中任取一项为有理项的概率 x? ?



.

9.从双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0? 的左焦点 F 引圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 T ,延长 FT 交双曲 a 2 b2
.

线右支于点 P ,若 M 是线段 FP 的中点, O 为原点,则 MO ? MT 的值是

10.把正整数排成如图(a)的三角形数阵,然后擦去第偶数行中的所有奇数,第奇数行中的所有偶 数,可得如图(b)三角形数阵,现将图(b)中的正整数安小到大的顺序构成一个数列

?an ? , 若ak ? 2015, 则k ?

.

1

1 2 5 3 6 4 7 8 9

1 2 5 4 7 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

10 12 14 16 17 19 21 23 25 26 28 30 32 34 36

(a) (b) 二、选择题(15 分)本大题共有 3 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必 须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律零分 11.下列命题中,正确的个数是 (1)直线上有两个点到平面的距离相等,则这条直线和这个平面平行; (2) a , b 为异面直线,则过 a 且与 b 平行的平面有且仅有一个; (3)直四棱柱是直平行六面体 (4)两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥( A.0 B.1 C.2 D.3 )

12.在极坐标系中,关于曲线 C : ? ? 4sin(? ? ) ,下列判断中正确的是( 3 A.曲线 C 关于直线 ? ?
5? 对称 6

?



B.曲线 C 关于直线 ? ?

?
3

对称

? ?? C.曲线 C 关于点 ? 2, ? 对称 ? 3?

D.曲线 C 关于点 ? 0,0 ? 对称

13.已知 O 是正三角形 ?ABC 内部的一点, OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则 ?OAC 的面积与 ?OAB 的面积之比 是( 3 A. 2 ) B.
2 3

C. 2

D. 1

三、解答题(本题满分 75 分)本题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应的题号) 内写出必要步骤 14.(本题满分 12 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 7 分) 如图 AB 是圆柱体 OO1 的一条母线,已知 BC 过底面圆的圆心 O , D 是圆 O 上不与 B, C 重合的任意 一点, AB ? 5, BC ? 5, CD ? 3 (1)求直线 AC 与直线 BD 所成角的大小; (2)将四面体 ABCD 绕母线 AB 旋转一周,求 ?ACD 的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积

A

O1

B D
2

O

C

15.(本题满分 13 分,第(1)小题各 5 分,第(2)小题各 8 分) 如图所示,某市拟在长为 8 km 道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM , 该曲线段为函数 y ? Asin ? x ? A ? 0, ? ? 0? ? x ??0,4?? 的图像, 且图像的最高点为 S 3, 2 3 ,赛道的后 一部分为折线段 MNP ,且 ?MNP ? 120? . (1)求 M 、P 两点间的直线距离; (2)求折线段赛道 MNP 长度的最大值.

?

?

y

S

M N

o

4

P 8

x

16.(本题满分 16 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 9 分) 已知圆 C1 : ? x ? 1? ? y 2 ? 8 ,点 C2 : ?1,0? ,点 Q 在圆 C1 上运动, QC 2 的垂直平分线交 QC1 于点 P
2

(1)求动点 P 的轨迹 W 方程;
1? ? (2) 过点 S ? 0, ? ? 且斜率为 k 的动直线 l 交曲线 W 于 A, B 两点, 在 y 轴上是否存在定点 D , 使以 AB 3? ?

为直径的圆恒过这个点?若存在,请求出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由.

17. (本题满分 18,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(2)小题 9 分) 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 D ,值域为 A ,如果存在函数 x ? g (t ) ,使得函数 y ? f ? g (t )? 的值域仍
3

是 A ,那么称 x ? g (t ) 是函数 y ? f ( x) 的一个等值域变换. (1)判断下列函数 x ? g (t ) 是不是函数 y ? f ( x) 的一个等值域变换?说明你的理由;
1 ① f ( x) ? log 2 x, x ? 0 , x ? g (t ) ? t ? , t ? 0 ; t

② f ( x) ? x2 ? x ? 1, x ? R , x ? g (t ) ? 2t , t ? R . (2) 设函数 y ? f ? x ? 的定义域为 D , 值域为 A , 函数 g ? t ? 的定义域为 D1 , 值域为 A1 , 那么 “ D ? A1 ” 是否是“ x ? g ?t ? 是 y ? f ? x ? 的一个等值变换”的一个必要条件?说明理由. (3)设 f ? x ? ? log 2 x 的定义域为 ? 2,8? ,已知 x ? g ? t ? ? 函数 y ? f ? ? g ? t ?? ? 的定义域为 R ,求实数 m, n 的值. 18. (本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分) 我们把一系列向量 ai ? i ? 1, 2,
a1 ? ?1,1? , an ? ? xn , yn ? ? , n ? 按次序排成一列,称之为向量列,记作 an .已知向量列 an 满足:

mt 2 ? 3t ? n 是 y ? f ? x ? 的一个等值变换,且 t2 ?1

? ?

? ?

1 ? xn?1 ? yn?1 , xn?1 ? yn?1 ? ? n ? 2? . 2

(1)证明:数列 an 是等比数列; (2)设 cn ? an log 2 an ,问数列 ?cn ? 中是否存在最小项?若存在,求出最小项;若不存在,请说明 理由. ( 3 ) 设 ? n 表 示 向 量 an ?1 与 an 间 的 夹 角 , 若 bn ?
1 1 ? ? bn ?1 bn ? 2 ?

? ?

n2

?

?n , 对 于 任 意 的 正 整 数 n , 不 等 式

1 1 ? log a ?1 ? 2a ? 恒成立,求实数 a 的取值范围. b2n 2

4

理科答案
一. 填空题 1、偶函数; 6、 ? ?1,6? 二. 选择题 11、B 三.解答题 14、(1) arcsin (2) 15? 15、 12、A 13、B 2、 ? ?1,1? 7、 3、 ? 2 8、 b ? a 4、

1 6

5、

55 18

4 7

9、①②④

10、1030

3 2 10

?????????????????????5 分

????????????????????????7 分

解(1)依题意,有 A ? 2 3

????????????????1 分

T 2? 又 ? 3 , 而T ? , 4 ?

?? ?

?
6

?????????1 分

?y ?2 3 sin x 6

?

3? M ? 4 , 3 当 x ? 4 时, y ? 2 3 s i n ? , ? ,又 P ?8 , 0 ?

2? 3

?MP ? 42 ? 32 ? 5

???????????????3 分

(2)解:法一:在 ?MNP 中, ?MNP ? 120 , MP ? 5 . 设 ?PMN ? ? ,则 0 ? ? ? 60 .??????????????1 分 由正弦定理得

10 3 MP NP MN ,? NP ? sin ? , ? ? 3 sin120 sin ? sin ? 60 ? ? ?

MN ?

10 3 sin ? 60 ? ? ? ,????????????????????3 分 3 10 3 10 3 10 3 故 NP ? MN ? sin ? ? sin ? 60 ? ? ? ? sin ?? ? 60 ? ??3 分 3 3 3 10 3 0 ? ? ? 60 ,? 当 ? ? 30 时,折线段赛道 MNP 最长为 .?????2 分 3 解法二 : (2)在 ?MNP 中, ?MNP ? 120 , MP ? 5. 2 2 2 由余弦定理得 MN ? NP ? 2MN ? NP ? COS ?MNP ? MP ,

5

即 MN ? NP ? MN ? NP ? 25 ;??????????3 分
2 2

故 ? MN ? NP ? ? 25 ? MN NP ? ?
2

3 2 ? MN ? NP ? ? ,从而 4 ? MN ? NP ? ? 25 ?4 分 2 ? ?

2

10 3 ,当且仅当 MN ? NP 时等号成立.??????2 分 3 10 3 亦即,设计为 MN ? NP 时,折线段赛道 MNP 最长为 . 3
即 MN ? NP ? 注:本题第(2)问答案及其呈现方式均不唯一,除了解法一、解法二给出的两种设计方法, 还可设计为:① N ?

? 12 ? 3 9 ? 4 3 ? ? 12 ? 3 9 ? 4 3 ? N ? 2 , 6 ? ? ;② N ? ? 2 , 6 ? ? ;③点 在线段 ? ? ? ?

MP 的垂直平分线上等. 16、(1) QC2 的垂直平分线交 QC1 于点 P ,? PQ ? PC2 .??????1 分

PC 2 ? PC 1 ?

PQ ?

P ? 1C

Q 2 ? 2 1 C

?

1

C 2 ? , 2 C

所以动点 P 的轨迹 W 是以点 C1 、 C2 为焦点的椭圆.??????????2 分

x2 y 2 2 2 2 设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? ,则 2a ? 2 2 , 2c ? 2 , b ? a ? c ? 1 , a b 2 x ? y 2 ? 1 ??????????????????????2 分 故椭圆的标准方程为 2
? y ? kx ? 3 1 (2) 直线 l 的方程为 y ? kx ? ,联立直线和椭圆的方程得 ? ,即 ? 2 3 2 ?x ? ?2 ? y ?1 ? 1

1? ? 9 ?1 ? 2k 2 ? x2 ?12kx ?16 ? 0 ,易知点 S ? 0, ? ? 在椭圆内部,所以直线 l 与椭圆必交于两点. ?1 分 3? ? 4k 16 , x1 x2 ? ? 设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? ,????????2 分 3 ?1 ? 2k 2 ? 9 ?1 ? 2k 2 ?

假设在 y 轴上存在定点 D ? 0, m ? 满足题设,则 DA ? ? x1 , y1 ? m? , DB ? ? x2 , y2 ? m? . 因为以 AB 为直径的圆 恒过点 D,则 DA ? DB ? ? x1 , y1 ? m? ? ? x2 , y2 ? m? ? 0 .????????2 分 1 1 即 x1x2 ? ? y1 ? m?? y2 ? m? ? 0 ?*? ,因为 y1 ? kx1 ? , y2 ? kx2 ? , 3 3 所以(*)变为 1? ? 1? 1 1? ? ? x1x2 ? ? y1 ? m?? y2 ? m? ? x1x2 ? y1 y2 ? m ? y1 ? y2 ? ? m2 ? x1x2 ? ? kx1 ? ? ? ? kx2 ? ? ? m ? kx1 ? ? kx2 ? ? ? m2 3 3 3 3? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 1 ?18m ? 18? k ? ? 9m ? 6m ? 15? ?1 ? 2 .???3 分 ? ? k 2 ? 1? x1 x 2? k ? ? m ? ? x ? m? ? 1 x2 ? ? m ? 3 9 9 ? 2k 2 ? 1? ?3 ?
?18m2 ? 18 ? 0 ? 由假设得对于任意的 k ? R , DA ? DB ? 0 恒成立,即 ? 2 ,解得 m ? 1 . 因此,在 ? ?9m ? 6m ? 15 ? 0

y 轴上存在点 D,点 D 的坐标为 ? 0,1? ??????????????????3 分 17、(1)①不是??????????????????????????2 分
1? 3 3 ? ?3 ? ② f ? x ? ? x 2 ? x ? 1 ? ? x ? ? ? ? ,即 f ? x ? 的值域为 ? , ?? ? , 2? 4 4 4 ? ? ?
2

6

? t 1? 3 3 ?3 ? 当 t ?R 时, f ? ? g ?t ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4 ? 4 ,即 y ? f ? ?g ?t ?? ? 的值域仍为 ? 4 , ?? ? ,所以 x ? g ? t ? 是 ? ? ? ?

2

f ? x ? 的一个等值域变换.??????????????????2 分

(2)不必要性的反例:
f ? x ? ? x2 , D ? R, B ? ?0, ?? ? g ?t ? ? 2t ?1, D1 ? R, B1 ? ? ?1, ???
t 此时 B1 ? D ,但 f ? ? g ? t ?? ? ? ? 2 ? 1? 的值域仍为 B ? ?0, ?? ? , 2

即 g ? t ? ? 2t ? 1? x ? R ? 是 f ? x ? ? x2 ? x ? R ? 的一个等值域变换.(反例不唯一)??????3 分 (3) f ? x ? ? log2 x 定义域为 ? 2,8? ,因为 x ? g ? t ? 是 f ? x ? 的一个等值域变换,且函数 f ? ? g ? t ?? ? 的定义 域为 R ,所以 x ? g ? t ? ?
2? mt 2 ? 3t ? n , t ? R 的值域为 ? 2,8? ,????????2 分 t 2 ?1

mt 2 ? 3t ? n ? 8 ? 2 ? t 2 ? 1? ? mt 2 ? 3t ? n ? 8?t 2 ? 1? ,??????????????1 分 t 2 ?1

?2 ? m ? 8 ? 所以,恒有 ??1 ? 9 ? 4 ? m ? 2 ?? n ? 2 ? ? 0 ,??????????????????3 分 ? ?? 2 ? 9 ? 4 ? m ? 8 ?? n ? 8 ? ? 0

? 3 3 ?m ? 5 ? ? 2 解得 ? .??????????????????????????3 分 ?n ? 5 ? 3 3 ? ? 2

18、(1) an ?

? 数列 an 是等比数列
(2)

? ?

1 2

? xn?1 ? yn?1 ? ? ? xn?1 ? yn?1 ?
2

2

?

2 2 xn?12 ? yn?12 ? an?1 2 2

??????????????????3 分

? 2? an ? 2 ? ? 2 ? ? ? ?
假设

n?1

?2

2? n 2

, ? cn ?

n 2 ? n 2? 2 ? 2 2

??????2 分

2 , c2 ? 0 ,? 0 ? c2 ? c1. 2 n?1? n 2 ? ? n ? 1? 2??2 2 ? n 2? ?2 2 ? ?2 当 n ? 3 时,有 cn ? 0 ,又由 cn ? cn?1 可得 , 2 2 2 1 ? 2?n ? 2?n? 1 2 ? 2 ,? 即 ? ? . 1? n ? 1? n ? 2

?cn? 中的第

n 项最小,由 c1 ?

n2 ? 6n ? 7 ? 0 , n ? 3 ? 2 或 n ? 3 ? 2 (舍),? n ? 5 .????2 分

7

即有 c5 ? c6 ? c7 ?



由 cn ? cn?1 ,得 3 ? n ? 5 ,又 0 ? c2 ? c1 ,?c5 ? c4 ? 故数列 ?cn? 中存在最小项,最小项是 c5 ? ? (3)
3 ? 2

? c1 ;??????2 分

3 ? 2 ????????????1 分 2

cos? n ?

an?1 ? an an?1 ? an

?

? 2 ,?? n ? ??????????????1 分 4 2

n2 ????????????????????????1 分 4 2 2 2 1 ? ? ? ? log 3 ?1 ? 2a ? 对任意正整数 n 恒成立. 不等式化为: n ?1 n ? 2 2n 2 2 2 2 ? ? 设 Tn ? . n ?1 n ? 2 2n 2 2 2 2 2 又 Tn?1 ? Tn ? ? ? ? ? ? 0 ,数列 ?Tn? 单调 2n ? 1 2 ? 1n? 2 2 ? n ? ?1 n ? 1 n 2 ? bn ?
递增????????????????????2 分

1 ??Tn ?m i n? T1 ? 1 ,要使不等式恒成立,只要 1 ? log 3 ?1 ? 2a ? ,??1 分 2 1 1? 2 a? 0 ? 0 ? a ? , 1 ? 2a ? a 2 ,? 0 ? a ? 2 ? 1 , 2 所以,使不等式对于任意正整数恒成立的 a 的取值范围是 0, 2 ? 1 . ????2 分

?

?

8


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