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91导学网 优化方案 第一章第1讲知能训练轻松闯关


1.(2015· 河南省洛阳市统一考试)已知集合 A={1,2,4},则集合 B={(x,y)|x∈A,y ∈A}中元素的个数为( ) A.3 B.6 C.8 D.9 解析:选 D.集合 B 中元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1), (4,2),(4,4),共 9 个. 2.已知集合 A={x|y= 1-x2,x∈R},B={x

|x=m2,m∈A},则( ) A.A B B.B A C.A?B D.B?A 解析:选 B.由题意知 A={x|y= 1-x2,x∈R},∴A={x|-1≤x≤1},∴B={x|x= m2,m∈A}={x|0≤x≤1},∴B A,故选 B. 3. (2014· 高考江西卷)设全集为 R, 集合 A={x|x2-9<0}, B={x|-1<x≤5}, 则 A∩(?RB) =( ) A.(-3,0) B.(-3,-1) C.(-3,-1] D.(-3,3) 解析:选 C.由题意知,A={x|x2-9<0}={x|-3<x<3}, ∵B={x|-1<x≤5},∴?RB={x|x≤-1 或 x>5}. ∴A∩(?RB)={x|-3<x<3}∩{x|x≤-1 或 x>5}={x|-3<x≤-1}. 4. (2015· 福建南安一中期末)全集 U=R, A={x|x2-2x≤0}, B={y|y=cos x, x∈R},则图中阴影部分表示的集合为( ) A.{x|x<-1 或 x>2} B.{x|-1≤x≤2} C.{x|x≤1} D.{x|0≤x≤1} 解析: 选 D. 阴影部分表示的集合是 A∩B. 依题意知, A={x|0≤x≤2}, B={y|-1≤y≤1}, ∴A∩B={x|0≤x≤1},故选 D. 5.(2015· 山东临沂期中)已知全集 U=R,集合 A={x|x2-3x+2>0},B={x|x-a≤0}, 若?UB?A,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,1) B.(-∞,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞) 解析:选 D.∵x2-3x+2>0,∴x>2 或 x<1. ∴A={x|x>2 或 x<1},∵B={x|x≤a}, ∴?UB={x|x>a}. ∵?UB?A,借助数轴可知 a≥2,故选 D. 6.已知集合 A={x|x2-2x+a>0},且 1?A,则实数 a 的取值范围是________. 解析:∵1?{x|x2-2x+a>0},∴1∈{x|x2-2x+a≤0},即 1-2+a≤0,∴a≤1. 答案:(-∞,1] 3 7.(2015· 江西八校联考)已知 R 是实数集,集合 M={x| <1},N={y|y=t-2 t-3,t x ≥3},则 N∩?RM=________. 3 解析:解不等式 <1,得 x<0 或 x>3,所以?RM=[0,3].令 t-3=x,x≥0,则 t=x2 x +3,所以 y=x2-2x+3≥2,即 N=[2,+∞).所以 N∩?RM=[2,3]. 答案:[2,3] 2 ? ? 8. 已知全集 U={-2, -1, 0, 1, 2}, 集合 A=?x|x=n-1,x,n∈Z?, 则?UA=________. ? ?

2 ? ? 解析:因为 A=?x|x=n-1,x,n∈Z?,
? ?

当 n=0 时,x=-2;n=1 时不合题意; n=2 时,x=2;n=3 时,x=1; n≥4 时,x?Z;n=-1 时,x=-1; n≤-2 时,x?Z. 故 A={-2,2,1,-1}, 又 U={-2,-1,0,1,2},所以?UA={0}. 答案:{0} 9.已知集合 A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的 a 的值. (1)9∈(A∩B); (2){9}=A∩B. 解:(1)∵9∈(A∩B), ∴2a-1=9 或 a2=9, ∴a=5 或 a=3 或 a=-3. 当 a=5 时, A={-4,9,25},B={0,-4,9}; 当 a=3 时,a-5=1-a=-2,不满足集合元素的互异性; 当 a=-3 时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9}, 所以 a=5 或 a=-3. (2)由(1)可知,当 a=5 时, A∩B={-4,9},不合题意, 当 a=-3 时,A∩B={9}. 所以 a=-3. 10.(2015· 河北衡水模拟)设全集 I=R,已知集合 M={x|(x+3)2≤0},N={x|x2+x-6 =0}. (1)求(?IM)∩N; (2)记集合 A=(?IM)∩N,已知集合 B={x|a-1≤x≤5-a,a∈R},若 A∪B=A,求实 数 a 的取值范围. 解:(1)∵M={x|(x+3)2≤0}={-3}, N={x|x2+x-6=0}={-3,2}, ∴?IM={x|x∈R 且 x≠-3}, ∴(?IM)∩N={2}. (2)A=(?IM)∩N={2}, ∵A∪B=A,∴B?A, ∴B=?或 B={2}, 当 B=?时,a-1>5-a,得 a>3; ? ?a-1=2 当 B={2}时,? ,解得 a=3, ?5-a=2 ? 综上所述,所求 a 的取值范围为{a|a≥3}.

1.(2015· 河南郑州模拟)已知集合 A={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈R},B={(x,y)|x2+ y =1,x,y∈R},则集合 A∩B 的元素个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 ?x+y-1=0 ? 解析:选 C.法一:(解方程组)集合 A∩B 的元素个数即为方程组? 2 2 解的个数, ?x +y =1 ?
2

? ?x=0, ? ?x=1, 解方程组得? 或? 有两组解,故选 C. ? ? ?y=1 ?y=0, 法二:(数形结合)在同一坐标系下画出直线 x+y-1=0 和圆 x2+y2=1 的图象,

如图,直线与圆有两个交点.即 A∩B 的元素个数是 2,故选 C. 2.已知数集 A={a1,a2,?,an}(1≤a1<a2<?<an,n≥2)具有性质 P:对任意的 i, aj j(1≤i≤j≤n),aiaj 与 两数中至少有一个属于 A,则称集合 A 为“权集”,则( ) ai A.{1,3,4}为“权集” B.{1,2,3,6}为“权集” C. “权集”中可以有元素 0 D. “权集”中一定有元素 1 4 解析:选 B.由于 3×4 与 均不属于数集{1,3,4},故 A 不正确;由于 1×2,1×3, 3 6 6 1 2 3 6 1×6,2×3, , , , , , 都属于数集{1,2,3,6},故 B 正确;由“权集”的定义 2 3 1 2 3 6 aj 可知 需有意义,故不能有 0,同时不一定有 1,C,D 错误,选 B. ai 3. 已知集合 A={x|x2-2x-8≤0}, B={x|x2-(2m-3)x+m(m-3)≤0, m∈R}, 若 A∩B =[2,4],则实数 m=________. ?m-3=2 ? 解析:由题知 A=[-2,4],B=[m-3,m],因为 A∩B=[2,4],故? ,则 m ?m≥4 ? =5. 答案:5 4.某校田径队共 30 人,主要专练 100 m,200 m 与 400 m.其中练 100 m 的有 12 人, 练 200 m 的有 15 人,只练 400 m 的有 8 人.则参加 100 m 的专练人数为________. 解析:用 Venn 图表示 A 代表练 100 m 的人员集合, B 代表练 200 m 的人员集合, C 代表练 400 m 的人员集合, U 代表田径队共 30 人的集合, 设既练 100 m 又练 200 m 的人数为 x,则专练 100 m 的人数为 12-x. ∴12-x+15+8=30, 解得 x=5. 所以专练 100 m 的人数为 12-5=7. 答案:7

5.(2015· 福建三明模拟)已知集合 A={x|1<x<3},集合 B={x|2m<x<1-m}. (1)当 m=-1 时,求 A∪B; (2)若 A?B,求实数 m 的取值范围; (3)若 A∩B=?,求实数 m 的取值范围. 解:(1)当 m=-1 时,B={x|-2<x<2},则 A∪B={x|-2<x<3}.

1-m>2m, ? ? (2)由 A?B 知?2m≤1, ? ?1-m≥3, 得 m≤-2,即实数 m 的取值范围为(-∞,-2]. (3)由 A∩B=?,得 1 ①若 2m≥1-m,即 m≥ 时,B=?,符合题意; 3 1 1 ? ? ?m<3, ?m<3, 1 ②若 2m<1-m,即 m< 时,需? 或? 3 ? ?1-m≤1 ? ?2m≥3, 1 1 得 0≤m< 或?,即 0≤m< . 3 3 综上知 m≥0 即实数 m 的取值范围为[0,+∞). 6.(选做题)(2015· 浙江金丽衢十二校第一次联考)已知集合 M={(x,y)|y=f(x)},若对于 任意(x1, y1)∈M, 存在(x2, y2)∈M, 使得 x1x2+y1y2=0 成立, 则称集合 M 是“垂直对点集”. 判 断下列四个集合是否为“垂直对点集”. 1? ? ①M=?(x,y)|y=x ?;②M={(x,y)|y=sin x+1}; ? ? ③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=ex-2}. 解:依题意, 要使得 x1x2+y1y2=0 成立,只需过原点任作一直线 l1 与该函数的图象相 交,再过原点作与 l1 垂直的直线 l2 也与该函数的图象相交即可.对于①,取 l1:y=x,则 l2: 1 y=-x 与函数 y= 图象没有交点,①中 M 不是“垂直对点集”;③中取 l1:y=0,则 l2:x x =0 与函数 y=log2x 图象没有交点,③中 M 不是“垂直对点集”;如图所示,作出②④中 两个函数的图象知:过原点任作一直线 l1 与该函数的图象相交,再过原点作与 l1 垂直的直 线 l2 也与该函数的图象相交.故②④中的集合 M 是“垂直对点集”.


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