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三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第七章不等式第二节一元二次不等式及其解法课时跟踪检测理


课时跟踪检测(三十七)
?一抓基础,多练小题做到眼疾手快

一元二次不等式及其解法
1

1.设集合 A={x|x +x-6≤0},集合 B 为函数 y= ________.

2

x-1

的定义域,则 A∩B 等于

解析:A={x|x

+x-6≤0}={x|-3≤x≤2},由 x-1>0 得 x>1,即 B={x|x>1},所以

2

A∩B={x|1<x≤2}.
答案:(1,2] 2.不等式 2x -x-1<0 的解集为________. 1 2 解析:不等式 2x -x-1<0 可化为(2x+1)(x-1)<0,解得- <x<1. 2
2

? 1 ? 答案:?- ,1? ? 2 ?
3.若集合 A={x|ax -ax+1<0}=?,则实数 a 的取值范围是________. 解析:由题意知 a=0 时,满足条件.
?a>0, ? a≠0 时,由? 2 ? ?Δ =a -4a≤0,
2

得 0<a≤4,所以实数 a 的取值范围是[0,4].

答案:[0,4] 4.不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集是________. 解析:不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集即 x(x-2)<0 的解集,解得 0<x<2. 答案:{x|0<x<2}

? 1 1? 2 2 5.已知关于 x 的不等式 ax +2x+c>0 的解集为?- , ?,则不等式-cx +2x-a>0 的 ? 3 2?
解集为________. 1 1 2 ? ?-3+2=-a, 解析:依题意知,? 1 1 c ? ?-3×2=a, ∴解得 a=-12,c=2, ∴不等式-cx +2x-a>0, 即为-2x +2x+12>0,即 x -x-6<0, 解得-2<x<3. 所以不等式的解集为(-2,3). 答案:(-2,3) ?二保高考,全练题型做到高考达标
1
2 2 2

1.已知不等式 x -2x-3<0 的解集为 A,不等式 x +x-6<0 的解集为 B,不等式 x +ax+b<0 的解集为 A∩B,则 a+b 等于________.

2

2

2

解析:由题意得,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},∴A∩B={x|-1<x<2}, 由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,则 a+b=-3. 答案:-3
? ?x -4x+3<0, 2.不等式组? 2 ?2x -7x+6>0 ?
2 2

的解集是________.

解析:∵x -4x+3<0,∴1<x<3. 又∵2x -7x+6>0, ∴(x-2)(2x-3)>0, 3 ∴x< 或 x>2, 2
2

? 3? ∴原不等式组的解集为?1, ?∪(2,3). ? 2? ? 3? 答案:?1, ?∪(2,3) ? 2?
3 2 3.(2016·盐城调研)若不等式 2kx +kx- <0 对一切实数 x 都成立,则 k 的取值范围 8 为________. 解析:当 k=0 时,显然成立; 3 2 当 k≠0 时,即一元二次不等式 2kx +kx- <0 对一切实数 x 都成立, 8

k<0, ? ? 则? 2 ? 3? k -4×2k×?- ?<0, ? ? 8? ?
解得-3<k<0. 3 2 综上,满足不等式 2kx +kx- <0 对一切实数 x 都成立的 k 的取值范围是(-3,0]. 8 答案:(-3,0] 4.某商场若将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售,每天可销售 100 件,现准备采 用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高 1 元,销售量就要减少 10 件.那么 要保证每天所赚的利润在 320 元以上,销售价每件应定为________.(用区间表示) 解析:设销售价定为每件 x 元,利润为 y,则:

y=(x-8)[100-10(x-10)],
依题意有,(x-8)[100-10(x-10)]>320, 即 x -28x+192<0,
2
2

解得 12<x<16, 所以每件销售价应为 12 元到 16 元之间. 答案:(12,16) 5. 若不等式 x -(a+1)x+a≤0 的解集是[-4,3]的子集, 则 a 的取值范围是________. 解析:原不等式为(x-a)(x-1)≤0, 当 a<1 时,不等式的解集为[a,1], 此时只要 a≥-4 即可,即-4≤a<1; 当 a=1 时,不等式的解为 x=1,此时符合要求; 当 a>1 时,不等式的解集为[1,a], 此时只要 a≤3 即可, 即 1<a≤3.综上可得-4≤a≤3. 答案:[-4,3] 6.不等式 x +ax+4<0 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是________. 解析:∵不等式 x +ax+4<0 的解集不是空集, ∴Δ =a -4×4>0,即 a >16. ∴a>4 或 a<-4. 答案:(-∞,-4)∪(4,+∞)
2 2 2 2 2

? 1? 7.若 0<a<1,则不等式(a-x)?x- ?>0 的解集是________. ?
a?

? 1? 解析:原不等式为(x-a)?x- ?<0, ?
a?
1 由 0<a<1 得 a< ,

a

1 ∴a<x< .

a

? ? 1 ? 答案:?x?a<x< ? ?

?

a

? ? ? ? ?

8.(2016·常州调研)在 R 上定义运算:?

?a b? ?x-1 a-2? ?=ad-bc.若不等式? ?≥1 ?c d? ?a+1 x ?

对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的最大值为________. 解析:原不等式等价于 x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1, 即 x -x-1≥(a+1)(a-2)对任意 x 恒成立,
2

x2-x-1=?x- ?2- ≥- , 2

? ?

1?

?

5 4

5 4

5 2 1 3 所以- ≥a -a-2,解得- ≤a≤ . 4 2 2
3

3 答案: 2 9.已知 f(x)=-3x +a(6-a)x+6. (1)解关于 a 的不等式 f(1)>0; (2)若不等式 f(x)>b 的解集为(-1,3),求实数 a,b 的值. 解:(1)∵f(x)=-3x +a(6-a)x+6, ∴f(1)=-3+a(6-a)+6=-a +6a+3, ∴原不等式可化为 a -6a-3<0, 解得 3-2 3<a<3+2 3. ∴原不等式的解集为{a|3-2 3<a<3+2 3}. (2)f(x)>b 的解集为(-1,3)等价于方程-3x +a(6-a)x+6-b=0 的两根为-1,3,
2 2 2 2 2

a?6-a? ? ?-1+3= 3 , 等价于? 6-b ?-1×3=- 3 , ?
2

解得?

?a=3± 3, ?b=-3.

10.已知函数 f(x)=x -2ax-1+a,a∈R. (1)若 a=2,试求函数 y=

f?x? (x>0)的最小值; x

(2)对于任意的 x∈[0,2],不等式 f(x)≤a 成立,试求 a 的取值范围.

f?x? x2-4x+1 1 解:(1)依题意得 y= = =x+ -4. x x x
1 因为 x>0,所以 x+ ≥2.

x

1 当且仅当 x= 时,即 x=1 时,等号成立.

x

所以 y≥-2. 所以当 x=1 时,y=

f?x? 的最小值为-2. x

(2)因为 f(x)-a=x -2ax-1, 所以要使得“? x∈[0,2],不等式 f(x)≤a 成立”只要“x -2ax-1≤0 在[0,2]恒成 立”. 不妨设 g(x)=x -2ax-1, 则只要 g(x)≤0 在[0,2]上恒成立即可. 所以?
?g?0?≤0, ? ? ?g?2?≤0,
2 2

2

4

?0-0-1≤0, ? 即? ?4-4a-1≤0, ?

3 解得 a≥ . 4

?3 ? 则 a 的取值范围为? ,+∞?. ?4 ?
?三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.(2016·苏州名校联考)若关于 x 的不等式 x -4x-2-a>0 在区间(1,4)内有解,则 实数 a 的取值范围是________. 解析:不等式 x -4x-2-a>0 在区间(1,4)内有解等价于 a<(x -4x-2)max, 令 g(x)=x -4x-2,x∈(1,4), ∴g(x)<g(4)=-2, ∴a<-2. 答案:(-∞,-2) 2.在 R 上定义运算⊙:x⊙y=x(1-y),若不等式(x-a)⊙(x+a)<1 对任意实数 x 都 成立,则实数 a 的取值范围是______________. 解析:由题意知,(x-a)⊙(x+a)<1?(x-a)(1-x-a)<1?x -x-(a -a-1)>0. 因上式对 x∈R 都成立, 所以 Δ =1+4(a -a-1)<0, 1 3 2 即 4a -4a-3<0.所以- <a< . 2 2
2 2 2 2 2 2 2

? 1 3? 答案:?- , ? ? 2 2?
3.甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1≤x≤10),每小时可 3? ? 获得利润是 100?5x+1- ?元.

?

x?

(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求 最大利润. 解:(1)根据题意, 3? ? 200?5x+1- ?≥3 000,

?

x?

3 整理得 5x-14- ≥0,

x

即 5x -14x-3≥0, 又 1≤x≤10,可解得 3≤x≤10.
5

2

即要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元,x 的取值范围是[3,10]. (2)设利润为 y 元,则

y=

3? 900 ? ·100?5x+1- ?

x

?

x?

1 3? 4? =9×10 ?5+ - 2?

?

x x?

?1 1?2 61? 4? =9×10 ?-3? - ? + ?, ? ?x 6? 12?
故 x=6 时,ymax=457 500 元. 即甲厂以 6 千克/小时的生产速度生产 900 千克该产品获得的利润最大, 最大利润为 457 500 元.

6


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