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1.0《 不等式和绝对值不等式》课件(新人教选修4-5)


新课标人教版课件系列

《高中数学》
选修4-5

1.0 《不等式和绝对值不等式》

教学目标
1、了解不等式概念,理解不等式的解集,能正确表示 不等式的解集;培养学生的数感,渗透数形结合的 思想;理解不等式的性质,掌握不等式的解法;掌 握不等式的性质,并利用不等式的性质解决简单的 实际问题 ;

2、理解绝对值三角不等式的几何意义;会用向量解释 绝对值三角不等式;会用代数方法证明绝对值三角 不等式;会用绝对值三角不等式解决有关问题;通 过学习,进一步理解数形结合的思想方法; 3、培养学生的数感,渗透数形结合的思想 。

重点: 不等式的解集的表示;不等式的性质和解法; 不等式的性质和解法.在实际问题中建立一元 一次不等式的数量关系 ;绝对值三角不等式 的理解及应用;使学生掌握含绝对值的一次 不等式的解法,并用数形结合方法加深对解 法的理解;含绝对值不等式的解法。 难点: 不等式解集的确定;不等号方向的确定;根 据实际问题建立一元一次不等式;绝对值三 角不等式的代数证明;理解绝对值的几何意 义。

一、不等式
1、不等式

1、不等式的基本性质:
a ? b ? b ? a 传递性: a ? b, b ? c ? a ? c ①、对称性: _________

②、 a ? b, c ? R ,a+c>b+c

③、a>b, c ? 0 , 那么ac>bc;
a >b ,
c ? 0 ,那么ac<bc

④、a>b>0, c ? d ? 0 那么,ac>bd ⑤、a>b>0,那么an>bn.(条件 n ? N , n ? 2 ) ⑥、 a>b>0 那么
n

a ? b (条件n ? N , n ? 2)
n

练习:1、判断下列各命题的真假,并说明理由:
(1)如果a>b,那么ac>bc; (假命题) (2)如果a>b,那么ac2>bc2;(假命题) (3)如果a>b,那么an>bn(n∈N+); (假命题) (4)如果a>b, c<d,那么a-c>b-d。 (真命题) 2、比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。 解:因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6)

=x2+3x+2-(x2+3x-18)
=20>0,

所以(x+1)(x+2)>(x-3)(x+6)

例1、求证:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd。
证明:因为a>b>0, c>d>0, 由不等式的基本性质(3)可得ac>bc, bc>bd, 再由不等式的传递性可得ac>bc>bd。
a b 例2、 已知a>b>0,c>d>0,求证: ? d c

练习: 如果a>b,c>d,是否一定能得出ac>bd?并说明理 由。

?x ? y ? a ? b ?x ? a 例3、若a、b、x、y∈R,则 ? 是? ?( x ? a)( y ? b) ? 0 ? y ? b

成立的( C

) B. 必要不充分条件

A. 充分不必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 例4、对于实数a、b、c,判断下列命题的真假:

a b ? (1)若c>a>b>0,则 (真命题) c ?a c ?b 1 1 (2)若a>b, ? ,则a>0,b<0。 (真命题) a b

例5、已知f(x)=ax2+c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5, 求f(3)的取值范围。 f(3)的取值范围是[-1, 20]

例6、已知a>0,a2-2ab+c2 =0,bc>a2,试比较a、b、c 的大小。 解:因为bc>a2>0,所以b、c同号;又a2+c2=2ab>0,且
a2 ? c2 ? 0, 且c>0。 a>0,所以b= 2a

因为(a-c)2=a2-2ac+c2=2ab-2ac=2a(b-c )≥0,所以b-c≥0. 2 2 a ? c a2 ? c2 2 2 , bc ? a , c ? a , 当b-c>0,即b>c时,b= 得 2a 2a 所以a2c+c3 >2a3即a3-c3+a3-a2c<0,(a-c)(2a2+ac+c2)<0
因为a>0,b>0,c>0,所以2a2+ac+c2>0,故a-c<0,即a<c.

从而a<c<b。当b-c=0,即b=c时,因为bc>a2,
所以b2>a2,即b≠a。又a2-2ab+b2=(a-b)2=0,所以a=b,

与前面矛盾,故b≠c.所以a<c<b.

小结:理解并掌握不等式的六个基本性质

作业:课本P10第3题。求证:
1 1 (1)如果a>b, ab>0,那么 ? ; a b

(2)如果a>b>0,c<d<0,那么ac<bd。 选做题:设a≥b,c≥d, 求证:ac+bd≥ (a+b)(c+d)
1 2

2、基本不等式
定理1 如果a, b∈R, 那么 a2+b2≥2ab. 当且仅当a=b时等号成立。

探究: 你能从几何的角度解释定理1吗?
分析:a2与b2的几何意义是正方形面积, ab的几何意义是矩形面积,可考虑从图形 的面积角度解释定理。

如图把实数a,
b作为线段长度, 以a≥b为例,在 正方形ABCD中, AB=a;在正方形 CEFG中,EF=b.

b

A H
a

I

D G F

K

b

B

J
a

C
b

E

则 S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2. S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab,其值等于图中有阴影部分的 面积,它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。 即a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时,两个矩形成为正方形, 此时有 a2+b2=2ab。

称为 a,b的 称为 a, b的 定理 2(基本不等式) 如果a, b>0 ,那么

算术平均

当且仅当a=b时,等号成立。
2

a?b ? ab 2

几何平均
C

证明:因为 ( a ? b ) =a+b-2
A O 所以a+b≥ 2 ab , D

ab ≥0,
B

如图在直角三角形中,CO、CD分别是斜边上的中 上式当且仅当 ,即a=b时,等号成 线和高,设AD=a,DB=b,则由图形可得到基本不 立。 等式的几何解释。

a? b

两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

例3 求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方形的面 积最大;(2)在所有面积相同的矩形中,正方形的周长 最短。

结论:已知x, y都是正数。(1)如果积xy是定值p, p 2)如果 那么当x=y时,和x+y有最小值2 ;( 和x+y是定值s,那么当x=y时,积xy有最大值

1 2 s 4

例4

某居民小区要建一座八边
D

H

G

形的休闲场所,它的主体造型 平面图(右图)是由两个相同的 矩形ABCD和EFGH构成的面积 为200平方米的十字型地域,计
A

Q

P

C

M

N

B

划在正方形MNPQ上建一座花坛,

E

造价为每平方米4200元,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺 花岗岩地坪,造价为每平方米210元,再在四个空角(图中四个直 角三角形)上铺上草坪,造价为每平方米80元。 (1)设总造价为S元,AD长为x米,试建立S关于x的函数关系式。 (2)当x为何值时S最小,并求出这个最小值。

F

补充例题 已知a,b ?(0,+?),且a+b=1,求证: 1 (1)a ? b ? ; 2 1 1 (2) 2 ? 2 ? 8; a b 1 2 1 2 25 (3)(a+ ) ? (b ? ) ? ; a b 2 1 1 25 (4)(a+ )(b ? ) ? . a b 4
2 2

课堂练习:课本P10第5题、第6题、第9题
5、设a, b∈R+,且a≠b,求证: a b (1) ? ? 2; (2) 2ab ? ab b a a?b 6、设a,b,c是不全相等的正数,求证: (1)(a+b)(b+c)(c+a)>8abc;

(2)a+b+c> ab ? bc ? ca.
x2 ? y 2 x? y 2 9、已知x、y∈R,求证: ?( ). 2 2

小结:理解并熟练掌握基本不等式及 其应用,特别要注意利用基本不等式 求最值时, 一定要满足“一正二定三 相等”的条件。
作业:课本P10第7、8、10题,第11题为选

做题。

3、三个正数的算术-几何平均不等式
a?b?c 3 定理3 如果a, b, c ? R?,那么 ? abc,当且仅 3 当a ? b ? c时,等号成立。 即:三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

把基本不等式推广到一般情形:对于n个正数a1 , a2 , 即: a1 ? a2 ? an n ? a1a2 an , n 当且仅当a1 ? a2 ? ? an时,等号成立。 , an , 它们的算术平均不小于它们的几何平均,

1 例1 求函数y ? x (1 ? 5 x )(0 ? x ? )的最值。 5
2

下面的解法对吗? 5 2 2 5 2 解:y ? x ( ? 2 x) ? x x( ? 2 x), 12 1 4x ? 1 5 2 5 x ? 1 ? 5x 3 y ? 4 x x(1 ? 5 x) ? ( ) ? , 41 2 4 3 108 0 ? x ? ,? ? 2 x ? 0, 51 5 ? ymax ? . 2 108 x ? x ? ( ? 2 x) 5 4 3 5 ?y ? [ ] ? . 2 3 675 2 2 4 当且仅当x ? x ? ? 2 x,即x ? 时,y max ? . 5 15 675

练习:θ是锐角,求y=sinθcos2θ的最大值。
1 2 2 2 解:y ? sin ? cos ? ? 2sin ? cos ? cos ? 2 2 2 2 1 2sin ? ? cos ? ? cos ? 3 4 ? ( ) ? , 2 3 27
2 2 4

3 当且仅当2sin ? ? cos ? ? 1 ? sin ? , 即sin ? ? 3 2 3 时取等号,此时y max ? . 9
2 2 2

b 课本P11第15题 已知a>0, b>0, 且h=min{a, 2 }, 2 a ?b 2 求证: h? . 2 证明: a ? 0, b ? 0, a 2 ? b 2 ? 2ab,

a 2 ? b2 ab 1 b 1 ? ? 2, 2 ? , 即a 2 ? , 2 2 ab a ?b 2 a ?b 2 b 由于 0<h=min{a, 2 } ? a, 2 a ?b b b 0<h=min{a, 2 }? 2 , 2 2 a ?b a ?b b 1 2 ?h ? a 2 ? , 从而h ? . 2 a ?b 2 2
2

13、在对角线有相同长度的所有矩形中,怎样的 矩形周长最长,怎样的矩形面积最大? 14、已知球的半径为R,球内球圆柱的底面半径 为r,高为h,则r与 h为何值时,内接圆柱的体积 最大?

二、绝对值不等式
1、绝对值三角不等式
实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上 坐标为a的点A到原点的距离:
|a|
A O a

x

任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B, 那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。
|a-b|
A a B
b

x

联系绝对值的几何意义,从“运算”的角度研 究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的关系:
分ab>0和ab<0两种情形讨论:

(1)当ab>0时,如下图可得|a+b|=|a|+|b|
x

O

a

b

a+b

a+b

b

a

O

x

(2)当ab<0时,也分为两种情况:如果a>0,b<0, 如下图可得:|a+b|<|a|+|b|
b O a x

a+b

如果a<0, b>0,如下图可得:|a+b|<|a|+|b|

a

O

a+b

b

x

(3)如果ab=0,则a=0或b=0,易得: |a+b|=|a|+|b|

定理1

这个不等式称为绝 如果a, b是实数,则

对值三角不等式。

|a+b|≤|a|+|b|

当且仅当ab≥0时,等号成立。
探究 如果把定理1中的实数a, b分别换成向量a, b, 能得出什么结果?你能解释它的几何意义吗?
y

探究 当向量 a, b共线时, 有怎样的结论?
O

a?b
a

b

x

定理1的代数证明:
证明:当ab ? 0时,ab ?| ab |,| a ? b |? (a ? b)2 ? a 2 ? 2ab ? b2 ? | a |2 ?2 | ab | ? | b |2 ? (| a | ? | b |) 2 ?| a | ? | b |

当ab ? 0时,ab ? ?ab,| a ? b |? (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? | a |2 ?2 | ab | ? | b |2 ? | a | ?2 | ab | ? | b | ? (| a | ? | b |) ?| a | ? | b |,
2 2 2

所以 | a ? b |?| a | ? | b |, 当且仅当ab ? 0时,等号成立。

探究 你能根据定理1的研究思路,探究一下 |a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗?例如: |a|-|b|与|a+b|,|a|+|b|与|a-b|,|a|-|b|与|ab|等之间的关系。 |a|-|b|≤|a+b|,

|a|+|b|≥|a-b|,
|a|-|b|≤|a-b|.

如果a, b是实数,那么 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

例1 已知ε >0,|x-a|<ε ,|y-b|<ε ,求证:

|2x+3y-2a-3b|<5ε .
证明: |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε. 所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε .

定理2

如果a, b, c是实数,那么

|a-c|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立。 证明:根据绝对值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立。
例 : 若 x ? m ? ? , y ? m ? ? , 下列不等式中一定成立 的是( B ) A. x - y ? ? C . x ? y ? 2? B . x ? y ? 2? D. x ? y ? ?

例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个 地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第 10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施 工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生 活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工 队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于 何处?
分析:假设生活区建在公路路碑的第xkm处,两个施 工队每天往返的路程之和为S(x)km,则有

S(x)=2(|x-10|+|x-20|),要求问题化归为求该函数的 最小值,可用绝对值三角不等式求解。

练习:课本P20第1、2题
1 .求证:(1)|a+b|+|a-b|≥2|a|

(2)|a+b|-|a-b|≤2|b|
2.用几种方法证明

1 |x ? |? 2( x ? 0) x

补充练习: a?b a?b 1.已知 a ? b , m ? ,n ? , 则m , n之间的 a?b a?b 大小关系是( D ) A.m ? n B.m ? n C.m ? n D.m ? n
?

2.如果实数x , y满足 cos x ? cos y ? cos x ? cos y , 且x ? ( , ? ), 2 则 (cos x ? cos y )2 可写成( D ) A.cosx - cosy C . cos y ? cos x B. cosx ? cos y D. cos y ? cos x

3.若r1 , r2是方程x ? px ? 8 ? 0的两个不等实根, 则
(4 2,? ?) r1 ? r2 的取值范围________

2

4.若关于x的不等式 x ? 2 ? x ? 1 ? a的解集为?则a

a?3 的取值范围是_________
5.若不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a的解集为非空集合, 则实数a的取值范围是( A.a ? 7
C

)

B.1 ? a ? 7 C.a ? 1 D.a ? 1 ? ? 6.设m , ? ? 0, x ? a ? , y ? b ? , a ? m , y ? m , 2 2 求 证 xy ? ab ? m?

小结:理解和掌握绝对值不等式的两个定理:

|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成 立) |a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,
(a-b)(b-c)≥0时等号成立) 能应用定理解决一些证明和求最值问题。

作业:课本P20第3、4、5题

2、绝对值不等式的解法
? 复习:如果a>0,则 |x|<a的解集是(-a, a); |x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)
-a

O |x|<a

a

x

-a

O |x|>a

a

x

(1)|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的 解法: ①换元法:令t=ax+b, 转化为|t|≤c和|t|≥c 型不等式,然后再求x,得原不等式的解集。 ②分段讨论法:

?ax ? b ? 0 ?ax ? b ? 0 | ax ? b |? c(c ? 0) ? ? 或? ?ax ? b ? c ??(ax ? b) ? c

?ax ? b ? 0 ?ax ? b ? 0 | ax ? b |? c(c ? 0) ? ? 或? ?ax ? b ? c ??(ax ? b) ? c

例3 解不等式|3x-1|≤2
例4 解不等式|2-3x|≥7 补充例题:解不等式

1 1 (1) (3 | x | ?1) ? | x | ?3 4 2 2 (2) x ? 3 ? 4 | x | .

|ax+b|<c和|ax+b|>c(c>0)型不等式比较:
类型 化去绝对值后 集合上解的意义区别
{x|ax+b>-c} ∩ {x|ax+b<c}, 交 {x|ax+b<-c}∪ |ax+b|>c ax+b<-c或ax+b>c {x|ax+b>c},

|ax+b|<c

-c<ax+b<c



课堂练习:P20第6题

(2) x ? a ? x ? b ? c和 x ? a ? x ? b ? c 型不等式的解法

例5

解不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 5
A1 -3 A -2 B 1 B1 2 x

解 法1: 设 数 轴 上 与 ? 2, 1对 应 的 点 分 别 是 A,,B

?? 2, 那 么A,, 两 点 的 距 离 是 3, 因 此 区 间 1?上 的

数都不是原不等式的。 解将 点A向 左 移 动 1个 单 位 到 点A1, 这 时 有A1 A ? A1 B ? 5; 同 理, 将 点B向 右移动一个单位到点 B1, 这 时 也 有B1 A ? B1 B ? 5, 从数轴上可以看到点 A1与B1之 间 的 任 何 点 到 点 A, B的 距 离 之 和 都 小 于 5; 点A1的 左 边 或 点 B1的 右 边 的任何点到点 A,, 的 距 离 之 和 都 大 于 。 故原不等

?? ?,? 3? ? ?2,? ? ? 式的解集是

例5

解不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 5

解 法2: 当x ? ?2,时, 原 不 等 式 可 以 化 为 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5,

?? ?,?3? 解 得x ? ?3, 此 时 不 等 式 的 解 集 为
即3 ? 5, 矛 盾, 此 时 不 等 式 的 解 集 为?

当 ? 2 ? x ? 1时, 原 不 等 式 可 以 化 为 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5, 当x ? 1时, 原 不 等 式 可 以 化 为 ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5, 综 上 所 述 可 知 原 不 等的 式 解 集 为 ?? ?,? 3? ? ?2,? ? ? 解 得x ? 2, 此 时 不 等 式 的 解 集 为?2,? ??

例5

解不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 5

解 法3: 将 原 不 等 式 转 化 为 x ?1 ? x ? 2 ? 5 ? 0 构造函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 ? 5, 即 ?? 2 x ? 6, x ? -2 ? y ? ?- 2, -2? x?1 ?2x - 4 , -3 x?1 ? 作出函数图象 ,
y

O -2

2 x

?? ?,?3?? ?2,? ?? 由 图 象 可 知 原 不 等 式解 的集 为

(2) x ? a ? x ? b ? c和 x ? a ? x ? b ? c 型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义
②零点分区间法

③构造函数法

练习:P20第8题(2)
8.(2)解不等式x ? 2 ? x ? 3 ? 4

作业:P20第7题、第8题(1)(3)

补充练习:解不等式:
(1)1<|2x+1|≤3.

(2)||x-1|-4|<2.
(3)|3x-1|>x+3. 答案:(1){x|0<x≤1或-2≤x<-1} (2){x|-5<x<-1或3<x<7}

1 (3) {x | x ? ? 或x ? 2} 2

1 ? 3x ? 4 ? 6 作业 P20第7题第(1)解不等式
? ? 3x ? 4 ? 1 解 : 原不等式等价于下列不 等式组? ? ? 3x ? 4 ? 6 5 ? x ? ?1或x ? ? ? ? 3 x ? 4 ? 1或 3 x ? 4 ? ?1 ? 3 即? ?? ?? 6 ? 3 x ? 4 ? 6 ? ? 10 ? x ? 2 ? 3 ? 3 10 5 2 解得 ? ? x ? ? 或?1? x ? 3 3 3 2? ? 10 5 ? ? 故原不等式的解集为 ? ? 3 ,? 3 ? ? ? ? 1, 3 ? . ? ? ? ?

8.解不等式:
( 2) x ? 2 ? x ? 3 ? 4 解 : 当x ? ?3时, 原不等式可化为? ( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 4, ? x ? ?3 5 解得x ? ? , 即不等式组? 2 ?x?2 ? x?3 ?4 的解集是( ??,?3]. 当 ? 3 ? x ? 2时, 原不等式可化为? ( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 4, ?? 3 ? x ? 2 即5 ? 4显然成立, 所以不等式组? ?x?2 ? x?3 ?4 的解集为( ?3,2). 当x ? 2时, 原不等式可化为 ( x ? 2 ) ? ( x ? 3 ) ? 4, ?x ? 2 3 即x ? ,? 不等式组? 的解集是[ 2,??). 2 ?x?2 ? x?3 ?4 综上所述, 原不等式的解集是 R.

( 3) x ? 1 ? x ? 2 ? 2 解 : 当x ? 1时, 原不等式可化为? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2, ?x ? 1 1 ?1 ? 解得x ? , 即不等式组? 的解集是? ,1? . 2 ?2 ? ? x ?1 ? x ? 2 ? 2 当1 ? x ? 2时, 原不等式可化为 ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2, ?1 ? x ? 2 即1 ? 2显然成立, 所以不等式组? 的 ? x ?1 ? x ? 2 ? 2 解集是(1,2). 5 当x ? 2时, 原不等式可化为x ? 1 ? x ? 2 ? 2, 即x ? , 2 ?x ? 2 ? 5? 所以不等式组? 的解集是? 2, ?. ? 2? ? x ?1 ? x ? 2 ? 2 ? 1 5? 综上所述, 原不等式的解集是 ? , ?. ? 2 2?


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选修4-5 不等式与绝对值不等式
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