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2016


(一)

统计案例

章末综合测评 (时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.在下列各量与量的关系中是相关关系的为( )

①正方体的体积与棱长之间的关系; ②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系; ③人 的身高与年龄之间的关系; ④家庭的支出与收入之间的关系; ⑤某户家庭用电量与电费之间 的关系. A.①②③ C.④⑤ B.③④ D.②③④

【解析】 ①⑤是一种确定性关系,属于函数关系.②③④为相关关系. 【答案】 D 2. 四名同学根据各自的样本数据研究变量 x, y 之间的相关关系, 并求得回归直线方程, 分别得到以下四个结论: ①y 与 x 负相关且 y=2.347x-6.423; ② y 与 x 负相关且 y=-3.476x+5.648; ③y 与 x 正相关且 y=5.437x+8.493; ④y 与 x 正相关且 y=-4.326x-4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( A.①② C.③④ ) B.②③ D.①④

【解析】 y 与 x 正(或负)相关时,线性回归直线方程 y=bx+a 中,x 的系数 b>0(或

b<0),故①④错.
【答案】 D 3. 电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关. 某品牌的电视机的显像管开关了 10 000 次后还能继续使用的概率是 0.80,开关了 15 000 次后还能继续使用的概率是 0.60,则已经 开关了 10 000 次的电视机显像管还能继续使用到 15 000 次的概率是( A.0.75 C.0.48 B.0.60 D.0.20 )

【解析】 记“开关了 10 000 次后还能继续使用”为事件 A,记“开关了 15 000 次后 还能继续使用 ”为事件 B,根据题意,易得 P(A)=0.80,P(B)=0.60,则 P(AB)=0.60, 由条件概率的计算方法,可得 P(B|A)=

P?AB? 0.60 = =0.75. P?A? 0.80
1

【答案】 A 4.一位母亲记录了她儿子 3 岁到 9 岁的身高,建立了她儿子身高与年龄的回归模型 y =73.93+7.19x,她用这个模型预测儿子 10 岁时的身高,则下面的叙述正确的是( A.她儿子 10 岁时的身高一定是 145.83 cm B.她儿子 10 岁时的身高一定是 145.83 cm 以上 C.她儿子 10 岁时的身高在 145.83 cm 左右 D.她儿子 10 岁时的身高一定是 145.83 cm 以下 【解析】 由回归模型得到的预测值是可能取值的平均值,而不是精确值,故选 C. 【答案】 C 5.(2016·咸阳高二检测)已知一个线性回归方程为 y=1.5x+45,其中 x 的取值依次 为 1,7,5,13,19,则 y =( A.58.5 C.60 ) B.46.5 D.75 )

1 - - 【解析】 ∵ x = (1+7+5+13+19)=9,回归直线过样本点的中心( x , y ), 5 - ∴ y =1.5×9+45=58.5. 【答案】 A 6.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件 A={两个点数互不相同},B={出现一个 5 点},则 P(B|A)=( 1 A. 3 1 C. 6 ) 5 B. 18 1 D. 4

【解析】 出现点数互不相同的共有 6×5=30 种, 出现一个 5 点共有 5×2=10 种, ∴P(B|A)=

P?AB? 1 = . P?A? 3

【答案】 A 7.利用独立性检验来考虑两个分类变量 X 和 Y 是否有关系时,通过查阅下表来确定断 言“X 和 Y 有关系”的可信度,如果 k>5.024,那么就有把握认为“X 和 Y 有关系”的百分 比为( )

p(χ 2>k) k p(χ >k)
2

0.50 0.455 0.05

0.40 0.708 0.025

0.25 1.323 0.010

0.15 2.072 0.005

0.10 2.706 0.001

2

k
A.25% C.2.5%
2

3.84

5.024

6.635 B.75% D.97.5%

7.879

10.83

【解析】 查表可得 χ >5.024.因此有 97.5%的把握认为“X 和 Y 有关系”. 【答案】 D 8.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军,乙队需要 再赢两局才能获得冠军.若两队每局胜的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( 1 A. 2 2 C. 3 3 B. 5 3 D. 4 )

1 1 1 【解析】 由题意知,乙队获得冠军的概率为 × = ,由对立事件概率公式得,甲队 2 2 4 1 3 获得冠军的概率为 P=1- = . 4 4 【答案】 D 9. 种植两株不同的花卉, 若它们的成活率分别为 p 和 q, 则恰有一株成活的概率为( A.p+q-2pq C.p+q B.p+q-pq D.pq )

【解析】 甲花卉成活而乙花卉不成活的概率为 p(1-q), 乙花卉成活而甲花卉不成活的概率为 q(1-p), 故恰有一株成活的概率为 p(1-q)+q(1 -p)=p+q-2qp. 【答案】 A 10.同时抛掷三颗骰子一次,设 A:“三个点数都不相同”,B:“至少有一个 6 点”, 则 P(B|A)为( 1 A. 2 5 C. 18 6×5×4 120 【解析】 P(A)= = , 6×6×6 216 ) 60 B. 91 91 D. 216

P(AB)=

3×4×5 60 = , 6×6×6 216

∴P(B|A)=

P?AB? 60 216 1 = × = . P?A? 216 120 2

【答案】 A 11.以下关于线性回归分析的判断,正确的个数是( )
3

①若散点图中所有点都在一条直线附近,则这条直线为回归直线; ②散点图中的绝大多数都线性相关,个别特殊点不影响线性回归,如图 1 中的 A,B,C 点; ③已知直线方程为 y=0.50x-0.81,则 x=25 时,y 的估计值为 11.69; ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势.

图1 A.0 C.2 B.1 D.3

【解析】 能使所有数据点都在它附近的直线不只一条,而据回归直线的定义知,只有 按最小二乘法求得回归系数 a,b 得到的直线 y=bx+a 才是回归直线, ∴①不对;②正确; 将 x=25 代入 y=0.50x-0.81,得 y=11.69, ∴③正确;④正确,故选 D. 【答案】 D 12.根据下面的列联表得到如下四个判断: ①至少有 99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”;②至少有 99%的把握认为“患肝病 与嗜酒有关”;③在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”;④在 犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“患肝病与嗜酒无关” . 嗜酒 患肝病 未患肝病 总计 其中正确命题的个数为( A.0 C.2 ) B.1 D.3
2

不嗜酒 60 32 92

总计 760 232 992

700 200 900

992×?700×32-60×200? 2 【解析】 由列联表中数据可求得随机变量 χ = ≈7.349 760×232×900×92 >6.635,所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为“患肝病与嗜酒有关系”,即至 少有 99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关系”,因此②③正确. 【答案】 C

4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在题中的横线上) 13.已知 x,y 的取值如下表:

x y

2 2.7

3 4.3

5 6.1

6 6.9

从散点图分析 y 与 x 具有线性相关关系, 且回归方程为 y=1.02x+a, 则 a=________. 【解析】 由题意得 x =4, y =5,又( x , y )在直线 y=1.02x+a 上,所以 a=5 -4×1.02=0.92. 【答案】 0.92 1 3 14.已知 P(B|A)= ,P(A)= ,则 P(AB)=________. 2 5 【解析】 由 P(B|A)=

P?AB? 得 P(AB) P?A?

1 3 3 =P(B|A)·P(A)= × = . 2 5 10 【答案】 3 10

15.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系,现随机抽取 50 名学生,得 到如下 2×2 列联表: 理科 男 女
2 2

文科 10 20

13 7

已知 P(χ ≥3.841)≈0.05,P(χ ≥5.024)≈0.025.根据表中数据,得到 50×?13×20-10×7? 2 χ = ≈4.844,则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能 23×27×20×30 性为________. 【解析】 χ ≈4.844>3.841,故判断出错的可能性为 0.05. 【答案】 0.05 16.某小卖部为了了解热茶销售量 y(杯)与气温 x(℃)之间的关系,随机统计了某 4 天 卖出的热茶的杯数与当天气温,并制作了对照表: 气温(℃) 杯数 18 24 13 34 10 38 -1 64
2 2

由表中数据算得线性回归方程 y=bx+a 中的 b≈-2,预测当气温为-5℃时,热茶销 售量为________杯.

5

? ?x y -n x ?已知回归系数b= ? ?x -n x ?
n i i i=1 n
2

y

2

i

i=1

? ? ,a= y -b x ? ?

1 1 【解析】 根据表格中的数据可求得 x = ×(18+13+10-1)=10, y = ×(24+34 4 4 +38+64)=40. ∴a= y -b x =40-(-2)×10=60, ∴y=-2x+60,当 x=-5 时,y=-2×(-5)+60=70. 【答案】 70 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)甲袋中有 8 个白球, 4 个红球, 乙袋中有 6 个白球, 6 个红球. 从 每袋中任取 1 个球,试问:取得同色球的概率是多少? 【解】 设从甲袋中任取 1 个球,事件 A:“取得白球”,由此事件 A :“取得红球”, 2 从乙袋中任取 1 个球,事件 B:“取得白球”,由此事件 B :“取得红球”,则 P(A)= , 3

P( A )= ,P(B)= ,P( B )= .
因为 A 与 B 相互独立, A 与 B 相互独立, 所以从每袋中任取 1 个球,取得同色球的概率为

1 3

1 2

1 2

P(AB+ A

B )=P(AB)+P( A

B )=P(A)P(B)+P( A )P( B )= × + × = .

2 1 1 3 2 3

1 1 2 2

18.(本小题满分 12 分)吃零食是中学生中普遍存在的现象,吃零食对学生身体发育有 诸多不利影响,影响学生的健康成长.下表是性别与吃零食的列联表: 男 喜欢吃零食 不喜欢吃零食 总计 请问喜欢吃零食与性别是否有关? 5 40 45 女 12 28 40 总计 17 68 85

n?ad-bc?2 【解】 χ = , ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

把相关数据代入公式,得 85×?5×28-40×12? 2 χ = ≈4.722>3.841. 17×68×45×40
6
2

因此,在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,可以认为“喜欢吃零食与性别有关”. 19.(本小题满分 12 分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况, 随机抽取了 100 名观众进行调查,其中女性有 55 名.下面是根据调查结果绘制的观众日均 收看该体育节目时间的频率分布直方图 2:

图2 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中 有 10 名女性. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表, 并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有 关? 非体育迷 男 女 总计 (2)将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”, 已知“超级体育 迷”中有 2 名女性,若从“超级体育迷”中任意选取 2 人,求至少有 1 名女性观众的概率. 体育迷 总计

n?n11n22-n12n21?2 附:χ = , n1+n2+n+1n+2
2

P(χ 2≥k) k

0.05 3.841

0.01 6.635

【解】 (1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”有 25 人,从而完 成 2×2 列联表如下: 非体育迷 男 女 合计 30 45 75 体育迷 15 10 25 总计 45 55 100

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 χ =
2

n?n11n22-n12n21?2 n1+n2+n+1n+2

7



100×?30×10-45×15? 100 = ≈3.030.因为 3.030<3.841, 所以我们没有理由认为 75×25×45×55 33

2

“体育迷”与性别有关. (2)由频率分布直方图可知,“超级体育迷”为 5 人,从而一切可能结果所组成的基本 事件空间为 Ω ={(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2), (a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)},其中 ai 表示男性,i=1,2,3,bj 表示女性,j=1,2. Ω 由 10 个基本事件组成, 而且这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示“任选 2 人 中,至少有 1 人是女性”这一事件,则 A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,

b1),(a3,b2),(b1,b2)},事件 A 由 7 个基本事件组成,因而 P(A)= .
20. (本小题满分 12 分)1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球, 2 号箱中有 5 个白球和 3 个红 球,现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱,然后从 2 号箱随机取出一球,问: (1)从 1 号箱中取出的是红球的条件下,从 2 号箱取出红球的概率是多少? (2)从 2 号箱取出红球的概率是多少? 【解】 记事件 A:最后从 2 号箱中取出的是红球; 事件 B:从 1 号箱中取出的是红球.

7 10

P(B)=

4 2 = . 2+4 3 1 3

P( B )=1-P(B)= .
3+1 4 (1)P(A|B)= = . 8+1 9 3 1 (2)∵ P(A| B )= = , 8+1 3 ∴P(A)=P(A∩B)+P(A∩ B ) =P(A|B)P(B)+P(A| B )P( B ) 4 2 1 1 11 = × + × = . 9 3 3 3 27 21.(本小题满分 12 分)在一个文娱网络中,点击观看某个节目的累计人次和播放天数 如下数据: 播放天数 点击观看的累 计人次 1 51 2 134 3 213 4 235 5 262 6 294 7 330 8 378 9 457 10 533

(1)画出散点图; (2)判断两变量之间是否有线性相关关系,求线性回归方程是否有意义?

8

(3)求线性回归方程; (4)当播放天数为 11 天时,估计累计人次为多少? 【解】 (1)散点图如下图所示:

(2)由散点图知:两变量线性相关,求线性回归方程有意义.借助科学计算器,完成下 表:

i xi yi xiyi

1 1 51 51

2 2 134 268

3 3 213 639

4 4 235 940

5 5 262 1 310

6 6 294 1 764

7 7 330 2 310

8 8 378 3 024

9 9 457 4 113

10 10 533 5 330

x =5.5, y =288.7,

?xi=385, ?yi=1
2 2

10

10

020 953, ?xiyi=19 749
i=1

10

i=1

i=1

利用上表的结果,计算累计人次与播放天数之间的相关系数,

?xiyi-10 x y
i=1

10

r=
2 i-10 x ?x2 10 2 i-10 y ?y2 10

i=1

i=1



19 749-10×5.5×288.7 385-10×5.5 × 1 020 953-10×288.7
2 2

≈0.984. 这说明累计人次与播放天数之间存在着较强的线性相关关系, 所以求线性回归方程有实 际意义.

?xiyi-10 x y
i=1

10

(3)b=
2 i-10 x ?x2 10

19 749-10×5.5×288.7 = ≈46.9, 2 385-10×5.5

i=1

a= y -b x ≈288.7-46.9×5.5≈30.8,因此所求的线性回归方程是 y=30.8+46.9x.
9

(4)当 x=11 时,y 的估计值是 46.9×11+30.8≈547. 因此,当播放天数为 11 天时,估计累计人次为 547. 22.(本小题满分 12 分)(2016·济南模拟)为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态 度,在该市随机抽取了 50 名市民进行调查,他们月收入(单位:百元)的频数分布及对楼市 限购令的赞成人数如下表: 月收入 频数 赞成 人数 [15,25) 5 4 [25,35) 10 8 [35,45) 15 8 [45,55) 10 5 [55,65) 5 2 [65,75) 5 1

将月收入不低于 55 的人群称为“高收入族”,月收入低于 55 的人群称为“非高收入族”. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表, 有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收 入高低有关?

n?ad-bc? 2 已知:χ = , ?a+b??c+d??a+c??b+d?
当 χ <2.706 时,没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关;当 χ >2.706 时,有 90%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关;当 χ >3.841 时,有 95%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关; 当 χ >6.635 时, 有 99%的把握判定赞 不赞成楼市限购令与收入高低有关. 非高收入族 赞成 不赞成 总计 (2)现从月收入在[55,65)的人群中随机抽取两人, 求所抽取的两人中至少一人赞成楼市 限购令的概率. 【解】 (1) 非高收入族 赞成 不赞成 总计
2 2 2 2 2

2

高收入族

总计

高收入族 3 7 10

总计 28 22 50

25 15 40

50×?25×7-15×3? 2 χ = ≈3.43,故有 90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关. 40×10×22×28 (2)设月收入在[55,65)的 5 人的编号为 a,b,c,d,e,其中 a,b 为赞成楼市限购令 的人,从 5 人中抽取两人的方法数有 ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de 共 10 种, 7 其中 ab,ac,ad,ae,bc,bd,be 为所求事件数,因此所求概率 P= . 10
10


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