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高中数学必修5自主学习导学案:2.4等比数列的概念及其性质


2.4 等比数列的概念及其性质(学生版)
1.新课引入 观察下列数列,看看他们有什么共同的特点: ① 1, 2, 22 , 23 ,..., 263




1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16

③9,92,93,94,95,96 97 ④36,36× 0.9,36× 0.92, 3

6× 0.93,… 共同特点: 从第 2 项起,每一项与前一项的比都等于同一常数. 2.等比数列的概念 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的 比 等于同一个常数,那么这个数列就叫做 等比数列 ,这个常数叫做等比数列的公比,用 q 表示. a 定义的符号表示是: n ? q(n ? 2, n ? N *) ,这就是数列的递推公式. an ?1 有时也可以写成:
an ?1 ? q(n ? N *) an

练习:判断下列数列中哪些是等比数列,哪些不是?如果是,写出首项 a1 和公比 q , 如果不是,说明理由. (1)1,3,9,27,81,… (4) 1,-1,1,-1,1,… (7) 1, x , x , x , x , ?( x ? 0)
2 3 4

(2)

1 1 1 1 , , , ,? 2 4 8 16

(3)5,5,5,5,5,5,… (6)0,0,0,0,0,…

(5)1,0,1,0,1,…

说明: (1)各项不能为零,即 an ? 0 ; (2)公比不能为零,即 q ? 0 ; (3)当 q>0,各项与首项同号;当 q<0,各项符号正负相间 (4)数列 a, a , a , … ① a ? 0 时,既是等差又是等比数列;② a ? 0 时,只是等差数列而不是等比数列. 3.数列的等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,这三个数 满足关系式 G 2 ? ab . 4.等比数列通项公式的推导 方法 1: (归纳法)

a a2 a ? q ? a2 ? a1q , 3 ? q ? a3 ? a2 q ? a1q 2 , 4 ? q ? a4 ? a3q ? a1q 3 ,由此 a1 a3 a2

归纳等比数列的通项公式可得: an ? a1q n?1 ,其中 a1 与 q 均不为 0,当 n ? 1 时,上面等式也成立. 方法二: (累乘法)

a a a a2 a n ?1 …, n ? q , 所有式子相乘得: n ? q ? an ? a1qn?1 . ?q, 3 ?q, 4 ?q, a1 a2 a3 an ?1 a1


等比数列 ?an ? ,首项为 a1 ,公比为 q ,则通项公式为 an ? a1q n?1 (n∈N ,q≠0) ※ 典型例题 考点 1.等比数列的概念 【例 1】试判别下列数列是否为等比数列 - - (1)an=(-1)n 1( 3)n,n∈N*;(2)an=(-2)n 3,n∈N*;(3)an=n×2n,n∈N*;(4)an=-1,n∈N*.

1

点评:证明数列是等比数列常用的方法 an+1 an (1)定义法: =q(q 为常数且 q≠0)或 =q(q 为常数且 q≠0,n≥2)?{an}为等比数列. an an-1 (2)等比中项法:a2 an+2(an≠0,n∈N*)?{an}为等比数列. n+1=an· - (3)通项公式法:an=a1qn 1(其中 a1,q 为非零常数,n∈N*)?{an}为等比数列. 考点 2.等比中项的应用 【例 2】2- 3与 2+ 3的等比中项为________. 练习 1.在等差数列{an}中,a1+a3=8,且 a4 为 a2 和 a9 的等比中项,求{an}的首项、公差及前 n 项和.

考点 3.等比数列的通项公式 【例 3】一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18,求它的第 1 项与第 2 项.

说明:首项 a1 和 q 是构成等比数列的基本量,从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法. 【练习 1】在等比数列{an}中,若 a2=3,a5=24,则数列{an}的通项公式为( ) 3 n 3 n-2 n-2 n-1 A. · 2 B. · 2 C.3· 2 D.3· 2 2 2 【练习 2】若 a2=18,a4=8,求 a1 和 q.

考点 4.等比数列的判定与证明 【例 4】已知数列{an}满足:lgan=3n+5,试用定义证明{an}是等比数列.

点评:熟练掌握证明数列是等比数列常用的方法. 【练习 1】已知数列{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,令 bn ? 3 n ,求证数列 {bn } 是等比数列,并求其
a

通项公式.

【练习 2】已知数列{an}满足 a1=1, an?1 ? 2an ? 1

2

(1)证明:数列 {an ? 1} 是等比数列; (2)求 an 的通项公式.

【练习 3】已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2 ? an ,求证:数列 {an } 是等比数列.

1 【练习 4】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn= (an-1)(n∈N*). 3 (1)求 a1,a2;(2)求证:数列{an}是等比数列.

※ 当堂检测 1 1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则公比 q=( ) 4 1 1 A.- B.-2 C.2 D. 2 2 2.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7=( ) A.64 B.81 C.128 D.243 3.设 a1=2,数列{1+2an}是公比为 2 的等比数列,则 a6 等于( ) A.31.5 B.160 C.79.5 D.159.5 4.已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比 q=________. 5.(1)已知{an}为等比数列,且 a5=8,a7=2,该数列的各项都为正数,求 an; 9 1 2 (2)若等比数列{an}的首项 a1= ,末项 an= ,公比 q= ,求项数 n. 8 3 3

3

5.等差数列与等比数列的区别与联系 等差数列 等比数列 (1)强调每一项与前一项的差; (2)强调每一项与前一项的比; (2)a1 和 d 可以为 0; (2)a1 与 q 均不为 0; (3)任意两个实数的等差中项唯一; (3)两个同号实数(不为 0)的等比中项有两个值; (4)当 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时, (4)当 m+n=p+q(m, n, p, q∈N*)时, aman=apaq. am+an=ap+aq. - 区别 an=am+(n-m)d(m,n∈N*). an=amq(n m) (m,n∈N*). 若 an、bn 均为等差数列,则{an +an}也是等 若 an、bn 均为等比数列,则{an bn}也是等比数列 差数列 当 d>0 时,an 单调递增; 当 q>1,a1 >0 或 0<q<1,a1 <0 或,an 单调递增; 当 d<0 时,an 单调递减; 当 q>1,a1 <0 或 0<q<1,a1 >0 或,an 单调递减; 当 d=0 时,an 为常数列; 当 q=1,an 为常数列;当 q <0,an 为摆动数列; (1)都强调每一项与其前一项的关系;(2)结果都必须是常数;(3)数列都可以由 a1,d 或 a1,q 确 联系 定;(4)若{an}为正项等比数列,则{logman}为等差数列,其中 m>0,且 m≠1;(5)若{an}为等差 数列,则{ban}为等比数列;(6)非零常数列既是等差数列又是等比数列. ※ 典型例题 考点 5.等比数列性质的应用 1 【例 5】 (1)若等比数列{an}满足 a2a4= ,则 a1a2 3a5=________. 2 (2)已知数列{an}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求 a11 的值. 分析:从整体上利用等比数列的性质求解.

【变式 1】(1)在等比数列{an}中,已知 a4a7=-512,a3+a8=124,且公比为整数,求 a10. (2)若{an}为等比数列,且 a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求 an.

考点 6.等比数列的设项方法 【例 6】有四个实数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,前三个数之积为 27,中间两数之和为 9, 求这四个数. 分析:本题可根据前三个数成等比数列设项,也可根据后三个数成等差数列设项.

点评:应灵活运用设项技巧.比如,本题的题设条件中“前三个数之积为 27”中的“积”改为“和”, 则解法三的设法优于解法一.

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【变式 1】互不相等的三个数之积为-8,这三个数适当排列后可成等比数列,也可成等差数列,求这三个数 排成的等比数列.

※ 当堂检测 1.将公比为 q 的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列 a1a2,a2a3,a3a4,?,则此数列( A.是公比为 q 的等比数列 B.是公比为 q2 的等比数列 C.是公比为 q3 的等比数列 D.不一定是等比数列 2.等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+?+log3a10=( ) A.12 B.10 C.8 D.2+log35 a15 3.在等比数列{an}中,a5a11=3,a3+a13=4,则 =( ) a5 1 1 1 A.3 B. C.3 或 D.-3 或- 3 3 3 2 a9 4.在等比数列{an}中,若 a3a5a7a9a11=243,则 的值为________. a11 8 27 5.在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,求插入的三个数的乘积. 3 2

)

1.在等比数列{an}中,a2 010=8a2 007,则公比 q 的值为( A.2 B.3 C.4 D.8

)

1 2. 随着市场的变化与生产成本的降低, 每隔 5 年计算机的价格降低 , 2000 年价格为 8 100 元的计算机到 2015 3 年时的价格应为( ) A.900 元 B.2 200 元 C.2 400 元 D.3 600 元 3.在数列{an}中,a1=1,点(an,an+1)在直线 y=2x 上,则 a4 的值为( ) A.7 B.8 C .9 D.16 解析:∵点(an,an+1)在直线 y=2x 上,∴an+1=2an,∵a1=1≠0,∴an≠0, ∴{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列,∴a4=1×23=8.答案:B a4+a5 1 4.各项都是正数的等比数列{an}中,a2, a3,a1 成等差数列,则 的值为( ) 2 a3+a4 5-1 1- 5 1+ 5 5+1 1- 5 A. B. 或 C. D. 2 2 2 2 2 5.等比数列 x,3x+3,6x+6,?的第四项等于( ) A.-24 B.0 C.12 D.24 6.在等比数列{an}中,首项 a1<0,要使数列{an}对任意正整数 n 都有 an+1>an,则公比 q 应满足( ) 1 A.q>1 B.0<q<1 C. <q<1 D.-1<q<0 2 7.公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,则 log2a10=( ) A.4 B.5 C.6 D.7

5

a2 a3 an 8.若数列 a1, , ,?, ,?是首项为 1,公比为- 2的等比数列,则 a5 等于( ) a1 a2 an-1 A.-64 B.-32 C.32 D.64 9.若数列{an}为等比数列,且 a1+a2=1,a3+a4=4,则 a9+a10=________. a1+a2 10.若数列 1,a1,a2,4 成等差数列,1,b1,b2,b3,4 成等比数列,则 =________. b2 11.公差不为零的等差数列{an}中,2a3-a2 7+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7,则 b6b8=________. 1 12.已知各项都为正数的等比数列{an}中,a2· a4=4,a1+a2+a3=14,则满足 an· an+1· an+2> 的最大正整数 n 9 的值为________. 2 1 13.若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ ,则{an}的通项公式是 an=________. 3 3 14.数列{an}是公差不为零的等差数列,且 a5,a8,a13 是等比数列{bn}中相邻的三项,若 b2=5,求 bn.

15.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an+1,求证:{an}是等比数列,并求出通项公式.

16.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,an+1=

n+2 ?Sn? Sn(n=1,2,3,?).求证:数列? n ?是等比数列. n ? ?

17.设关于 x 的一元二次方程 anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,?)有两根 α 和 β,且满足 6α-2αβ+6β=3. 2? ? 7 (1)试用 an 表示 an+1;(2)求证:数列?an-3?是等比数列;(3)当 a1= 时,求数列{an}的通项公式. 6 ? ?

6

2.4 等比数列的概念及其性质(教师版) 1.新课引入 观察下列数列,看看他们有什么共同的特点: ① 1, 2, 22 , 23 ,..., 263




1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16

③9,92,93,94,95,96 97 ④36,36× 0.9,36× 0.92, 36× 0.93,… 共同特点: 从第 2 项起,每一项与前一项的比都等于同一常数. 2.等比数列的概念 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的 比 等于同一个常数,那么这个数列就叫做 等比数列 ,这个常数叫做等比数列的公比,用 q 表示. a 定义的符号表示是: n ? q(n ? 2, n ? N *) ,这就是数列的递推公式. an ?1 有时也可以写成:
an ?1 ? q(n ? N *) an

练习:判断下列数列中哪些是等差数列,哪些不是?如果是,写出首项 a1 和公差 d, 如果不是,说明理由. (1)1,3,9,27,81,… (4) 1,-1,1,-1,1,… (7) 1, x , x , x , x , ?( x ? 0)
2 3 4

(2)

1 1 1 1 , , , ,? 2 4 8 16

(3)5,5,5,5,5,5,… (6)0,0,0,0,0,…

(5)1,0,1,0,1,…

解析: (1)是,公比 q=3; (2)是,公比 q ? (6)不是; (7)是,公比 q=x. 说明: (1)各项不能为零,即 an ? 0 ;

1 ; (3)是,公比 q=1; (4)是,公比 q ? ?1 ; (5)不是; 2

(2)公比不能为零,即 q ? 0 ;

(3)当 q>0,各项与首项同号;当 q<0,各项符号正负相间 (4)数列 a, a , a , … ① a ? 0 时,既是等差又是等比数列;② a ? 0 时,只是等差数列而不是等比数列. 3.数列的等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,这三个数 满足关系式 G 2 ? ab . 4.等比数列通项公式的推导 方法 1: (归纳法)

a a2 a ? q ? a2 ? a1q , 3 ? q ? a3 ? a2 q ? a1q 2 , 4 ? q ? a4 ? a3q ? a1q 3 ,由此 a1 a3 a2

归纳等比数列的通项公式可得: an ? a1q n?1 ,其中 a1 与 q 均不为 0,当 n ? 1 时,上面等式也成立. 方法二: (累乘法)

a a a a2 a n ?1 …, n ? q , 所有式子相乘得: n ? q ? an ? a1qn?1 . ?q, 3 ?q, 4 ?q, a1 a2 a3 an ?1 a1


等比数列 ?an ? ,首项为 a1 ,公比为 q ,则通项公式为 an ? a1q n?1 (n∈N ,q≠0)

7

※ 典型例题 考点 1.等比数列的概念 【例 1】试判别下列数列是否为等比数列 - - (1)an=(-1)n 1( 3)n,n∈N*;(2)an=(-2)n 3,n∈N*;(3)an=n×2n,n∈N*;(4)an=-1,n∈N*. an+1 分析:只须研究 的值是否为常数,而不管 n(n∈N*)如何变化. an + an+1 ?-1?n? 3?n 1 n-1 n n n+1 解析:(1)由题意得 an=(-1) ( 3) ,an+1=(-1) ( 3) ,则有 = =- 3. an ?-1?n-1? 3?n ∴这个数列是等比数列. - an+1 ?-2?n 2 n-3 n-2 (2)由题意得 an=(-2) ,an+1=(-2) ,则 = =-2.∴这个数列是等比数列. an ?-2?n-3 + ?n+1?×2n 1 n+1 2 n n+1 an+1 (3)由题意可得 an=n×2 ,an+1=(n+1)×2 , = =2× =2+ , an n n n×2n 这个比值随 n 的取值不同而不同,即它不恒为常数,所以这个数列不是等比数列. an+1 -1 (4)由题意得 an+1=an=-1,则 = =1. ∴这个数列是等比数列. an -1 点评:证明数列是等比数列常用的方法 an+1 an (1)定义法: =q(q 为常数且 q≠0)或 =q(q 为常数且 q≠0,n≥2)?{an}为等比数列. an an-1 2 * (2)等比中项法:an+1=an· an+2(an≠0,n∈N )?{an}为等比数列. - (3)通项公式法:an=a1qn 1(其中 a1,q 为非零常数,n∈N*)?{an}为等比数列. 考点 2.等比中项的应用 【例 2】2- 3与 2+ 3的等比中项为________. 解析: (1)设等比中项为 G,由等比中项的定义知 G2=(2- 3)×(2+ 3)=1,∴G=± 1. 练习 1.在等差数列{an}中,a1+a3=8,且 a4 为 a2 和 a9 的等比中项,求{an}的首项、公差及前 n 项和. 解:设该数列的公差为 d,前 n 项和为 Sn. ?2a1+2d=8, ?a1+d=4, ?a1=4, ?a1=1, ? ? ? ? 由已知可得? 所以? 解得? 或? 2 ? ? ? ? ??a1+3d? =?a1+d??a1+8d?, ?d?d-3a1?=0, ?d=0 ?d=3, 即数列{an}的首项为 4,公差为 0,或首项为 1,公差为 3. 3n2-n 所以数列的前 n 项和 Sn=4n 或 Sn= . 2 考点 3.等比数列的通项公式 【例 3】一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18,求它的第 1 项与第 2 项.

? a1q 2 ? 12 3 16 ? 解:设这个等比数列的第 1 项是 a1 ,公比是 q ,那么 ? 3 ,解得 q ? , a1 ? ,所以 a2 ? 8 . 2 3 ? ? a1q ? 18
说明:首项 a1 和 q 是构成等比数列的基本量,从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法. 【练习 1】在等比数列{an}中,若 a2=3,a5=24,则数列{an}的通项公式为( ) 3 n 3 n-2 - - A. · 2 B. · 2 C.3· 2n 2 D.3· 2n 1 2 2 a5 24 a2 3 3 - - 解析:∵q3= = =8,∴q=2,而 a1= = ,∴an= ×2n 1=3· 2n 2. a2 3 q 2 2 答案:C 【练习 2】若 a2=18,a4=8,求 a1 和 q. a4 8 4 2 2 解:由已知得 =q2,即 q2= = ,∴q= 或 q=- . a2 18 9 3 3 2 a2 18 2 a2 18 当 q= 时,a1= = =27.当 q=- 时,a1= = =-27. 3 q 2 3 q 2 - 3 3

8

a =27, a =-27, ? ? ? 1 ? 1 综上? 2 或? 2 q= ? ? ? 3 ?q=-3. 考点 4.等比数列的判定与证明 【例 4】已知数列{an}满足:lgan=3n+5,试用定义证明{an}是等比数列. an+1 分析:可由 lgan=3n+5 求出 an,再证明 是与 n 无关的常数. an + + an+1 103?n 1? 5 3n+5 证明:∵lgan=3n+5,∴an=10 ,∴ = =1000. + an 103n 5 ∴数列{an}是等比数列. 点评:熟练掌握证明数列是等比数列常用的方法. 【练习 1】已知数列{an}满足 a1=1, an?1 ? 2an ? 1 (1)证明:数列 {an ? 1} 是等比数列; (2)求 an 的通项公式. 证明: (1)因为

an?1 ? 1 2an ? 1 ? 1 ? ? 2 ,∴数列 {an ?1} 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列. an ? 1 an ? 1

(2) an ? 1 ? (a1 ? 1) ? 2n?1 ? 2n ,所以 an ? 2n ? 1. 【练习 2】已知数列{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,令 bn ? 3 n ,求证数列 {bn } 是等比数列,并求其
a

通项公式. 证明: (1)因为

bn?1 3an?1 ? an ? 3an?1 ?an ? 32 ? 9 ,∴数列 {bn } 是以 b1 ? 3a1 ? 3 为首项,9 为公比的等比数 bn 3

列,所以 bn ? 3? 9n?1 . 【练习 3】已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2 ? an ,求证:数列 {an } 是等比数列. 证明:在数列 {an } 中, 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ? a1 ,那么 a1 ? 1 ; 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? ?an ? an?1 , 那么 2an ? an?1 ,即

1 an 1 ? 为常数,所以数列 {an } 为等比数列,首项为 1,公比为 2 an ?1 2 1 2

综上所述,结论为:数列 {an } 为等比数列,首项为 1,公比为

1 【练习 4】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn= (an-1)(n∈N*). 3 (1)求 a1,a2;(2)求证:数列{an}是等比数列. 1 1 1 解析:(1)由 S1= (a1-1),得 a1= (a1-1),故 a1=- . 3 3 2 1 1 1 又 S2= (a2-1),即 a1+a2= (a2-1),得 a2= . 3 3 4 1 1 an 1 1 (2)证明:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= (an-1)- (an-1-1),得 =- ,所以{an}是首项为- ,公比为 3 3 2 2 an-1 1 - 的等比数列. 2
9

※ 当堂检测 1 1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则公比 q=( 4 1 1 A.- B.-2 C.2 D. 2 2 )

?a1q=2, ? 1 1 解析:由已知得? 4 1 ∴q3= ,∴q= .答案:D 8 2 ?a1q =4. ?
2.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7=( ) A.64 B.81 C.128 D.243 ? ? ?a1+a1q=3, ?a1=1, ? 解析:设等比数列的公比为 q,由已知得:? 解得 a7=a1q6=26=64.答案:A 2 ?a1q+a1q =6. ?q=2. ? ? 3.设 a1=2,数列{1+2an}是公比为 2 的等比数列,则 a6 等于( ) A.31.5 B.160 C.79.5 D.159.5 5×32-1 - 解析:∵1+2an=(1+2a1)· 2n 1,∴1+2a6=5×25,∴a6= =79.5.答案:C 2 4.已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比 q=________. ?a2=2, ? 解析:由 a2=2,a4-a3=4,得方程组? 2 ?q2-q-2=0,解得 q=2 或 q=-1.又{an}是递 ? a q - a q = 4 ? 2 2 增等比数列,故 q=2. 答案:2 5.(1)已知{an}为等比数列,且 a5=8,a7=2,该数列的各项都为正数,求 an; 9 1 2 (2)若等比数列{an}的首项 a1= ,末项 an= ,公比 q= ,求项数 n. 8 3 3 1 1 4 ? ? ? ?q2=4, ?q=2, ?a1q =8, 1?n-1 ?1?n-8 ? 解:(1)由已知得 解得? ∵an>0,∴? ∴an=128×? 6 2? =?2? . ? ?a1q =2, ? ?a1=128. ?a1=128, ? ? 2?n-1 ?2?3 1 9 2?n-1 - (2)由 an=a1qn 1,得 = ×? ,即? ?3? =?3? ,解得 n=4. 3 8 ?3?

5.等差数列与等比数列的区别与联系 等差数列 等比数列 (1)强调每一项与前一项的差; (2)强调每一项与前一项的比; (2)a1 和 d 可以为 0; (2)a1 与 q 均不为 0; (3)任意两个实数的等差中项唯一; (3)两个同号实数(不为 0)的等比中项有两个值; * (4)当 m+n=p+q(m,n,p,q∈N )时, (4)当 m+n=p+q(m, n, p, q∈N*)时, aman=apaq. am+an=ap+aq. - 区别 an=am+(n-m)d(m,n∈N*). an=amq(n m) (m,n∈N*). 若 an、bn 均为等差数列,则{an +an}也是等 若 an、bn 均为等比数列,则{an bn}也是等比数列 差数列 当 d>0 时,an 单调递增; 当 q>1,a1 >0 或 0<q<1,a1 <0 或,an 单调递增; 当 d<0 时,an 单调递减; 当 q>1,a1 <0 或 0<q<1,a1 >0 或,an 单调递减; 当 d=0 时,an 为常数列; 当 q=1,an 为常数列;当 q <0,an 为摆动数列; (1)都强调每一项与其前一项的关系;(2)结果都必须是常数;(3)数列都可以由 a1,d 或 a1,q 确 联系 定;(4)若{an}为正项等比数列,则{logman}为等差数列,其中 m>0,且 m≠1;(5)若{an}为等差 数列,则{ban}为等比数列;(6)非零常数列既是等差数列又是等比数列. ※ 典型例题 考点 5.等比数列性质的应用

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1 【例 5】 (1)若等比数列{an}满足 a2a4= ,则 a1a2 3a5=________. 2 (2)已知数列{an}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求 a11 的值. 分析:从整体上利用等比数列的性质求解. 1 解析:(1)等比数列{an}中,因为 a2a4= , 2 1 1 2 2 所以 a3=a1a5=a2a4= ,所以 a1a3a5= . 2 4 (2)∵{an}为等比数列,∴a1· a9=a3· a7=64. 又∵a3+a7=20,∴a3,a7 是方程 t2-20t+64=0 的两个根. ∵t1=4,t2=16,∴a3=4,a7=16 或 a3=16,a7=4. a7 ①当 a3=4,a7=16 时, =q4=4,此时 a11=a3q8=4×42=64. a3 ②当 a3=16,a7=4 时, 1?2 a7 4 1 =q = 时,此时 a11=a3q8=16×? ?4? =1. a3 4 1 答案:(1) (2)见解析 4 变式探究 1 (1)在等比数列{an}中,已知 a4a7=-512,a3+a8=124,且公比为整数,求 a10. (2)若{an}为等比数列,且 a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求 an. 解:(1)∵3+8=4+7,∴由 a4a7=-512,知 a3a8=-512.
? ? ? 5 a8 ?a3a8=-512, ?a3=-4, ?a3=128, 解方程组? 且 q 为整数,得? 或? (舍去).q= =-2.∴a10=a3q7 a3 ?a3+a8=124, ?a8=128 ?a8=-4 ? ? ? =-4(-2)7=512. (2)分析: 由等比数列的通项公式知, 只要求出 a1 和 q 即可. 因此可以直接列关于 a1 和 q 的方程组求解. 但 2 是注意到 a1,a2,a3 成等比数列,则 a2=a1a3,由此可求出 a2,再由条件解 a1 和 q 更方便. 2 ? ?a1+a1q+a1q =7, 2 解析:法一:由等比数列的通项公式,知 a2=a1q,a3=a1q ,代入题设条件,得? ?a1· a1q· a1q2=8, ? ?a1?1+q+q2?=7, ?a1?1+q+q2?=7,① ? ? ∴? 3 3 ∴? ) ? ? ?a1q =8, ?a1q=2.② 1+q+q2 7 1 ①÷ ②得 = ,即 2q2-5q+2=0,∴q=2 或 q= . q 2 2 1 - - 当 q=2 时,代入②得 a1=1,∴an=2n 1;当 q= 时,代入②得 a1=4,∴an=23 n. 2 - - 因此 an=2n 1 或 an=23 n. 2 法二:∵a1a3=a2,∴a1a2a3=a3 2=8,∴a2=2. ? ? ? a + a = 5 , a = 1 , ? 1 3 ? 1 ?a1=4, 从而? 解得? 或? ?a1a3=4, ?a3=4, ?a3=1. ? ? ? 1?n-1 a2 a2 1 - 3-n 当 a1=1 时,q= =2,∴an=2n 1;当 a1=4 时,q= = ,∴an=4×? 2? =2 . ? a1 a1 2 - - 因此 an=2n 1 或 an=23 n.

考点 6.等比数列的设项方法 【例 6】有四个实数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,前三个数之积为 27,中间两数之和为 9, 求这四个数. 分析:本题可根据前三个数成等比数列设项,也可根据后三个数成等差数列设项. a ? ? ?q· a· aq=27, ?a=3, a 解析: 法一: 设前三个数分别为 , a, aq, 则第四个数为 2aq-a, 由题意得? 解得? q ?q=2, ? ? ?a+aq=9,

11

3 ∴这四个数分别为 ,3,6,9. 2 ?a-d?2 ? ? · ?a-d?· a=27, ?a-d?2 法二:设后三个数为 a-d,a,a+d,则第一个数为 ,由题意得? a a ? ?a-d+a=9,
?a-d=3, ?a=6, ? ? ? 解得? ? ? ?2a-d=9, ?d=3,

化简得

3 ∴这四个数分别为 ,3,6,9. 2
?a· aq· aq2=27, ? 法三:设前三个数分别为 a,aq,aq2,第四个数应为 2aq2-aq,由题意得? 2 ?aq+aq =9, ?

? ?aq=3, ?a= , ? 化简得? 解得? 2 ? ?aq?1+q?=9, ?

3

?q=2,

3 ∴这四个数分别为 ,3,6,9. 2 点评:应灵活运用设项技巧.比如,本题的题设条件中“前三个数之积为 27”中的“积”改为“和”, 则解法三的设法优于解法一.

变式探究 2 互不相等的三个数之积为-8,这三个数适当排列后可成等比数列,也可成等差数列, 求这三个数排成的等比数列. a 解:设排成等比数列后的三数为 ,a,aq, q 由三数之积为-8,得 a=-2. 又三个数互不相等,则此顺序一定不成等差数列,故能排成等差数列的情况只有两种: 2 4 2 ①若- 为等差中项. 则-2q+(-2)=- .解得 q=-2 或 q=1(舍去). ②若-2q 为等差中项. 则- +(- q q q 1 2)=-4q,解得 q=- 或 q=1(舍去).故所求等比数列为 1,-2,4 或 4,-2,1. 2

※ 当堂检测 1.将公比为 q 的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列 a1a2,a2a3,a3a4,?,则此数列( ) A.是公比为 q 的等比数列 B.是公比为 q2 的等比数列 C.是公比为 q3 的等比数列 D.不一定是等比数列 an+1an+2 an+2 解析:设新数列为{bn},则{bn}的通项公式为 bn=anan+1.所以 = =q2,数列{bn}是公比为 q2 an anan+1 的等比数列. 答案:B 2.等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+?+log3a10=( A.12 B.10 C.8 D.2+log35 解析:∵数列{an}是等比数列, ∴a5a6=a4a7, ∴a5a6=9, ∴log3a1+log3a2+?+log3a10 =log3(a1· a2· a3· a4· ?· a9· a10) )

12

=log3(a5a6)5 =log395=log3310=10. 答案:B a15 3.在等比数列{an}中,a5a11=3,a3+a13=4,则 =( a5 1 1 1 A.3 B. C.3 或 D.-3 或- 3 3 3 解析:∵a5a11=a3· a13=3,又 a3+a13=4, ? ? a = 1 a = 3 ? 3 ? 3 a15 a13 ∴? 或? ,又 =q10= , a a3 5 ?a13=3 ?a13=1 ? ? a15 1 的值为 3 或 . a5 3 答案:C ∴ a2 9 4.在等比数列{an}中,若 a3a5a7a9a11=243,则 的值为________. a11 解析:由 a3a5a7a9a11=243,得 a5 7=243, ∴a7=3. a2 a7· a11 9 ∴ = =a7=3. a11 a11 答案:3 8 27 5.在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,求插入的三个数的乘积. 3 2 解:法一:设这个等比数列为{an},其公比为 q, 8 27 8 4 81 9 则 a1= ,a5= =a1q4= · q .∴q4= ,q2= . 3 2 3 16 4 8 9 ? 3 ? ?3 3 ∴a2· a3· a4=a1q· a1q2· a1q3=a3 q6=? 1· ?3? ×?4? =6 =216. 法二:设这个等比数列为{an},公比为 q, 8 27 则 a1= ,a5= ,插入三项分别为 a2,a3,a4. 3 2 8 27 2 由题意 a1,a3,a5 也成等比数列,∴a3 = × =36, 3 2 3 故 a3=6,∴a2· a3· a4=a2 · a = a = 216. 3 3 3 )

1.在等比数列{an}中,a2 010=8a2 007,则公比 q 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.8 a2 010 解析:∵a2 010=8a2 007,∴q3= =8,∴q=2.答案:A a2 007 1 2. 随着市场的变化与生产成本的降低, 每隔 5 年计算机的价格降低 , 2000 年价格为 8 100 元的计算机到 2015 3 年时的价格应为( ) A.900 元 B.2 200 元 C.2 400 元 D.3 600 元 2 ? ?3=2 400. 解析:a4=8 100· 答案:C ?3? 3.在数列{an}中,a1=1,点(an,an+1)在直线 y=2x 上,则 a4 的值为( ) A.7 B.8

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C.9 D.16 解析:∵点(an,an+1)在直线 y=2x 上,∴an+1=2an, ∵a1=1≠0,∴an≠0, ∴{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, ∴a4=1×23=8. 答案:B a4+a5 1 4.各项都是正数的等比数列{an}中,a2, a3,a1 成等差数列,则 的值为( ) 2 a3+a4 5-1 1- 5 1+ 5 5+1 1- 5 A. B. 或 C. D. 2 2 2 2 2 1 解析:设{an}公比为 q,∵a2, a3,a1 成等差数列, 2 1± 5 ∴a3=a1+a2,∴a1q2=a1+a1q. ∴q2-q-1=0,解得 q= . 2 1+ 5 a4+a5 1+ 5 ∵数列各项都是正数,∴q>0,∴q= ,∴ =q= .故选 C. 2 2 a3+a4 5.等比数列 x,3x+3,6x+6,?的第四项等于( ) A.-24 B.0 C.12 D.24 2 2 解析:由题意知(3x+3) =x(6x+6),即 x +4x+3=0,解得 x=-3 或 x=-1(舍去),所以等比数列的前 三项是-3,-6,-12,则第四项为-24. 答案:A 6.在等比数列{an}中,首项 a1<0,要使数列{an}对任意正整数 n 都有 an+1>an,则公比 q 应满足( ) 1 A.q>1 B.0<q<1 C. <q<1 D.-1<q<0 2 n-1 解析:an+1-an=a1q (q-1)>0 对任意正整数 n 都成立,而 a1<0,只能 0<q<1. 答案:B 7.公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,则 log2a10=( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:∵a3· a11=16,∴a2 7=16. 又∵等比数列{an}的各项都是正数,∴a7=4. 又∵a10=a7q3=4×23=25,∴log2a10=5.故选 B. 答案:B a2 a3 an 8.若数列 a1, , ,?, ,?是首项为 1,公比为- 2的等比数列,则 a5 等于( ) a1 a2 an-1 A.-64 B.-32 C.32 D.64 a2 a3 an a2 a3 a4 a5 解析:∵数列 a1, , ,?, ,?是首项为 1,公比为- 2的等比数列,∴a5=a1× × × × a1 a2 a1 a2 a3 a4 an-1 =1×(- 2)×(- 2)2×(- 2)3×(- 2)4=(- 2)10=32. 答案:C 9.若数列{an}为等比数列,且 a1+a2=1,a3+a4=4,则 a9+a10=________. 解析:∵{an}是等比数列,∴a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8,a9+a10 为等比数列,∴a9+a10=1×44= 256. a1+a2 10.若数列 1,a1,a2,4 成等差数列,1,b1,b2,b3,4 成等比数列,则 =________. b2 解析:∵1,a1,a2,4 成等差数列,∴a1+a2=5. ∵1,b1,b2,b3,4 成等比数列,∴b2 2=1×4=4. 5 5 又 b2>0,∴b2=2.∴原式= . 答案: 2 2 2 11.公差不为零的等差数列{an}中,2a3-a7+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7,则 b6b8=________. 2 2 解析:∵2a3-a2 7+2a11=2(a3+a11)-a7=4a7-a7=0,∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4. ∴b6b8=b2 7=16. 答案:16 1 12.已知各项都为正数的等比数列{an}中,a2· a4=4,a1+a2+a3=14,则满足 an· an+1· an+2> 的最大正整数 n 9 的值为________. 2 2 1 1 2 解析:∵a2· a4=4=a3 ,且 a3>0,∴a3=2.又 a1+a2+a3= 2+ +2=14,∴ =-3(舍去)或 =2,即 q= q q q q

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1?3n-9 1 1 - 3n-9 ?1?n-1=?1?n-4,∴an· ,a1=8.又 an=a1qn 1=8· an+1· an+2=? ?2? ?2? ?2? >9,即 2 <9,∴n 的最大值为 4. 2 答案:4 2 1 13.若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ ,则{an}的通项公式是 an=________. 3 3 2 1 解析:当 n=1 时,S1= a1+ ,∴a1=1. 3 3 1 2 2 1 2 a - + ?= (a -an-1), 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= an+ -? 3 3 ?3 n 1 3? 3 n an ∴an=-2an-1,即 =-2,∴{an}是以 1 为首项的等比数列,其公比为-2, an-1 - - ∴an=1×(-2)n 1,即 an=(-2)n 1. - 答案:(-2)n 1 14.数列{an}是公差不为零的等差数列,且 a5,a8,a13 是等比数列{bn}中相邻的三项,若 b2=5,求 bn. 解:∵{an}是等差数列, ∴a5=a1+4d,a8=a1+7d,a13=a1+12d, 又 a5,a8,a13 是等比数列{bn}中相邻的三项, 2 ∴a2 (a1+12d),解得 d=2a1. 8=a5a13,即(a1+7d) =(a1+4d)· a8 5 设等比数列{bn}的公比为 q(q≠0),则 q= = , a5 3 5 又 b2=b1q=5,即 b1=5,解得 b1=3, 3 5 ? ?n-1. ∴bn=3· ?3? 15.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an+1,求证:{an}是等比数列,并求出通项公式. 证明:∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1, ∴an+1=Sn+1-Sn=(2an+1+1)-(2an+1) =2an+1-2an. ∴an+1=2an,又∵S1=2a1+1=a1,∴a1=-1≠0. an+1 又由 an+1=2an 知 an≠0,∴ =2,∴{an}是等比数列, an - - ∴an=-1×2n 1=-2n 1. n+2 ?Sn? S (n=1,2,3,?).求证:数列? n ?是等比数列. n n ? ? n+2 n+2 证明:∵an+1=Sn+1-Sn,an+1= S ,∴Sn+1-Sn= S ,∴n(Sn+1-Sn)=(n+2)Sn,∴nSn+1=2(n+ n n n n Sn+1 Sn S1 ?Sn? 1)Sn,∴ =2? ?,又∵ =1≠0,∴数列? n ?是以 1 为首项,2 为公比的等比数列. 1 ? ? n+1 ? n ? 2 17.设关于 x 的一元二次方程 anx -an+1x+1=0(n=1,2,3,?)有两根 α 和 β,且满足 6α-2αβ+6β=3. 2? ? 7 (1)试用 an 表示 an+1;(2)求证:数列?an-3?是等比数列;(3)当 a1= 时,求数列{an}的通项公式. 6 ? ? 16.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,an+1=

?α+β=aa 解:(1)根据根与系数的关系,有? 1 β= ?α· a
n

n+1 n

,代入题设条件 6(α+β)-2αβ=3,得

6an+1 2 1 1 - =3,所以 an+1= an+ . an an 2 3 2 2? 1 1 2 1 ? 1 an- ?,所以数列?an- ?是以 为公比的等比数列. (2)因为 an+1= an+ ,所以 an+1- = ? 3 3 ? 2 3 3 2? 2 ? ? 2? 7 2 1 ? 1 1 (3)当 a1= 时,a1- = ,故数列?an-3?是首项为 ,公比为 的等比数列, 6 3 2 2 2 ? ?

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2 1?n 所以 an= +? (n=1,2,3,?). 3 ?2?

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