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山东省济宁一中2015届高三上学期第二次月考数学(理)试卷


2014-2015 学年山东省济宁一中高三(上)第二次月考数学试卷 (理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个最 符合题目要求.) 1. 设复数 z 满足 z? (1+i) =2i+1 (i 为虚数单位) , 则复数 z 在复平面内对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知 A 是数集,则“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

3.若非零向量 A.30° B.60

满足 C.120°

, D.150°

,则

的夹角为(



4.已知 f(x)=sinx﹣x,命题 P:? x∈(0, A.P 是假命题, B.P 是假命题, C.P 是真命题, D.P 是真命题,

) ,f(x)<0,则(



5.函数 f(x)=2 ﹣x 的图象为(

|x|

2



A.

B.

C.

D.

6.在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,已知 bcosC+ccosB=2b,则 =( A.2 B. C. D.1



7.若函数

,若 a? f(﹣a)<0,则实数 a 的取值范围是

( ) A. (﹣1,0)∪(1,+∞) B. (﹣∞,﹣1)∪(0,1) ∞) D. (﹣1,0)∪(0,1)

C. (﹣∞,﹣1)∪(1,+

8.函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0)的图象如图所示,为了得到函数 的图象,只需将 y=f(x)的图象( )

A.向左平移 C.向左平移

个单位 B.向右平移 个单位 D.向心平移

个单位 个单位

9.已知偶函数 y=f(x)满足条件 f(x+1)=f(x﹣1) ,且当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=3 + , 则 f(lo 5)的值等于( )

x

A.﹣1 B.

C.

D.1

10.已知函数 f(x)=e ﹣ (x<0)与 g(x)=ln(x+a)图象上存在关于 y 轴对称的点, 则实数 a 的取值范围是( A. (﹣∞, ) B. (﹣∞, ) ) C. (﹣ , ) D. (﹣ , )

x

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分). 11.已知 tanα= ,则 = .

12.函数 f(x)=

的定义域为



13.曲线 xy=1 与直线 y=x 和 y=3 所围成的平面图形的面积为



14.在△ABC 中,

,AD⊥AB,

,则

=



15.对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0) ,定义 f″(x)是 y=f(x)的导函数 y=f′ (x)的导函数,若方程 f″(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0) )为函数 y=f(x)的 “拐点” .可以证明,任何三次函数都有“拐点” ,任何三次函数都有对称中心,且“拐点” 就是对称中心.请你根据这一结论判断下列命题: ①存在有两个及两个以上对称中心的三次函数; ②函数 f(x)=x ﹣3x ﹣3x+5 的对称中心也是函数 y=tan
3 2

3

2

x 的一个对称中心;

③存在三次函数 h(x)方程 h′(x)=0 有实数解 x0,且点(x0,h(x0) )为函数 y=h(x) 的对称中心; ④若函数 g(x)= x ﹣ x ﹣ ﹣1006.5 其中正确命题的序号为
3 2

,则 g(

)+g(

)+g(

)+…+g(

)=

(把所有正确命题的序号都填上) .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 16. 已知命题 P: 函数 f (x) =x +mx +mx﹣m 既有极大值又有极小值; 命题 Q: ? x∈R, x +mx+1 ≥0,如果“P∨Q”为真命题, “P∧Q”为假命题,求实数 m 的取值范围.
3 2 2

17.在△ABC 中,角 A、B、C 对边分别是 a、b、c,且满足 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 ,△ABC 的面积为



,求 b,c.
2

18.已知函数 f(x)=(2

cosωx+sinωx)sinωx﹣sin ( .

+ωx) (ω>0) ,且函数 y=f

(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为
x ﹣x

(Ⅰ)求 f(x)=2 ﹣2 的值和函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ) 求函数 f(x)在区间 上的值域.

19.设函数 f(x)=a ﹣(k﹣1)a (a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (Ⅰ)求 k 值; (Ⅱ)若 f(1)<0,求使不等式 f(x +tx)+f(4﹣x)<0 恒成立的实数 t 的取值范围; (Ⅲ)若 f(1)= ,且 g(x)=a +a m 的值.
2x ﹣2x 2

x

﹣x

﹣2mf(x)在[1,+∞)上的最小值为﹣2,求实数

20.某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为 4 元,并且每件商品需向总店交 a(1≤a ≤3)元的管理费,预计当每件商品的售价为 x(7≤x≤9)元时,一年的销售量为(10﹣x)
2

万件. (Ⅰ)求该连锁分店一年的利润 L(万元)与每件商品的售价 x 的函数关系式 L(x) ; (Ⅱ)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值. 21. (14 分) (2014? 济宁一模)设函数 f(x)=ax﹣2﹣lnx(a∈R) . (Ⅰ)若 f(x)在点(e,f(e) )处的切线为 x﹣ey﹣2e=0,求 a 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)当 x>0 时,求证:f(x)﹣ax+e >0.
x

2014-2015 学年山东省济宁一中高三 (上) 第二次月考数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个最 符合题目要求.) 1. 设复数 z 满足 z? (1+i) =2i+1 (i 为虚数单位) , 则复数 z 在复平面内对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用分的代数形式的混合运算求出复数 z,得到复数的对应点,判断所在象限即可. 解答: 解:复数 z 满足 z?(1+i)=2i+1(i 为虚数单位) , ∴z= = = = + i.

复数对应点( , )在第一象限, 故选:A. 点评: 本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的几何意义,基本知识的考查. 2.已知 A 是数集,则“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 已知 A 是数集, “A∩{0,1}={0}”说明集合 A 中必有 0 元素,不含有 1 元素,利用 子集的性质进行求解; 解答: 解:若“A={0}” , 可得“A∩{0,1}={0}∩{0,1}={0}” , 若“A∩{0,1}={0}” ,可得集合 A 中,0∈A,1? A, 可以取 A={﹣1,0}也满足题意, ∴“A={0}”? “A∩{0,1}={0}” ∴“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的必要不充分条件, 故选 B; 点评: 此题主要考查充分必要条件的定义以及子集的性质,是一道基础题;

3.若非零向量

满足



,则

的夹角为(



A.30° B.60 C.120° D.150° 考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 计算题.

分析: 由(2 + ) ? ? | |=﹣2 ?

=0,化简得到| | =﹣2 ?

2

,结合条件| |=| |,将化简式变为| |

,再结合 cosθ=

,易求出 与 的夹角θ.

解答: 解:∵(2 + ) ? ∴(2 + ) ? 即| | =﹣2 ? 又∵| |=| | ∴| | =| |? | |=﹣2 ? 又由 cosθ=
2 2

=0 =0

=

2

+2 ?

易得:cosθ=﹣ 则θ=120° 故选:C 点评: 若θ为 与 的夹角,则 cosθ= 家熟练掌握. 4.已知 f(x)=sinx﹣x,命题 P:? x∈(0, A.P 是假命题, B.P 是假命题, C.P 是真命题, D.P 是真命题, 考点: 全称命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 先判断命题 P 的真假性,再写出该命题的否定命题即可. 解答: 解:∵f(x)=sinx﹣x,∴f′(x)=cosx﹣1≤0 ∴f(x)是定义域上的减函数, ∴f(x)≤f(0)=0 ,这是利用向量求角的唯一方法,要求大

) ,f(x)<0,则(



∴命题 P:? x∈(0, ∴该命题的否定是

) ,f(x)<0,是真命题; .

故选:D. 点评: 本题考查了命题真假的判断问题,也考查了命题与命题的否定之间的关系,是基础 题. 5.函数 f(x)=2 ﹣x 的图象为(
|x| 2



A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇偶性和函数取值的是否对应进行判断即可. 解答: 解:∵函数 f(x)是偶函数,图象关于 y 轴对称,∴排除 B,D. ∵f(0)=1﹣0=0>0, ∴排除 C, 故选:A. 点评: 本题主要考查函数图象的识别和判断,利用函数的对称性和函数取值符合是否对应 是解决函数图象的基本方法.

6.在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,已知 bcosC+ccosB=2b,则 =( A.2 B. C. D.1



考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦,进而利用两角和公式对等号左边 进行化简求得 sinA 和 sinB 的关系,进而利用正弦定理求得 a 和 b 的关系. 解答: 解:∵bcosC+ccosB=2b, ∴sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA=2sinB, ∴ =2, = ,

由正弦定理知 ∴ = =2,

故选:A. 点评: 本题主要考查了正弦定理的应用,三角函数恒等变换的应用.考查了学生分析和运 算能力.

7.若函数

,若 a? f(﹣a)<0,则实数 a 的取值范围是

( ) A. (﹣1,0)∪(1,+∞) B. (﹣∞,﹣1)∪(0,1) ∞) D. (﹣1,0)∪(0,1) 考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用.

C. (﹣∞,﹣1)∪(1,+

分析: 作函数

的图象,化简 a? f(﹣a)<0 可化为 a

? f(a)>0,从而求解.

解答: 解:作函数

的图象如下,

故 a? f(﹣a)<0 可化为 a? f(a)>0, 即 a 与 f(a)同号,故 a>1 或 a<﹣1, 故选 C.

点评: 本题考查了分段函数的应用,同时考查了函数的奇偶性与不等式的解法,属于中档 题.

8.函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0)的图象如图所示,为了得到函数 的图象,只需将 y=f(x)的图象( )

A.向左平移 C.向左平移

个单位 B.向右平移 个单位 D.向心平移

个单位 个单位

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 函数 f(x)=sin(ωx+? ) (ω>0)的图象可知其周期 T,从而可求得ω,继而可 求得φ,利用三角函数的图象变换及可求得答案. 解答: 解:依题意,f(x)=sin(ωx+? ) (ω>0)的周期 T=2×( ∴ω=2, 又 2× ∴φ= +φ=π, . )=cos[ )﹣ ﹣(2x+ )]=cos( ) ; 个单位. ﹣2x)=cos(2x﹣ ) ; ﹣ )=π= ,

∴f(x)=sin(2x+ ∴f(x+

)=cos[2(x+

]=cos(2x+

∴为了得到函数 y=cos(2x+

)的图 象,只需将 y=f(x)的图象向左平移

故选 C. 点评: 本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,求得ω与φ是关键,考查 推理分析与运算能力,属于中档题.
x

9.已知偶函数 y=f(x)满足条件 f(x+1)=f(x﹣1) ,且当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=3 + , 则 f(lo 5)的值等于( )

A.﹣1 B.

C.

D.1

考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数的值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 通过已知条件判断求出函数的周期,判断对数值的范围,利用偶函数与周期转化自 变量的值满足已知函数表达式,求出函数值即可. 解答: 解:∵偶函数 y=f(x)满足条件 f(x+1)=f(x﹣1) , ∴f(x+2)=f(x) ,周期为:2,

∵当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=3 + , ∴lo 5=﹣ ∈(﹣2,﹣1) ,2﹣ ∈(0,1)

x

f(lo

5)=f(2﹣

)=f(

﹣2)=

=

=1.

故选 D. 点评: 本题考查函数的周期奇偶性以及函数的解析式的应用,考查计算能力.
x

10.已知函数 f(x)=e ﹣ (x<0)与 g(x)=ln(x+a)图象上存在关于 y 轴对称的点, 则实数 a 的取值范围是( A. (﹣∞, ) B. (﹣∞, ) ) C. (﹣ , ) D. (﹣ , )

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 函数 f(x)与 g(x)图象上存在关于 y 轴对称的点,就是 f(﹣x)=g(x)有解, 也就是函数 y=f(﹣x)与函数 y=g(x)有交点, 在同一坐标系内画函数 y=f(﹣x)= = (x<0)与函数 y=g(x)=ln

(x+a)的图象,结合图象解题. 解答: 解:函数 f(x)与 g(x)图象上存在关于 y 轴有对称的点, 就是 f(﹣x)=g(x)有解, 也就是函数 y=f(﹣x)与函数 y=g(x)有交点, 在同一坐标系内画函数 y=f(﹣x)= (x+a)的图象: = (x<0)与函数 y=g(x)=ln

∴函数 y=g(x)=ln(x+a)的图象是把由函数 y=lnx 的图象向左平移且平移到过点(0, ) 后开始,两函数的图象有交点, 把点(0, )代入 y=ln(x+a)得, =lna,∴a= ∴a< , = ,

故选:B. 点评: 本题主要考查函数的图象,把方程的根的问题转化为函数图象的交点问题,体现了 数形结合的思想. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分). 11.已知 tanα= ,则 = 3 .

考点: 二倍角的余弦;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 根据二倍角的三角函数公式,将原式的分子和分母都化成关于 sinα、cosα的二次 齐次式,再将分子和分母都除以 cos α的值,得到关于 tanα的式子,代入题中数据即可求 出原式的值. 解答: 解:∵(sinα+cosα) =sin α+2sinαcosα+cos α,cos2α=cos α﹣sin α ∴ =
2 2 2 2 2 2

=

=

=

=3 故答案为:3 点评: 本题给出α的正切之值,求关于 sinα、cosα的分式的值.着重考查了二倍角的三 角函数公式和同角三角函数的基本关系等知识,属于中档题.

12.函数 f(x)=

的定义域为 (0,1] .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接由根式内部的代数式大于等于 0,对数式的真数大于 0、分母不为 0 联立取交集 即可.

解答: 解:要使函数有意义,则



解得 0<x≤1.

所以原函数的定义域为(0,1]. 故答案为: (0,1]. 点评: 本题主要考查函数求定义域,负数不能开偶次方根,分式函数即分母不能为零,及 对数不等式的解法. 13.曲线 xy=1 与直线 y=x 和 y=3 所围成的平面图形的面积为 4﹣ln3 . 考点: 定积分在求面积中的应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: 由题意利用定积分的几何意义知,欲求由曲线 xy=1,直线 y=x,y=3 所围成的平面 图形的面积曲边梯形 ABD 的面积与直角三角形 BCD 的面积,再计算定积分即可求得. 解答: 解:根据利用定积分的几何意义,得: 由曲线 xy=1,直线 y=x,y=3 所围成的平面图形的面积: S= (3﹣ )dx+ =(3x﹣lnx)| ﹣2=3﹣1﹣1n3+2=4﹣ln3.

故答案为:4﹣ln3

点评: 本题主要考查定积分求曲边梯形的面积.用定积分求面积时,要注意明确被积函数 和积分区间,属于基础题.

14.在△ABC 中,

,AD⊥AB,

,则

=



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的加法和减法的三角形法则,将 则 ? =0,以及 ,即可求得答案. , + ) ? , 转化为向量 和 表示,利用 AD⊥AB,

解答: 解:在△ABC 中, =( + ) ? =(

又∵ ∴ =(1﹣ =(1﹣

=



, ) + + ⊥ , )×0+ = , | + ? | ]?

=[(1﹣ ) ) ? ?

又∵AD⊥AB,即 ∴ ∴ ∴ ? =0,且 =(1﹣ = .

故答案为: . 点评: 本题考查了平面向量数量积的运算.若两条直线直线垂直,则两直线上的向量也垂 直,等价于两向量的数量积为 0,解题中还运用了向量的模的性质,即 在解决向量问题时会经常用到.属于中档题. 15.对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0) ,定义 f″(x)是 y=f(x)的导函数 y=f′ (x)的导函数,若方程 f″(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0) )为函数 y=f(x)的 “拐点” .可以证明,任何三次函数都有“拐点” ,任何三次函数都有对称中心,且“拐点” 就是对称中心.请你根据这一结论判断下列命题: ①存在有两个及两个以上对称中心的三次函数; ②函数 f(x)=x ﹣3x ﹣3x+5 的对称中心也是函数 y=tan
3 2 3 2

=| | ,这个性质

2

x 的一个对称中心;

③存在三次函数 h(x)方程 h′(x)=0 有实数解 x0,且点(x0,h(x0) )为函数 y=h(x) 的对称中心; ④若函数 g(x)= x ﹣ x ﹣
3 2

,则 g(

)+g(

)+g(

)+…+g(

)=

﹣1006.5 其中正确命题的序号为 ②③④ (把所有正确命题的序号都填上) . 考点: 命题的真假判断与应用;导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: ①③利用三次函数对称中心的定义和性质进行判断; ②根据新定义求出对称中心,而 y=tan ④求得函数 g(x)= x ﹣ x ﹣ 求出值.
3 2

x 的对称中心是(

) ,继而判断;

的对称中心(

) ,g(x)+g(1﹣x)=﹣1,继而

解答: 解:任何三次函数都有且只有一个对称中心,故①不正确; ∵f(x)=x ﹣3x ﹣3x+5, 2 ∴f′(x)=3x ﹣6x﹣3, ∴f″(x)=6x﹣6, 令 f″(x)=6x﹣6=0, 解得 x=1,f(1)=0, ∴f(x)=x ﹣3x ﹣3x+5 的对称中心是(1,0) , 当 x=1 时, ( ,0)是函数 y=tan x 的一个对称中心,故②正确,
3 2 3 2

∵任何三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心, ∴存在三次函数 f′(x)=0 有实数解 x0,点(x0,f(x0) )为 y=f(x)的对称中心,故③ 正确. ∵g(x)= x ﹣ x ﹣ ∴g′(x)=x ﹣x, g''(x)=2x﹣1, 令 g''(x)=2x﹣1=0, 解得 x= , g( )= ∴函数 g(x)= x ﹣ x ﹣ ∴g(x)+g(1﹣x)=﹣1, ∴g( )+g( )+g( )+…+g( )=﹣1006.5,故④正确.
3 2 2 3 2



= 的对称中心是(

, )

所以正确命题的序号为②③④ 故答案为:②③④. 点评: 本小题考查新定义,考查函数与导数等知识,考查化归与转化的数学思想方法,考 查计算能力,属于中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 16. 已知命题 P: 函数 f (x) =x +mx +mx﹣m 既有极大值又有极小值; 命题 Q: ? x∈R, x +mx+1 ≥0,如果“P∨Q”为真命题, “P∧Q”为假命题,求实数 m 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 导数的综合应用;简易逻辑. 分析: 根据极值的概念,及不等式 x +mx+1≥0 的解集为 R 时判别式△的取值即可求出命题 P,Q 下 m 的取值范围,而根据 P∨Q 为真命题,P∧Q 为假命题即可知道 P 真 Q 假,或 P 假 Q 真,所以求出这两种情况下的 m 的取值范围再求并集即可. 解答: 解:若函数 f(x)=x +mx +mx﹣m 既有极大值又有极小值,则: 2 2 f′(x)=3x +2mx+m 有两个不同的零点,所以△=4m ﹣12m>0; 解得 m<0,或 m>3; 又? x∈R,x +mx+1≥0 为真命题时,△=m ﹣4≤0,﹣2≤m≤2;
2 2 3 2 2 3 2 2

由“P∨Q”为真命题, “P∧Q”为假命题,知命题 P,Q 一真一假; ∴ ,或 ;

解得 m<﹣2,或 m>3,或 0≤m≤2; ∴实数 m 的取值范围: (﹣∞,﹣2)∪[0,2]∪(3,+∞) . 点评: 考查极值的概念,在极值点处函数导数的取值情况,以及一元二次不等式的解集为 R 时,判别式△的取值情况,以及 P∨Q,P∧Q 的真假和 P,Q 真假的关系.

17.在△ABC 中,角 A、B、C 对边分别是 a、b、c,且满足 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 ,△ABC 的面积为



,求 b,c.

考点: 余弦定理的应用;平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (I)由题意可得 2bccosA=a ﹣b ﹣c ﹣2bc,再由余弦定理求出 cosA,从而确定 A 的大小; (II)利用三角形的面积公式 S= bcsinA 得 bc=16;再由余弦定理得 b +c +bc=48,联立求 出 b、c. 解答: 解: (Ⅰ)由题意可得 2bccosA=a ﹣b ﹣c ﹣2bc, 2 2 2 由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA 得 4bccosA=﹣2bc, ∴ ,∵0<A<π,∴ ,cosA=﹣ , ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



(Ⅱ)∵sinA= ∴
2

a =b +c ﹣2bccosA?b +c +bc=48, ? b=c=4, 故 b=4,c=4. 点评: 本题考查余弦定理的应用,考查三角形的面积公式的应用,结合题设条件,利用余 弦定理求出角 A 的大小是解答本题的关键.
2

18.已知函数 f(x)=(2

cosωx+sinωx)sinωx﹣sin ( .

+ωx) (ω>0) ,且函数 y=f

(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为
x ﹣x

(Ⅰ)求 f(x)=2 ﹣2 的值和函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ) 求函数 f(x)在区间 上的值域.

考点: 三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)化简可得 f(x)= 的对称轴的距离为 ﹣ ) ,由 ,知 ,可得 T=π, ≤ ,由函数 y=f(x)对称中心到最近 =π,ω=1,所以解得:f(x)=2sin(2x +kπ +kπ. )≤1,即可求得

+2kπ≤2x﹣ ,可得﹣

+2kπ得:﹣ ≤

(Ⅱ)由 0≤x≤

≤2x﹣

,可得﹣ ≤sin(2x﹣

﹣1≤f(x)≤2,即可求得函数 f(x)的值域. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)=2 = cosωxsinωx+sin ωx﹣cos ωx
2 2

…(3 分) ,知 ,

由函数 y=f(x)对称中心到最近的对称轴的距离为 即 T=π, =π,ω=1,…(5 分) ) , +2kπ得:﹣ +kπ

所以 f(x)=2sin(2x﹣ 由 +2kπ≤2x﹣ ≤

+kπ. +kπ],k∈Z.…(8 分)

所以函数 f(x)的单调递增区间为[﹣ (Ⅱ)因为 0≤x≤ 所以﹣ ≤sin(2x﹣ ,所以﹣ )≤1 ≤2x﹣

+kπ, ≤

所以﹣1≤f(x)≤2 所以函数 f(x)的值域为[﹣1,2].…(12 分) 点评: 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用,三角函数的图象与性质,属于基本知 识的考查. 19.设函数 f(x)=a ﹣(k﹣1)a (a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (Ⅰ)求 k 值; (Ⅱ)若 f(1)<0,求使不等式 f(x +tx)+f(4﹣x)<0 恒成立的实数 t 的取值范围; (Ⅲ)若 f(1)= ,且 g(x)=a +a m 的值. 考点: 函数恒成立问题;函数与方程的综合运用. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
2x ﹣2x 2 x ﹣x

﹣2mf(x)在[1,+∞)上的最小值为﹣2,求实数

分析: (Ⅰ)根据函数 f(x)=a ﹣(k﹣1)a (a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数, 直接由 f(0)=0 求得 k 的值; (Ⅱ)把(Ⅰ)求得的 k 的值代入函数解析式,判断其单调性,然后利用函数的单调性把不 等式 f(x +tx)+f(4﹣x)<0 转化为关于 x 的一元二次不等式,利用判别式小于 0 求得 t 的取值范围; (Ⅲ)由 f(1)= 求得 a 的值,化简函数 g(x) ,令 t=f(x)=2 ﹣2 换元,利用函数的 单调性求得 t 的范围,然后对 m 分类求得答案. 解答: 解: (Ⅰ)∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,∴f(0)=0, ∴1﹣(k﹣1)=0,∴k=2, 经检验知:k=2 满足题意; (Ⅱ)f(x)=a ﹣a (a>0 且 a≠1) , ∵f(1)<0,∴ ,
x ﹣x x ﹣x 2

x

﹣x

又 a>0,且 a≠1,∴0<a<1, ∵a 单调递减,a 单调递增,故函数 f(x)在 R 上单调递减. 2 不等式化为 f(x +tx)<f(x﹣4) , 2 2 ∴x +tx>x﹣4,即 x +(t﹣1)x+4>0 恒成立, 2 ∴△=(t﹣1) ﹣16<0,解得﹣3<t<5. (Ⅲ)∵ ∴
2 x ﹣x

, ,即 2a ﹣3a﹣2=0, (舍去) .
2x ﹣2x x ﹣x x ﹣x 2 x ﹣x

∴a=2 或 a=

∴g(x)=a +a ﹣2m(2 ﹣2 )=(2 ﹣2 ) ﹣2m(2 ﹣2 )+2. x ﹣x 令 t=f(x)=2 ﹣2 , x ﹣x 由(Ⅰ)可知 f(x)=2 ﹣2 为增函数, ∵x≥1,∴t≥f(1)= , 令 若 若 ,当 t=m 时, ,当 t= 时, , ,∴m=2; ,解得 ,故舍去.

综上可知 m=2. 点评: 本题考查了函数恒成立问题,考查了函数的性质及其应用,考查了数学转化思想方 法及分类讨论的数学思想方法,是中档题. 20.某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为 4 元,并且每件商品需向总店交 a(1≤a ≤3)元的管理费,预计当每件商品的售价为 x(7≤x≤9)元时,一年的销售量为(10﹣x)
2

万件. (Ⅰ)求该连锁分店一年的利润 L(万元)与每件商品的售价 x 的函数关系式 L(x) ;

(Ⅱ)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数模型的选择与应用. 专题: 应用题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)根据条件建立利润 L(万元)与每件商品的售价 x 的函数关系式 L(x) ; (Ⅱ)利用导数求利润函数的最值即可. 解答: 解: (Ⅰ)由题得该连锁分店一年的利润 L(万元)与售价 x 的 函数关系式为 L(x)=(x﹣4﹣a) (10﹣x) ,x∈[7,9]. 2 (Ⅱ)求函数的导数 L'(x)=(10﹣x) ﹣2(x﹣4﹣a) (10﹣x)=(10﹣x) (18+2a﹣3x) , 令 L′(x)=0,得 ∵1≤a≤3, ∴ ①当 . ,即 时, 或 x=10,
2

∴x∈[7,9]时,L'(x)≤0,L(x)在 x∈[7,9]上单调递减, 故 L(x)max=L(7)=27﹣9a. ②当 ∴ ,即 时,

时,L′(x)>0; 时,L'(x)<0,

∴L(x)在 故 答:当 9a 万元; 当

上单调递增;在 .

上单调递减,

每件商品的售价为 7 元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,最大值为 27﹣

每件商品的售价为 万元.

元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,最大值为

点评: 本题主要考查函数的应用问题,利用导数解决生活中的优化问题,考查学生应用能 力. 21. (14 分) (2014? 济宁一模)设函数 f(x)=ax﹣2﹣lnx(a∈R) . (Ⅰ)若 f(x)在点(e,f(e) )处的切线为 x﹣ey﹣2e=0,求 a 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)当 x>0 时,求证:f(x)﹣ax+e >0.
x

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点 切线方程. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出函数 f(x)的导数并求出切点,运用点斜式方程写出切线方程并化为一 般式,对照条件求出 a; (Ⅱ)求出导数 f'(x) ,对 a 讨论,分 a≤0,a>0,分别求出单调区间,注意定义域: (0, +∞) ; (Ⅲ)运用分析法证明:f(x)﹣ax+e >0.首先化简左边并构造函数:g(x)=e ﹣lnx﹣ 2(x>0) ,只需要证明 g(x)>0,通过导数 g'(x)的单调性,运用零点存在定理证明 g' (x)在(0,+∞)上有唯一零点,设为 t,由导函数 g'(x)的单调性,得到 g'(x)在(0, t)上小于 0,在(t,+∞)上大于 0,从而得到 g(x)在 x>0 上的单调性,从而得出 g(x) 的极小值也是最小值 g(t) ,证明 g(t)不小于 0,由 <t<1 得 g(t)>0,从而原不等 式成立. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)=ax﹣2﹣lnx(x>0) , ∴f'(x)=a﹣ = ,
x x

又 f(x)在点(e,f(e) )处的切线为 x﹣ey﹣2e=0, ∴f'(e)=a﹣ = ,故 a= ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f'(x)=a﹣ = (x>0) ,

当 a≤0 时,f'(x)<0 在(0,+∞)上恒成立, ∴f(x)在(0,+∞)上是单调减函数, 当 a>0 时,令 f'(x)=0,则 x= , 令 f'(x)<0,则 0<x< ,f'(x)>0,则 x> , ∴f(x)在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增, 综上可得:当 a≤0 时,f(x)的单调减区间为(0,+∞) , 当 a>0 时,f(x)的单调减区间为(0, ) ,f(x)的单调增区间为( ,+∞) ; (Ⅲ)当 x>0 时,要证 f(x)﹣ax+e >0,即证 e ﹣lnx﹣2>0, x 令 g(x)=e ﹣lnx﹣2(x>0) ,只需证 g(x)>0, ∵g'(x)=ex﹣ ,由指数函数和幂函数的单调性知,g‘ (x)在(0,+∞)上递增,
x x

又 g'(1)=e﹣1>0,g'( )=

﹣3<0,∴g'(1) ? g'( )<0,

∴g'(x)在( ,1)内存在唯一的零点,则 g'(x)在(0,+∞)上有唯一零点, 设 g'(x)的零点为 t,则 g'(t)=e ﹣ =0,即 e = ( <t<1) ,
t t

由 g'(x)的单调性知: 当 x∈(0,t)时,g'(x)<g'(t)=0,当 x∈(t,+∞)时,g'(x)>g'(t)=0, ∴g(x)在(0,t)上为减函数,在(t,+∞)上为增函数, ∴当 x>0 时,g(x)≥g(t)=e ﹣lnt﹣2= ﹣ln 又 <t<1,等号不成立,∴g(x)>0, ∴当 x>0 时,f(x)﹣ax+e >0. 点评: 本题是导数在函数中的综合运用,考查应用导数求曲线上某一点处的切线方程,求 函数的单调区间,求函数的极值和最值,考查构造函数和分类讨论的数学思想方法,运用分 析法证明不等式的重要方法,是一道综合题.
x t

﹣2= +t﹣2≥2﹣2=0,


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