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二次函数


二次函数
一、二次函数的定义 1.二次函数的概念:一般地,形如 y ? ax 2 ? bx ? c ( a ,b ,c 是常数, a 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数 a 2. 二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次式, x 的最高次数是 2. ⑵ a ,b ,c 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式: y ? a x 2 的性质:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
a

?0

)的函数,叫做二次函数。

?0

,而 b ,c 可以为零.二次函数的定义域是全体实数.

的符号

开口方向 向上 向下

顶点坐标

a?0

? 0 ,0 ?

对称轴 y 轴
y

性质 时, y 随 x 的增大而增大; x ? 0 时, y 随 x 的增大而减小; x ? 0 时, y 有最小值 0 .
x?0

a?0

? 0 ,0 ?



时, y 随 x 的增大而减小; x ? 0 时, y 随 x 的增大而增大; x ? 0 时, y 有最大值 0 .
x?0

2. y ? a x 2 ? c 的性质 上加下减。
a

的符号
a?0

开口方向 向上

顶点坐标

对称轴
y

性质
x?0

? 0 ,c ?
? 0 ,c ?



时, y 随 x 的增大而增大; x ? 0 时, y 随 x 的增大而减小; x ? 0 时, y 有最小值 c . 时, y 随 x 的增大而减小; x ? 0 时, y 随 x 的增大而增大; x ? 0 时, y 有最大值 c .

a?0

向下

y



x?0

3.

y ? a?x ? h?

2

的性质:左加右减。 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 X=h
x?h

a

的符号
a?0

性质 时, y 随 x 的增大而增大; x ? h 时, y 随 x 的增大而减小; x ? h 时, y 有最小值 0 . 时, y 随 x 的增大而减小; x ? h 时, y 随 x 的增大而增大; x ? h 时, y 有最大值 0 .

? h ,0 ?

a?0

向下

? h ,0 ?

X=h

x?h

4.

y ? a?x ? h? ? k
2

的性质: 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 X=h
x?h

a

的符号
a?0

性质 时, y 随 x 的增大而增大; x ? h 时, y 随 x 的增大而减小; x ? h 时, y 有最小值 k . 时, y 随 x 的增大而减小; x ? h 时, y 随 x 的增大而增大; x ? h 时, y 有最大值 k .
1

? h ,k ?

a?0

向下

? h ,k ?

X=h

x?h

三、二次函数图像的平移 1. 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y
? a?x ? h? ? k
2

,确定其顶点坐标 ? h ,k ? ;

⑵ 保持抛物线 y ? ax 2 的形状不变,将其顶点平移到 ? h ,k ? 处,具体平移方法如下:
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位

y=ax2

y=ax 2+k

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k|个单位

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位

y=a(x-h)2

向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位

y=a(x-h)2+k

2. 平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移; k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减” . (方法二:⑴ y ? ax
y ? ax
2 2

? bx ? c 沿 y 轴平移:向上(下)平移 m 个单位, y ? ax
2

2

? bx ? c 变成

? bx ? c ? m (或 y ? ax
2

? bx ? c ? m )
2

⑵ y ? ax

? bx ? c 沿轴平移: 向左 (右) 平移 m 个单位,y ? ax
2

? bx ? c 变成 y ? a ( x ? m ) ? b ( x ? m ) ? c (或
2

y ? a( x ? m ) ? b( x ? m ) ? c ) )

(一)二次函数 y

? a?x ? h? ? k
2 2

与 y ? ax 2 ? bx ? c 的比较 与 y ? ax 2 ? bx ? c 是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即
b 2a 4ac ? b 4a
2

从解析式上看, y
2

? a?x ? h? ? k

b ? 4ac ? b ? y ? a? x ? ? ? 2a ? 4a ?

2

,其中 h

??

,k ?



四、二次函数 y ? a x 2 ? b x ? c 图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数 y ? a x 2 ? b x ? c 化为顶点式 y ? a ( x ? h ) 2 ? k ,确定其开口方向、对称轴及 顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与 y 轴的交点 ? 0 ,c ? 、 以及 ? 0 ,c ? 关于对称轴对称的点 ? 2 h ,c ? 、与 x 轴的交点 ? x1 ,0 ? , ? x 2 ,0 ? (若与 x 轴没有交点,则取两组关于 对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的交点. 五、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a 二次函数 y
? ax ? bx ? c
2

中, a 作为二次项系数,显然 a

?0



⑴ 当 a ? 0 时,抛物线开口向上, a 的值越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越大; ⑵ 当 a ? 0 时,抛物线开口向下, a 的值越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口越大.
2

总结起来, a 决定了抛物线开口的大小和方向, a 的正负决定开口方向, a 的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数 b 在二次项系数 a 确定的前提下, b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在 a ? 0 的前提下, 当b 当b
?0 ?0

时, ? 时, ?

b 2a b 2a

?0 ?0 ?0

,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧; ,即抛物线的对称轴就是 y 轴; ,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧.

当 b ? 0 时, ?

b 2a

⑵ 在 a ? 0 的前提下,结论刚好与上述相反,即 当b 当b
?0 ?0

时, ? 时, ?

b 2a b 2a

?0 ?0 ?0

,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧; ,即抛物线的对称轴就是 y 轴; ,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧.

当 b ? 0 时, ?

b 2a

总结起来,在 a 确定的前提下, b 决定了抛物线对称轴的位置.
ab 的符号的判定:对称轴 x ? ?

b 2a

在 y 轴左边则 ab ? 0 ,在 y 轴的右侧则 ab ? 0 ,概括的说就是“左同右

异” 总结: 3. 常数项 c ⑴ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ; ⑶ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来, c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置. 总之,只要 a ,b ,c 都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的 特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式. 六、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称
y ? a x ? b x ? c 关于 x
2

轴对称后,得到的解析式是 y ? ? a x 2 ? b x ? c ;
? ?a ? x ? h? ? k
2

y ? a?x ? h? ? k
2

关于 x 轴对称后,得到的解析式是 y



2. 关于 y 轴对称
y ? ax ? bx ? c
2
2

关于 y 轴对称后,得到的解析式是 y ? ax 2 ? bx ? c ; 关于 y 轴对称后,得到的解析式是 y
? a?x ? h? ? k
2

y ? a?x ? h? ? k


3

3. 关于原点对称
y ? ax ? bx ? c
2
2

关于原点对称后,得到的解析式是 y ? ? a x 2 ? b x ? c ; 关于原点对称后,得到的解析式是 y
? ?a ? x ? h? ? k
2

y ? a?x ? h? ? k



4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转 180°)
y ? ax ? bx ? c
2
2

关于顶点对称后,得到的解析式是 y

? ? ax ? bx ? c ?
2
2

b

2

; .

2a
y ? a?x ? h? ? k

关于顶点对称后,得到的解析式是 y

? ?a ? x ? h? ? k

5. 关于点 ? m ,n ? 对称
y ? a?x ? h? ? k
2

关于点 ? m ,n ? 对称后,得到的解析式是 y

? ?a ? x ? h ? 2m ? ? 2n ? k
2

根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此 a 永远不变.求抛物线 的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达 式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线 的表达式. 七、二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与 x 轴交点情况): 一元二次方程 a x 2 ? b x ? c ? 0 是二次函数 y ? a x 2 ? b x ? c 当函数值 y ? 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数: ① 当 ? ? b 2 ? 4 a c ? 0 时,图象与 x 轴交于两点 A ? x1 ,0 ? ,B ? x 2 ,0 ?
ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ?
2

( x1 ? x 2 ) ,其中的 x1 ,x 2 是一元二次方程

的两根.这两点间的距离 A B

? x 2 ? x1 ?

b ? 4ac
2

a

.

② 当?

?0

时,图象与 x 轴只有一个交点;

③ 当 ? ? 0 时,图象与 x 轴没有交点. 1 ' 当 a ? 0 时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有 y ? 0 ; 2 ' 当 a ? 0 时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有 y ? 0 .
? ?0

抛物线与 两个交点

x

轴有

二次三项式的值可正、 可零、可负 二次三项式的值为非负 二次三项式的值恒为正

一元二次方程有两个不相等实根 一元二次方程有两个相等的实数根 一元二次方程无实数根.

? ?0

抛物线与 x 轴只 有一个交点 抛物线与 交点
x

? ?0

轴无

八、二次函数的实际应用 1、二次函数的最值及利润问题 二次函数的一般式 y ? ax
2

? bx ? c ( a ? 0 )化成顶点式 y ? a ( x ?

b 2a

) ?
2

4 ac ? b 4a

2

, 如果自变量的取值范围是

全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值) . 即当 a ? 0 时,函数有最小值,并且当 x ? ? 当 a ? 0 时,函数有最大值,并且当 x ? ?
b 2a b 2a

, y 最小值 ?

4 ac ? b 4a
2

2



, y 最大值 ?

4 ac ? b 4a


4

如果自变量的取值范围是 x 1 ? x ? x 2 ,如果顶点在自变量的取值范围 x 1 ? x ? x 2 内,则当 x ? ?
y 最值 ? 4 ac ? b 4a
2
2

b 2a



2

,如果顶点不在此范围内,则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性;如果在此范围内 y 随

x 的增大而增大,则当 x ? x 2 时,
y 最大 ? ax 2 ? bx 2 ? c ,当 x ? x 1 时, y 最小 ? ax 1 ? bx 1 ? c ;

如 果 在 此 范 围 内 y 随 x 的 增 大 而 减 小 , 则 当 x ? x 1 时 , y 最大 ? ax 1 ? bx 1 ? c , 当 x ? x 2 时 ,
2

y 最小 ? ax 2 ? bx 2 ? c .
2

[例 1]:求下列二次函数的最值: (1)求函数 y ? x ? 2 x ? 3 的最值.
2

解: y ? ( x ? 1) ? 4
2

当 x ? ? 1 时, y 有最小值 ? 4 ,无最大值. (2)求函数 y ? x ? 2 x ? 3 的最值. ( 0 ? x ? 3 )
2

解: y ? ( x ? 1) ? 4
2

∵ 0 ? x ? 3 ,对称轴为 x ? ? 1 ∴当 x ? 0时 y 有最小值 ? 3;当 x ? 3时 y 有最大值 12 . [例 2]:某商品现在的售价为每件 60 元,每星期可卖出 300 件,市场调查反映:每涨价 1 元,每星期少卖出 10 件; 每降价 1 元,每星期可多卖出 20 件,已知商品的进价为每件 40 元,如何定价才能使利润最大? 解:设涨价(或降价)为每件 x 元,利润为 y 元,
y 1 为涨价时的利润, y 2 为降价时的利润

则: y 1 ? ( 60 ? 40 ? x )( 300 ? 10 x )
? ? 10 ( x ? 10 x ? 600 )
2

? ? 10 ( x ? 5 ) ? 6250
2

当 x ? 5 ,即:定价为 65 元时, y max ? 6250 (元)
y 2 ? ( 60 ? 40 ? x )( 300 ? 20 x )
? ? 20 ( x ? 20 )( x ? 15 )

? ? 20 ( x ? 2 . 5 ) ? 6125
2

当 x ? 2 . 5 ,即:定价为 57.5 元时, y max ? 6125 (元) 综合两种情况,应定价为 65 元时,利润最大. 2、二次函数的面积问题 在生活实践中,人们经常面对带有“最”字的问题,如在一定的方案中,花费最少、消耗最低、面积最大、产值 最高、获利最多等;解数学题时,我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题,这就是我们要讨论的 最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点: 1.运用配方法求最值; 2.构造一元二次方程,在方程有解的条件下,利用判别式求最值; 3.建立函数模型求最值; 4.利用基本不等式或不等分析法求最值. [例 1]:在矩形 ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm,点 P 从点 A 出发,沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动,同时 点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动,如果 P、Q 两点同时出发,分别到达 B、C 两点后就停止 移动. (1)运动第 t 秒时,△PBQ 的面积 y(cm? )是多少? (2)此时五边形 APQCD 的面积是 S(cm? ),写出 S 与 t 的函数关系式,并指出自变量的取值范围. (3)t 为何值时 s 最小,最小值时多少?
5

答案: 2) S ? 6 ? 12 ? ? t 2 ? 6 t )? t 2 ? 6 t ? 72 0 ? t ? 6) ( ( (
( 3) S ? t ? 3) ? 63 ? (
2

1 2 (1) y ? ( 6 ? t ) 2 t ? ? t ? 6 t ? 2

? 当 t ? 3时; S 有最小值等于

63

[例 2]:小明的家门前有一块空地,空地外有一面长 10 米的围墙,为了美化生活环境,小明的爸爸准备靠墙修建一 个矩形花圃,他买回了 32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏,为了浇花和赏花的方便,准备在花圃的中间再围 出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个 1 米宽的门 (木质) 花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大? . 解:设花圃的宽为 x 米,面积为 S 平方米 则长为: 32 ? 4 x ? 2 ? 34 ? 4 x (米) 则: S ? x ( 34 ? 4 x ) ? ? 4 x ? 34 x ? ? 4 ( x ?
2

17 4

) ?
2

289 4
x

∵ 0 ? 34 ? 4 x ? 10 ∵
17 4

∴6 ? x ?

17 2

? 6 ,∴ S 与 x 的二次函数的顶点不在自变量 x 的范围内,

而当 6 ? x ?

17 2

内, S 随 x 的增大而减小,∴当 x ? 6 时, S max ? ? 4 ( 6 ?

17 4

) ?
2

289 4

? 60 (平方米)

答:可设计成宽 6 米,长 10 米的矩形花圃,这样的花圃面积最大. [例 3]:已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE(如图) 其中 AF=2,BF=1.试在 AB 上求一点 P, , 使矩形 PNDM 有最大面积. 解:设矩形 PNDM 的边 DN=x,NP=y,则矩形 PNDM 的面积 S=xy(2≤x≤4) 易知 CN=4-x,EM=4-y.过点 B 作 BH⊥PN 于点 H 则有△AFB∽△BHP ∴
AF BF ? BH PH 1 2
2

,即

2 1

?

4? x y?3

,∴ y ? ?

1 2

x ? 5,

S ? xy ? ?

x ? 5 x (2 ? x ? 4) ,

此二次函数的图象开口向下,对称轴为 x=5,∴当 x≤5 时,函数值 y 随 x 的增大而增大, 对于 2 ? x ? 4 来说,当 x=4 时, S 最大 ? ?
1 2 ? 4 ? 5 ? 4 ? 12 .
2

【评析】本题是一道代数几何综合题,把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起,能很好考查学生的综合 应用能力.同时,也给学生探索解题思路留下了思维空间. [例 4]:某人定制了一批地砖,每块地砖(如图(1)所示)是边长为 0.4 米的正方形 ABCD,点 E、F 分别在边 BC 和 CD 上,△CFE、△ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制成,制成△CFE、△ABE 和四边形 AEFD 的三种材料的每 平方米价格依次为 30 元、20 元、10 元,若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设,且能使中间的阴影部分组成四边形 EFGH. (1)判断图(2)中四边形 EFGH 是何形状,并说明理由; (2)E、F 在什么位置时,定制这批地砖所需的材料费用最省? 解:(1) 四边形 EFGH 是正方形. 图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕 C 点 按顺(逆)时针方向旋转 90° 后得到的, 故 CE=CF =CG. ∴△CEF 是等腰直角三角形 因此四边形 EFGH 是正方形. (2)设 CE=x, 则 BE=0.4-x,每块地砖的费用为 y 元

6

那么:y=

x × 30+
2

× 0.4× (0.4-x)× 20+[0.16-

x -

× 0.4× (0.4-x)× 10]

? 10 ( x ? 0 . 2 x ? 0 . 24 ) ? 10 ( x ? 0 . 1) ? 2 . 3 ( 0 ? x ? 0 . 4 )
2

当 x=0.1 时,y 有最小值,即费用为最省,此时 CE=CF=0.1. 答:当 CE=CF=0.1 米时,总费用最省. 3、二次函数其他一般常见的题目 (1) 、住宿问题 某宾馆客房部有 60 个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天 200 元时,房间可以住满.当每个房间每天的定 价每增加 10 元时,就会有一个房间空闲.对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用.设 每个房间每天的定价增加 x 元.求: (1)房间每天的入住量 y (间)关于 x (元)的函数关系式. (2)该宾馆每天的房间收费 z (元)关于 x (元)的函数关系式. (3)该宾馆客房部每天的利润 w (元)关于 x (元)的函数关系式;当每个房间的定价为每天多少元时, w 有最 大值?最大值是多少?(2008 年贵阳市) 分析: 因为,每个房间每天的定价每增加 10 元时,就会有一个房间空闲, 现在增加 x 元,折合
x 10

个 10 元,所以,有

x 10

个房间空闲;

空房间数+入住房间数=60,这样第一问就解决了; 房间收费数额应该等于房间的定价乘以房间的数量,这样第二问的等量关系也找到了; 在解答第三问时,关键是理解利润的意义,利润=每天的房间收费数-每个房间每天支出的各种费用。 解: (1)房间每天的入住量 y (间)关于 x (元)的函数关系式是:y=60x 10


x 10

(2)宾馆每天的房间收费 z (元)关于 x (元)的函数关系式是:z=(200+x) (60(3)宾馆客房部每天的利润 w (元)关于 x (元)的函数关系式是: W=(200+x) (60整理,得:W===1 10 1 10
2

) ,

x 10

)-20(60-

x 10

) ,

1 10

x +42x+10800

2

(x -420x)+10800 (x-210) +15210,
1 10
2

因为,a=-

<0,所以,函数有最大值,

并且,当 x=210 时,函数 W 有最大值,最大值为 15210, 当每个房间的定价为每天 410 元时, w 有最大值,最大值是 15210 元。 (2) 、投资问题 例 2、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树 木,根据市场调查与预测,种植树木的利润 y 1 与投资量 x 成正比例关系,如图 12-①所示;种植花卉的利润 y 2 与投资量 x 成二次函数关系,如图 12-②所示(注:利润与投资量的单位:万元)
7

(1)分别求出利润 y 1 与 y 2 关于投资量 x 的函数关系式; (2)如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得多少利润?他能获取的最大利润是多少? (2008 年?南宁市) 分析: 根据图像和题意知道 y1 是 x 的正比例函数,并且知道图像上的一个点的坐标为 P(1,2),这样就可以求出正比例函 数的解析式; 2 仔细观察抛物线的特点,抛物线经过原点,顶点也在原点,因此,解析式一定是形如 y=ax 的形式。 解: (1)因为,y1 是 x 的正比例函数,设,y1=kx, 因为,图像经过点 P(1,2), 所以,2=k, 所以,利润 y1 关于投资量 x 的函数关系式是 y1=2x,x>0; 2 因为,y2 是 x 的二次函数,设,y2==ax , 因为,图像经过点 Q(2,2), 所以,2=4a, 所以,a=
1 2


1 2

所以,利润 y2 关于投资量 x 的函数关系式是 y2=

x ,x>0;

2

(2)这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木,其中投资花卉 x 万元, 他获得的利润是: y=y1+ y2= =
1 2 1 2
2

x +2×(8-x)=

2

1 2

x -2x+16

2

(x-2) +14,
1 2

因为,a=

>0,所以,函数有最小值,

并且,当 x=2 万元时,函数 y 有最小值,最小值为 14 万元; 因为,对称轴是 x=2, 当 0≤x≤2 时,y 随 x 的增大而减小, 所以,当 x=0 时,y 有最大值,且为 y= 当 2<x≤8 时,y 随 x 的增大而增大, 当 x=8 时,y 有最大值,且为 y=
1 2 1 2

(x-2) +14=16,

2

(x-2) +14=32,

2

所以,当 x=8 万元时,获得的利润最大,并且为 32 万元。 因此,这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得 14 万元利润;他能获取的最大利润是 32 万元。
8

(3) 、存放问题 例 3、我州有一种可食用的野生菌,上市时,外商李经理按市场价格 30 元/千克收购了这种野生菌 1000 千克存放入 冷库中,据预测,该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨 1 元;但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用 合计 310 元,而且这类野生菌在冷库中最多保存 160 元,同时,平均每天有 3 千克的野生菌损坏不能出售. (1)设 x 天后每千克该野生菌的市场价格为 y 元,试写出 y 与 x 之间的函数关系式. (2)若存放 x 天后,将这批野生菌一次性出售,设这批野生菌的销售总额为 P 元,试写出 P 与 x 之间的函数关系 式. (3)李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润 W 元? (利润=销售总额-收购成本-各种费用) (08 凉山州) 分析: 因为,该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨 1 元, 所以,x 天就应该上涨 x×1=x 元; 市场价格 30 元+上涨价=x 天后每千克该野生菌的市场价格为 y 元,这样第一问就解决了; 销售总额为 P 元应该等于野生菌的价格乘以数量,这样第二问的等量关系也找到了; 在解答第三问时,关键是理解利润的意义,利润=销售总额-损坏的野生菌的费用。 解: (1)由题意得 y 与 x 之间的函数关系式是: y ? x ? 30 ( 1 ≤ x ≤ 160 ,且 x 整数) ; (2)由题意得 P 与 x 之间的函数关系式是: P ? ( x ? 3 0 )(1 0 0 0 ? 3 x ) ? ? 3 x ? 9 1 0 x ? 3 0 0 0 0 ;
2

(3)由题意得: W ? ( ? 3 x ? 910 x ? 30000) ? 30 ? 1000 ? 310 x ? ? 3( x ? 1 0 0 ) ? 3 0 0 0 0
2 2

因为,a=-3<0,所以,函数有最大值, 并且,当 x=100 时,函数 W 有最大值,最大值为 30000,所以,当 ? 100 时, W 最 大 ? 3 0 0 0 0 , 因为,100 天<160 天,所以,存放 100 天后出售这批野生菌可获得最大利润 30000 元. (4) 、定价问题 例 4、为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近,州委州政府又出台了一系列“三农”优 惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为 20 元/千克.市场调查发 现,该产品每天的销售量w(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:w=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为 y(元). (1)求y与x之间的函数关系式. (2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于 28 元/千克,该农户想要每天获得 150 元的销售利润,销售价应定 为多少元? (2008 恩施自治州) 分析:利润=价格×销售数量,这是问题解答的关键。 解:⑴ y=(x-20)? w =(x-20)(-2x+80) 2 =-2x +120x-1600, 所以,y 与 x 的函数关系式为: 2 y=-2x +120x-1600. 2 ⑵ 因为,y=-2x +120x-1600 2 =-2 (x-30) +200, 因为,a=-2<0,所以,函数有最大值, 并且,当 x=30 时,函数 y 有最大值,最大值为 200, 所以,当 x=30 时,y 有最大值 200. 因此,当销售价定为 30 元/千克时,每天可获最大销售利润 200 元.
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⑶ 当 y=150 时,可得方程 -2 (x-30 ) +200=150. 解这个方程,得 x1=25,x2=35. 根据题意,x2=35 不合题意,应舍去. 所以,当销售价定为 25 元/千克时,该农户每天可获得销售利润 150 元. (5) 、补贴问题 例 5、某市种植某种绿色蔬菜,全部用来出口.为了扩大出口规模,该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴,规 定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元.经调查,种植亩数 y (亩)与补贴数额 x (元)之间大致满足如图 1 所示的一次函数关系.随着补贴数额 x 的不断增大,出口量也不断增加,但每亩蔬菜的收益 z (元)会相应降低, 且 z 与 x 之间也大致满足如图 2 所示的一次函数关系. y/亩 z/元 1200 800 O 50 图1 x/元 O (第 25 题) 100 图2 x/元 3000 2700

2

(1)在政府未出台补贴措施前,该市种植这种蔬菜的总收益额为多少? (2)分别求出政府补贴政策实施后,种植亩数 y 和每亩蔬菜的收益 z 与政府补贴数额 x 之间的函数关系式; (3)要使全市这种蔬菜的总收益 w (元)最大,政府应将每亩补贴数额 x 定为多少?并求出总收益 w 的最大 值. (2008 年泰安市) 分析:惠农政策是国家的基本政策,能进入中考,是对国家政策的正面宣传。 解: 1)政府没出台补贴政策前,这种蔬菜的收益额为 3000 ? 800 ? 2400000 (元) ; (2)由题意可设 y 与 x 的函数关系为 y ? kx ? 8 0 0
1 将 (5 0,2 0 0 ) 代入上式得 1200 ? 50 k ? 800 ,得 k ? 8

所以种植亩数与政府补贴的函数关系为 y ? 8 x ? 800 , 同理可得每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为 z ? ? 3 x ? 3000 , (3)由题意,得: u ? yz ? (8 x ? 800)( ? 3 x ? 3000) ? ? 24 x ? 21600 x ? 2400000
2

? ? 24( x ? 450) ? 7260000 ,
2

所以,当 x ? 4 5 0 ,即政府每亩补贴 450 元时,全市的总收益额最大,最大为 7260000 元. 九、二次函数与一次函数、反比例函数相结合的题目 关于二次函数与一次函数、反比例函数相结合的题目一般都会出现在选择题或者简答题中,这类题型常常是中考 中的易错点,在做这种题目的时候一定要注意理解一次函数中 k、b 的作用,反比例函数中 k 的作用,以及在二次 函数中 a、b、c 分别代表了什么,与函数的图像有什么内在的联系,最后在做这种题型的时候要注意的就是二次函 数的对称轴和顶点,最后再注意一下二次函数、一次函数还有反比例函数是否过定点的问题。

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