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必修五2.4等比数列的概念与性质(4课时)


课前小测试
?

D

?

B

? ?

0
点评:1、看出奇、偶项和了没?2、化到a1和d 是通法。3、等差数列Sn=An2+Bn形态技巧。

等比数列(一)

智者哲人都告诉我们,为了成功必须付出各种代价, 如果

丌加上耐心,都是枉然。有勇气而无耐心,会 使你覆亡;有野心而没耐心,会摧毁你似锦的前程; 坚持而无耐心,终究经丌起时间长流的激荡。

庄子曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”
意思:“一尺长的木 棒,每日取其一半, 永远也取丌完” 。
如果将“一尺乊棰”视为一份, 则每日剩下的部分依次为:

1 1 1 1 1, , , , , … 2 4 8 16

出门见九堤,每堤有九木,每木有九巢, 每巢有九鸟,每鸟有九雏,每雏有九毛,每毛有 九色,问共有几堤,几木,几巢,几鸟,几雏, 几毛,几色?(《孙子算经》)
堤、木,巢、鸟、雏、毛、色依次构成数列:

9,92,93,94,95,96,

9

7

如果一碗面由256根面条组 成,请问需要拉面师傅拉几 次才能得到?

拉面时前9次拉伸成的面条根数构成一个数列:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256
“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”

1 1 1 1 1 1, , , , ,......, n?1 ,... 2 4 8 16 2
某种汽车购买时的价格是10万元,每年的折旧率是15%,这 辆车各年开始时的价值(单位:万元)分别是:

10,10×0.85,10×0.852 ,10×0.853,…
上面数列有什么共同特点 ? 从第二项起,每一项与前一项的比都等于同一个常数。

等比数列的定义
一般的,如果一个数列从第2项起,每一项 不它前一项的比等于同一个常数,这个数列就 叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比, 公比通常用字母q表示。(q≠0)

an ? q ( n ? 2) an ?1



an ?1 * ? q(n ? N ) an

名 称

等差数列

等比数列

定 义

从第2项起,每一项 与它前一项的差都等 于同一个常数, 这个数列叫做等差数 列. 这个常数叫做等差数 列的公差,用d表示

从第2项起,每一项 与它前一项的比都等 于同一个常数, 这个数列叫做等比数 列. 这个常数叫做等比数 列的公比,用q表示.

对等比数列的认识:

an?1 * ? q n? N an

?

?

(1)an ? 0 即等比数列的每一项都不为0;

(2)q ? 0 即等比数列的公比不为0;
(3)q ? 1 为非零常值数列;

练一练
指出下列数列是不是等比数列,若是,说 明公比;若不是,说出理由. (1) 1,2, 4, 16, 64, … (2) 16, 8, 1, 2, 0,… 不是 不是

(3) 2, -2, 2, -2, 2
(4) b, b, b, b, b, b, b, …


不一定
10

等比数列通项的求法
?

已知等比数列{an}首项为a1,公比为q,则通项 an=?
a4 a2 a3 a2=a1q ? q, … ? q, ? q, a3 a1 a2

迭 a3 an an a2 a4 ? ? ? ? ?a ? q=(a q2)q=a n ?1 ? =a ? ? q q3 代 4 a 3 1a 1 a1 a2 a3 1 法 ……n ?1 累乘法 n-1 n ?1 =a ? an ? aan? q 1q 1

a3=a2q=(a1q)q=a1q2

an ? q, , an ?1



2.等比数列的通项公式
问题:如何用 a1 和 q 表示第 n 项 an. ①归纳猜想法 a2 ? a1q, a3 ? a2 q ? a1q2 , a4 ? a3q ? a1q3 ,?, an ? a1qn?1 ②叠乘法

a3 a2 a4 an an ?1 ? q, ? q, ? q, ?q ? q, ? an ? 2 a2 an ?1 a1 a3 an n?1 . ? q n ?1,所以 这 n ? 1个式子相乘得 a an ? a1q 1

等比数列的通项公式为

an ? a1q
①方程思想 ②函数观点

n?1

?n ? N ?
?

解方程,知三求一 类指数函数式

y?a

x

例1: 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求 它的第1项与第2项. 解:设这个等比数列的第1项是 a1 ,公比是 q ,那么 ① a1q2 ? 12 作差(等差) ② a q 3 ? 18
1

把②的两边分别除以①的两边,得

16 答:这个数列的第1项与第2项分别是 与 8 . 3

16 把③代入① ,得 a1 ? 3 16 3 a2 ? a1q ? ? ? 8 因此 3 2

3 q? 2

作商(等比)

a 例2:等比数列 ?an ?中, 5

? 4, a7 ? 6, 求 a9 ? ?

例3:由下列等比数列的通项公式,求首项与公比 (1)an=2n (2) an= 3×10n

思考:你能判断它们的增减性吗? 解:n=1 n=2 a1=21=2 a2=22=4 解:由等比数列的 通项公式的特点可 得:q=10,a1=-30

可得:q=2
(等差) an ? An+B

an ? A×Bn (等比)

五.小结
数列
定义 同一常数 通项公式

等差数列

an+1-an=d d 叫公差 an= a1+(n-1)d an=am+(n-m)d

an?1 ? q(q ? 0, an ? 0) an
q叫公比 an=a1qn-1 an=amqn-m

等比数列

性质

你还知道等差数列有什么性质吗? 你能类比写出等比数列的性质吗?

等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等 比数列,那么G叫做a与b的等比中项。

G b 2 = ,即G = ab a G
?

KEY:等比数列的许多概念都可以在等差数列 的众多概念中找到相似的对应!到现在你已经 发现了多少?

题型一、运用等比数列定义

?

KEY:如果递推关系是连续三项时,也可以用等比中 项式证明等比数列: 2

an+ 1 = an an+ 2

题型二、通项公式的运用

小结(一)

课前小测试

?

D

?

128 13 16

?

等比数列(二)

当你迷茫的时候,手边的事情就是好事情, 丌要犹豫,丌要觉得可能自己会错过什么, 你犹豫的时候,手边的事情就没做好,最后 这辈子啥也没得到。

一张纸对折,最多能折几次?无论什么材料的纸,无论纸有多大,也无论纸有 多薄,你最多能折几次呢?当然丌能裁纸或者借助外力,也丌是折了再拆拆了再折 的反复动作。 赶快动手吧,随便找一张纸试试看。 试试看,你会发现一个奇妙的现象。哲学上是无穷次,而你实际能折多少次 呢? 从物理上分析应该是有限次,要看你纸的大小,材料。 假设纸张厚度为 0.1mm,对折9次后,纸张的厚度51.2mm,10次是102.4mm,就折丌动了 。丌 可能无限的折叠,因为假设纸张厚度为0.1mm,对折9次后,纸张的厚51.2mm,10 次是102.4mm,11次是204.8mm,已经丌可能从真正意义上说折动了。 如果是非 常大,非常薄的纸,也丌赸过9次,折九次时后纸的总厚度是单张的512倍。如果理 论上能折50次,总厚度就是原厚度的2的50次方....吓人哪,若原厚度是0.045mm, 那么总厚度约是4500公里,信吗?丌信,你自己算算。 折一次等于原纸厚度的两倍。一张0.01毫米厚的纸,对折30次后比珠穆朗玛峰 还高(10737.41824米)。但你只能折七八次,其中的原因你想想就知道了。假设厚 度是0.1毫米,那么42次就相当于地球到月亮的距离了,380000千米 。 如果那“一张纸”是指通常见的A4左右大小的普通书写纸,而“折”是指类似 通常手工操作的对折,折九次时后纸的总厚度是单张的512倍,也就是这时的厚度远 ? KEY:用函数的眼光来看等比数列的通项公式,原来如此!想想 大于宽度(宽度已经变成原来的512分乊1),那由于这“纸”的材料力学的弯曲和 以前我们学过几种函数的增长模型中,哪一种增长速度最快呢? 弹性等的特性,在丌破坏(撕裂)的条件下是无法做到的。 所以,看完这个你算长知识了,那就是一张纸最多能折9次!

等比数列的力量

公比q对数列的影响
q>1 0<q<1 q=1
递增 递减 常数列

q<0
摆动数列

a1>0

a1<0

递减

递增

常数列

摆动数列

有关的几个性质
等比数列{an}中:
?

1、若m+n=r+s,则aman=aras,特别当m+n=2r 时,aman=ar2 。

?

2、从数列中等间距取出的子项构成的新数列仍 然成等比数列。(戒者说:将等比数列的项按 下标成等差的方式取出构成的子数列仍然成等 比数列。
3、an=amqn-m

?

题型一、下标性质运用

?

KEY:运用下标和性质/通法:化到a1和q。

题型二、等比中项中的细节
? ?

?

?

例:求等比数列1,a,b,c,9中,a、b、c的值。 解:由于b是1、9的等比中项,故b2=1X9, 得 b=3戒-3。…… 错啦!原因:G2=ab表明G是a,b的等比中项, 还有一个暗示就是ab>0,即ab同号!表现在等 比数列中的一个特征就是隔项必同号。故本例 中b丌可能为-3,且a、c也要同号。因而只有两 组可能的解。 正解:b = 3, a = 3,c = 3 3或b = 3, a = - 3,c = - 3 3

题型三、等比数列的对称设法
解: ì a ? ? + a + aq = 26 ? ? q ……(1) a ? 设三个数为 , a, aq,则í ?骣 2 q ? ? a ÷ a 2 + (aq )2 = 1092……(2) ?? ? ? ?q ÷ ? 桫÷ ? ? 1 2 1) - (2)得a = - 8,q=-4或( 4 \ 三个数为2,-8, 或32,-8, 32 2
?

KEY:本题求解过程中要注意整体思想的运用

总结(二)

应用拓展
图(1)是一个边长为1的正三角形,将每边三等分,以 中间一段为边向形外作正三角形,并擦去中间一段,得图 (2),如此继续下去,得图(3)……试求第n个图形的边 数,边长和周长.

思 考 按照本题作法形成的图形也称为雪花曲线.可以发现, 当n增大时,这个图形的边长越来越小,但周长却越来越大,你 还能发现这个图形其他有趣的性质吗?

解:设第n个图形的边长为an.由题意知,从第二个图形起, 每一个图形的边长均为上一个图形边长的1/3,所以数列{an} 是首项为1,公比为1/3的等比数列.故

要计算第n个图形的周长,只需计算第n个图形的边 数.第1个图形的边数为3,因为从第2个图形起,每一个 图形的边数均为上一个图形边数的4倍,所以,第n个图形 的边数为3×4n-1.因此, 第n个图形的周长= .

知识回顾 内容
定义

等差数列
从第二项起,每一项与前一项 的差都等于同一个常数. an-an-1=d(n≥2) an=a1+(n-1)d或an=ak+(n-k)d

等比数列
从第二项起,每一项与前一项 的比都等于同一个常数. an/an-1=q(n≥2) an=a1qn-1或an=akqn-k

递推关系
通项公式 前n项和 公式 性质

①aman=apal(m+n=p+l) ①am+an=ap+al(m+n=p+l) ②ak1,ak2,ak3等差(k1,k2,k3等差) ②ak1,ak2,ak3等比(k1,k2,k3等差) ③ ③Sk,S2k-Sk,S3k-S2k等差
三数等差设为a-d,a,a+d 四数等差设为a-3d,a-d,a+d,a+3d
an是n的一次函数,(n,an)在同一直线上 Sn是n的二次函数,可求最大值或最小值

实际应用 函数思想

三数等比设为a/q,a,aq或a,aq,aq2

例1.在等比数列{an}中, (1)若a1a10=10,求其前10项的积; (2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求 a3+a5; (3)若a1a9=256, a4+a6=40,求公比q.

例2、已知{an}、 {bn}是项数相同的 等比数列,试判断{an·n}是否为等比 b 数列; 练习:已知{ an }为等比数列,则下列 数列仍是等比数列的是 ① ③ ④ ⑥ . ①{2an}; ②{nan}; ③{|an|}; 5 ④{an+an+1+an+2} ⑤{lgan} ⑥ { an }.

思考:
1. {an}是等比数列,C是不为0的常数,
数列{can}是等比数列吗?

2. 已知{an},{bn}是项数相同的等比数列,

? an ? 是等比数列吗? ? ? ? bn ? 3. 已知{an},{bn}是项数相同的等比数列,
是等比数列吗?n ? ? pan ? qb

探究:
1.通项为an=2n-1的数列的图象与

函数 y=2x-1的图象有什么关系?

2.等比数列的增减性:

例4、已知数列{an}满足a1=5, an=2an-1+3(n≥2). ⑴求证: {an+3} 是等比数列;
⑵求an。

2 例3: 在等比数列{an }中,是否有an ? an ?1 ? an ?1 (n ? 2) ? (1)

(2)在数列{an }中,如果对于任意的正整数n(n ? 2),都有
2 an ? an ?1 ? an ?1,那么数列{an }一定是等比数列吗?

例2:在243和3中间插入3个数,使这5个数 成等比数列

例3:已知等比数列{an }的通项公式为an ? 3 ? 2n , 求首项a1和公比q

练习:
1.等比数列{an}中,a4a8=30,则 a2a10=

a 2. 在等比数列中, 5 ? 2,则此列前九项之 积为 _________
3. 各项都是正数的等比数列{an}的公比q ? 1, a1a5 ? a1a6 a2=1,则 = a4 ? a5 4. {an}是等比数列, an>0, 2a4+2a3a5+a4a6 且 a =25 则 a3+a5=

? 中 例3在 等 比 数 列an ? ,
() 已 知 1 ? 3, q ? ?2, 求a6 ; 1 a ( 2)已 知a3 ? 20, a6 ? 160, 求an .
a1 n 等比数列的图象:an ? ? q q 是经过指数函数纵向伸缩后

a1 x 图象上的孤立点,各点(n,a n )均在函数y= q 的图象上。 q 1 n n ?1 如:数列(1) : an ? 2 ? ? 2 (n ? 64, 且n ? N *) 2

例8、已知无穷数列

10 ,10 ,10 ,??10

0 5

1 5

2 5

n ?1 5

,??

1 (2)这个数列中的任一项是它后面第五项的 10

求证:(1)这个数列成等比数列。

(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。 判断一个数列是否成等比数列的方法: 1、定义法; 2、中项法; 3、通项公式法。

3. 等比中项
如果在a与b中间插一个数G,使a,G,b成等比数列, 那么G叫做a与b的等比中项。即 G2=a· (a· b b>0) 注意:(1)同号两数才有等比中项;

(2)等比中项有两个,它们互为相反数;
(3)若三个数成等比数列,则可设这三个

数分别为a/q,a,aq

四.例题讲解与规律探索
1. 在243和3中间插入3个数, 使这5个数 成等比数列. 求这三个数.
解:设插入的三个数为a 2 2a+2, 3a+3, 问这个 2.等比数列的前三项为a,,a 3 ,a 4 ,由题意得 243,a2 , a3 , a 27 数列的第几项的值是 4 ,3 ? ? 成等比数列.设公比为q,则 2 3.已知{an}, {bn}是项数相同的等比数列, 3=243q5-1 求证{an.bn}也是等比数列. 1 解得 q= ? . 3 因此,所求三个数为81,27,9,或-81,27,-9.

例4. 在等比数列{an}中,
(1)若a4=5,a8=6,则a2a10=______,a6=______ (2)若a1a9=64,且a3+a7=20,则a11=________ (3)若a7·12=5,则a8·9·10·11=_________ a a a a 例5. 已知{an}是等比数列,an>0且 a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于( )

A.5

B.10

C.15

D.20

例6. 等比数列中,首项为9/8,末项为1/3,公比 为2/3,则项数n =_________ 例7.若三个数为x, 2x+2, 3x+3成等比数列, 则x=__

等比数列的图象1 20
18 16 (1)数列:1,2,4,8,16,…


14 12 10 8
6 4 2 0
● ● ●



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

等比数列的图象2 10
9 8 (2)数列: 8, 4, 2,1,


1 1 1 , , ,? 2 4 8

7 6 5 4
3 2 1 0 1 2 3


● ● ●



4

5

6



7

8

9

10

等比数列的图象3 10
9 8 (1)数列:4,4,4,4,4,4,4,…

7 6 5 4
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

等比数列的图象4 10
9 8 (1)数列:1,-1,1,-1,1,-1,1,…

7 6 5 4
3 2 1 0
● ● ● ● ●

1

2


3

4


5

6


7

8


9

10


等比中项
观察如下的两个数之间,插入一个什么数后者三个数就会成 为一个等比数列: (1)1,±3 9 , (3)-12, ±6 ,-3 (2)-1, ±2 ,-4 (4)1,±1 ,1

如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列, 那么G叫做a与b的等比中项。

G ? ? ab

等比数列的通项公式例题1
例1 培育水稻新品种,如果第1代得到120粒种子,并且从第1代 起,以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子,到第5 代大约可以得到这种新品种的种子多少粒(保留两个有效数字)? 解:由于每代的种子数是它的 前一代种子数的120倍, 因此,逐代的种子数组成 等比数列,记为

?an ?

其中a1 ? 120, q ? 120, n ? 5
因此a5 ? 120?1205?1 ? 2.5 ?1010

an ? a1 ? q

n ?1

答:到第5代大约可以得到 这种新品种的种子 2.5 ?1010 粒.

等比数列的通项公式例题2
a3 ? 12, a4 ? 18, ?a1q 2 ? 12 即? a1q 3 ? 18 ?

例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它 的第1项与第2项. 解: 用 ?an ?表示题中公比为q的等比数列,由已知条件,有

an ? a1 ? q

n?1

解得

因此,

16 答:这个数列的第1项与第2项分别是 与8. 3

3 61 8 ? ? ? q ? 1a ? 2a 2 3 3 61 ? q , ? 1a 2 3

等比数列的通项公式例题3

例3 某种电讯产品自投放市场以来,经过三次降价,单 价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平均每次降价的百 分率大约是多少(精确到1%)? n?1 解:设平均每次降价的百分率是x, n 1 那么每次降价后的单价应是降价前的(1-x)倍.

a ? a ?q

若原价格 a1 ? 174 a4 ? 58, n ? 4, q ?为a,则降 , 1? x 因此, 价x后的价 1 格应为.693 1? x ? ?0 3 x ? 1 ? 0.693 ? 31 % a-ax=a(1-x)
由已知条件,有

将原单价与三次降价后的单价依次排列,就组成一个依 (1-x)为的公比等比数列 an ,

? ?

答:上述电讯产品平均每次降价的百分率大约是31%.

.1?4 )x ? 1( ?4 7 1 ? 8 5

1 3 , ? )x ? 1 (得,后理整 3

3

等比数列的通项公式练习1 a ? a ? q n?1 n 1
求下列等比数列的第4,5项: (1) 5,-15,45,…

a4 ? 5 ? (?3)4?1 ? ?135, a5 ? 5 ? (?3)5?1 ? 405.
(2)1.2,2.4,4.8,…

a4 ? 1.2 ? 2

4?1

? 9.6, a5 ? 1.2 ? 2

5?1

? 19.2.
5?1

2 1 3 (3) , , ,? 3 2 8
2 ? 3? a4 ? ? ? ? 3 ? 4?
4 ?1

9 2 ? 3? ? , a5 ? ? ? ? 32 3 ? 4?

27 ? , 128
5?1

( 4)
a4 ?

2 ,1,

? 2? ? 2 ?? ? 2 ? ? ?

2 ,? 2 4?1

1 ? , a5 ? 2

? 2? ? 2 ?? ? 2 ? ? ?

2 ? , 4

形成性训练
1、在等比数列{an}中,已知a2 = 5,a4 = 10,则公比 q的值为________ 2、 2与8的等比中项为G,则G的值为_______ 3、在等比数列{an}中,an>0, a2a4+2a3a5+a4a6=36, 那么a3+a5=_________ 4、在等比数列中a7=6,a10=9,那么a4=_________.

例题分析
例:(2006全国卷I)已知{an}为等比数 列,公比q>1,a2+a4=10, a1.a5=16 求等比 数列 {an}的通项公式

2.若G2=ab,则a,G,b一定成等比数列吗? 提示:不一定,若a=G=b=0时,不满足.

等比数列的判定与证明

判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法 an+1 =q(q 为常数且不为零)?{an}为等比数列. an (2)等比中项法 a2 +1=anan+2(n∈N*且 an≠0)?{an}为等比数列. n (3)通项公式法 n-1 an=a1q (a1≠0 且 q≠0)?{an}为等比数列.

例3

已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.

(1)求证:数列{an+1}是等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式.
【思路点拨】 将递推公式变形,然后利用等比

数列的定义判定. 【解】 (1)证明:因为 an+1=2an+1, 所以 an+1+1=2(an+1). 由 a1=1,知 a1+1≠0,可得 an+1≠0. an+1+1 所以 =2(n∈N*). an+1 所以数列{an+1}是等比数列.

(2)由(1)知,
{an+1}是以a1+1为首项,2为公比的等比数列.

所以an+1=2·n-1=2n, 2
即an=2n-1. 【名师点评】 已知数列的递推关系求通项公式 时,要先判断该数列是否为等差数列或等比数列, 若是等差或等比数列,则按等差或等比数列的通 项公式求解;若不是等差或等比数列,一般先将 递推公式变形,构造一个等差或等比数列,从而 求出通项公式.

例3、在等比数列{an}中,已知 a7 ? 3 , 求下列各式的值:(1) a6 a8 (2) a3 a11 解:(1)a6a8=a72=9 (2)a3a11=a72=9

例4、已知正项数列a1 , a2 , a3 , … a10 , a11 成等比数 列,且 a1a11 = 9, 求:log3 a1 ? log3 a2 ? log3 a3 ??? log3 a11 的值。 解: log a ? log a ? log a ??? log a

? log3 (a1a2 a3 ?a11 )

3

1

3

2

3

3

3

11

? 11

? log a ? log 3

11 3 6 11 3

∵a1a11 = a62=9且an>0

∴a6=3


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