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2016届高考数学二轮复习 第1部分 专题4 必考点10 与数列交汇的综合问题课件 文


专题复习·数学(文)

专题四 必考点十 类 型

数列

与数列交汇的综合问题

类型一 数列与函数交汇问题(难点) 类型二 数列与不等式综合 类型三 数列与解析几何综合 类型四 数列的探索性问题

——突破函数与数列的区别

高考·预测

运筹帷幄之中

1 数列与函数交汇,利用函数思想、求数列中的最值. 2 数列与不等式交汇,求解或求证有关自然数的不等式. 3 数列与解析几何交汇,利用解析几何有关知识研究数列.

知识 回扣
必记知识 重要结论

1.等差、等比数列的通项公式和求和公式.
2.数列的单调性 对于数列{an},若 an+1>an,则{an}为递增数列 若 an+1<an,则{an}为递减数列 若 an+1=an,则{an}为常数列

知识 回扣
必记知识 重要结论

1. 等差数列{an}的通项公式 an 是关于 n 的一次函数 an=dn+(a1-d)(d≠0) 前 n 项和 Sn 是关于 n 的无常数项的二次函数 d ? d? Sn= n2+?a1- ?n.(d≠0) 2 2? ?

a1 n 2.等比数列{an}的通项是关于 n 的指数型函数,an= · q. q

大题 规范

类型一 数列与函数交汇问题(难点)

——突破函数与数列的区别

[ 例 1]

(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=x2-ax+a(x∈R)同时满足:①

函数 f(x)有且只有一个零点;②在定义域内存在 0<x1<x2,使得不等式 f(x1)>f(x2)成立.设数列{an}的前 n 项和 Sn=f(n)(n∈N*).

大题 规范

类型一 数列与函数交汇问题(难点)

——突破函数与数列的区别

(1)求函数 f(x)的表达式;
因为 f(x)有且只有一个零点. 所以 Δ=a2-4a=0,解得 a=0 或 a=4, 当 a=4 时,函数 f(x)=x2-4x+4 在(0,2)上递减, 故存在 0<x1<x2,使得不等式 f(x1)>f(x2)成立, 当 a=0 时,函数 f(x)=x2 在 (0,+∞)上递增, 故不存在 0<x1<x2,使得不等式 f(x1)>f(x2)成立, 综上,得 a=4,f(x)= x2-4x+4. (3 分) (4 分) (2 分) (1 分)

大题 规范

类型一 数列与函数交汇问题(难点)

——突破函数与数列的区别

(2)求数列{an}的通项公式;
由 (1)可知 Sn=n2-4n+4, 当 n=1 时,a1=S1=1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn- 1=2n-5,
?1,n=1, 所以 an=? ?2n-5,n≥2.

(5 分) (7 分) (8 分)

大题 规范

类型一 数列与函数交汇问题(难点)

——突破函数与数列的区别

(3)在各项均不为零的数列{cn}中, 所有满足 ci· ci+1<0 的整数的个数称为数 a 列{cn}的变号数.令 cn=1- ,求数列{cn}的变号数. an -3,n=1, ? ? 4 由题设得 cn=? (9 分) 1 - , n ≥ 2 , ? ? 2n-5 4 4 因为当 n≥3 时, cn+1- cn= - >0,所以当 n≥3 时,数列{cn}递 2n-5 2n-3 增. (10 分 ) 1 4 因为 c4=- <0.由 1- >0?n≥5, 3 2n-5 可知 c4· c5<0,即当 n≥3 时,有且只有 1 个变号数; 又因为 c1=-3,c2=5, c3=-3,即 c1· c2<0, c2· c3<0, 所以此处变号数有 2 个; (12 分 ) 综上得数列{cn}的变号数为 3. (13 分 )

大题 规范

类型一 数列与函数交汇问题(难点)

——突破函数与数列的区别

得分点及踩点说明 (1)第一问中,由 Δ=0,只得 a=4 一解,就写结论者,只得 2 分 (2)第一问中, 得两解者, 即写两个 f(x), 只得 2 分; 若只得一个正确结论, 无判断分析内容,也只得 2 分. (3)第二问中,漏掉“n=1”的情况,而 an=2n-5,只得 6 分 (扣 2 分) (4)第三问中, 与 Cn 通项公式漏掉“n=1”者扣 1 分, 不判断“{an}递增” 者扣 1 分 (5)没有“最后综上得??”本题结论者扣 1 分

大题 规范

类型一 数列与函数交汇问题(难点)

——突破函数与数列的区别

数列与函数交汇问题的常见类型及解法 (1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图象 研究数列问题. (2)已知数列条件,需构造函数,利用函数知识解决问题,解决此类问题 一般要充分利用数列的范围、分式、求和方法对式子化简变形.另外, 解题时要注意数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思想方法求解.

大题 规范

类型一 数列与函数交汇问题(难点)

——突破函数与数列的区别

自我挑战

1.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对一切正整数 n,点 Pn(n,Sn)都在函 数 f(x)=x2+2x 的图象上,且过点 Pn(n,Sn)的切线的斜率为 kn. (1)求数列{an}的通项公式;
∵点 Pn(n,Sn)都在函数 f(x)= x2+2x 的图象上, ∴Sn=n2+2n(n∈N*), 当 n≥2 时,an=Sn-Sn- 1=2n+1. 当 n=1 时,a1=S1=3 满足上式, ∴数列{an}的通项公式为 an=2n+1.

大题 规范

类型一 数列与函数交汇问题(难点)

——突破函数与数列的区别

自我挑战

(2)设集合 Q={x|x=kn,n∈N*},R={x|x=2an,n∈N*},等差数列{cn} 的任一项 cn∈(Q∩R),其中 c1 是 Q∩R 中的最小的数,110<c10<115,求 {cn}的通项公式.
对 f(x)= x2+2x 求导,得 f′(x)=2x+2. ∵过点 Pn(n,Sn)的切线的斜率为 kn, ∴ kn=2n+2. ∴Q={x|x=2n+2,n∈N*},R= {x|x=4n+2,n∈N*}, ∴Q∩R=R.

大题 规范

类型一 数列与函数交汇问题(难点)

——突破函数与数列的区别

自我挑战

又 cn∈(Q∩R),其中 c1 是 Q∩R 中的最小的数,∴c1=6. ∴ c10=4m+2(m∈N*).
?110<4m+2<115, ∵110<c10<115,∴? * ?m∈N ,

解得 m=28,∴c10=114. c10- c1 114-6 设等差数列{cn}的公差为 d,则 d= = =12, 9 10-1 ∴ cn=6+ (n-1)×12=12n-6, ∴{cn}的通项公式为 cn=12n-6.

大题 规范

类型二 数列与不等式综合

[ 例 2]

已知数列{an}各项均为正数,Sn 为其前 n 项和.对于任意的 n∈

N*,都有 4Sn=(an+1)2. (1)求数列{an}的通项公式;
当 n=1 时,4S1=4a1= (a1+1)2,所以 a1=1. 当 n≥2 时,4an=4Sn-4Sn- 1= (an+1)2- (an- 1+1)2,
2 所以 2(an+an- 1)=a2 n-an- 1,又{an}各项均为正数,

所以 an-an- 1=2, 故数列{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,于是 an=2n-1(n∈N*).

大题 规范

类型二 数列与不等式综合

(2)若 tn≤Sn+1 对于任意的 n∈N*恒成立,求实数 t 的最大值.
由 (1)得 Sn=n2,Sn+ 1= (n+1)2,若 tn≤Sn+ 1 对于任意的 n∈N*恒成立,则 ?n+1?2 t≤ . n ?n+1?2 n2+2n+1 1 又 = =n+ +2≥4(当且仅当 n=1 时取等号), n n n 所以实数 t 的最大值是 4.

大题 规范

类型二 数列与不等式综合

?1?数列与不等式交汇问题的常用方法 ①作差?商?比较. ②根据数列的函数特征,判断并利用其单调性. ③利用基本不等式求最值. ?2?数列中不等式的放缩技巧 1 ? 1 1 1? 1 ? ?. - ① 2< 2 = K K -1 2?K-1 K+1? 1 1 1 1 1 ② - < 2< - . K K+1 K K-1 K 1 ③2? n+1- n?< <2? n- n-1?. n ④利用?1+x?n的展开式进行放缩.

大题 规范

类型二 数列与不等式综合
自我挑战

?1? 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-an-? ?n-1+2(n∈N*),数列{bn}满足 ?2?

bn=2nan. (1)求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;
?1?n- 1 1 ? ? 在 Sn=-an- +2 中,令 n=1,可得 S1=-a1-1+2=a1,即 a1= . 2 ?2? ?1? n- 2 当 n≥2 时,Sn- 1=-an- 1-? ? +2, ? 2?

大题 规范

类型二 数列与不等式综合
自我挑战

?1? n- 1 ∴an=Sn-Sn- 1=-an+an- 1+? ? , ? 2? ?1?n- 1 ∴2an=an- 1+? ? , ?2?

即 2nan=2n- 1an- 1+1. ∵bn=2nan,∴bn=bn-1+1,即当 n≥2 时,bn-bn-1=1. 又 b1=2a1=1,∴数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列. 故 bn=1+ (n-1)· 1=n=2nan, n ∴an= n. 2

大题 规范

类型二 数列与不等式综合
自我挑战

? 2 ? n 25 ? ? (2)设 cn=log2 ,数列 的前 n 项和为 Tn,求满足 Tn< (n∈N*)的 n an 21 ?cncn+2?

的最大值.
n 2 2 1 1 ∵ cn=log2 =log22n=n,∴ = = - , an cncn+ 2 n?n+2? n n+2
? 1 1 ? ?1 1 ? ? 1? ?1 1? ?1 1? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - ∴ Tn = 1- + - + - + ? + + = 1+ - 3? ?2 4 ? ?3 5? 2 ? ?n-1 n+1 ? ? n n+2?

1 1 25 1 1 1 25 1 1 13 - ,由 Tn< ,得 1+ - - < ,即 + > ,解 21 2 n+1 n+2 21 n+1 n+2 n+1 n+2 42 得 n<5.∴n=4.

大题 规范

类型三 数列与解析几何综合

[ 例 3]

设函数 f(x)=x2,过点 C1(1,0)作 x 轴的垂线 l1 交函数 f(x)图象于点

A1,以 A1 为切点作函数 f(x)图象的切线交 x 轴于点 C2,再过 C2 作 x 轴的 垂线 l2 交函数 f(x)图象于点 A2,?,以此类推得点 An,记 An 的横坐标为 an,n∈N*.

大题 规范

类型三 数列与解析几何综合

(1)证明数列{an}为等比数列并求出通项公式;
2 以点 An- 1(an- 1,a2 n- 1)(n≥2)为切点的切线方程为 y-an- 1=2an- 1(x-an- 1).

1 1 当 y=0 时,得 x= an- 1,即 an= an- 1. 2 2 又∵a1=1, 1 ∴数列{an}是以 1 为首项, 为公比的等比数列. 2
?1? ∴通项公式为 an=? ?n- 1. ?2?

大题 规范

类型三 数列与解析几何综合

1 →· → (2)设直线 ln 与函数 g(x)=log x 的图象相交于点 Bn, 记 bn=OA n OBn(其中 2 O 为坐标原点),求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
?? 1? - ? 据题意,得 Bn??2?n 1,n-1?. ?? ? ? ?1? n-1 ?1?n- 1 ?1?n-1 → → ∴bn=OAn· OBn=? ? +? ? · (n-1)=n? ? . ? 4? ?4? ?4? ?1?0 ?1?1 ?1? n- 1 ? ? ? ? ∵Sn=1× +2× + ?+n×? ? , ?4? ?4? ? 4?

1 ?1? 1 ?1? 2 ?1? n ? ? ? ? S =1× +2× + ?+n×? ? , 4 n ? 4? ? 4? ? 4?

大题 规范

类型三 数列与解析几何综合

1? n 1- 4? ? ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? 3 ? ? ?0 ? ?1 ? ? n- 1 ? ?n ? ?n 两式相减,得4Sn=1×?4? +1×?4? +?+?4? -n×?4? = - n × ? ? . 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?4? 1-4
? ? 16? 1?n 16 ? ?4n ? 化简,得 Sn= 9 -? 3 + 9 ?×? ? ? ? ? ?4?

? ? ? ?

16 3n+4 =9- . 9×4n-1

大题 规范

类型三 数列与解析几何综合

求解点列问题的关键及规律 (1)关键:寻求点的横坐标或纵坐标之间的关系. (2)规律:根据横坐标或纵坐标的关系将其转化为等差或等比数列或数列 求通项及求和问题,进行求解.

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类型三 数列与解析几何综合
自我挑战

3.在直角坐标平面上有一点列 P1(x1,y1),P2(x2,y2),?,Pn(xn,yn),?, 13 对一切正整数 n,点 Pn 位于函数 y=3x+ 的图象上,且 Pn 的横坐标构 4 5 成以- 为首项,-1 为公差的等差数列{xn}. 2 (1)求点 Pn 的坐标. 5 3 xn=- +(n-1)×(-1)=-n- , 2 2
13 5 所以 yn=3· xn+ =-3n- , 4 4
? 3 5? 所以 Pn?-n- ,-3n- ?. 2 4? ?

大题 规范

类型三 数列与解析几何综合
自我挑战

(2)设抛物线列 c1,c2,c3,?,cn,?中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴, 第 n 条抛物线 cn 的顶点为 Pn,且过点 Dn(0,n2+1),记与抛物线 cn 相切 1 1 1 于 Dn 的直线的斜率为 kn,求: + +?+ . k1k2 k2k3 kn-1kn
因为 cn 的对称轴垂直于 x 轴,且顶点为 Pn.所以设 cn 的方程为:
? 2n+3?2 12n+5 ?- y=a?x+ , 4 2 ? ?

把 Dn(0,n2+1)代入上式,得 a=1, 所以 cn 的方程为:y= x2+ (2n+3)x+n2+1.kn= y′|x=0=2n+3,

大题 规范

类型三 数列与解析几何综合
自我挑战

1 1 所以 = kn- 1kn ?2n+1??2n+3? 1 ? 1? 1 ?, - = ? 2?2n+1 2n+3? 1 1 1 所以 + +?+ k1k2 k2k3 kn- 1kn
? 1 1 ?? 1??1 1? ?1 1 ? ?? - = ?? - ?+? - ?+?+? 2??5 7? ?7 9 ? 2 n + 1 2 n + 3 ? ??

1 ? 1 1?1 1 ?= - = ?5- . 2? 2n+3? 10 4n+6

大题 规范

类型四 数列的探索性问题

[ 例 4]

已知等比数列{an}满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125.

(1)求数列{an}的通项公式;
设等比数列{an}的公比为 q,
3 3 ? ?a1 q =125, ?a1=3, 则由已知可得? 解得? 2 ?|a1q-a1q |= 10, ? ?q=3

5

?a1=-5, 或? ?q=-1.

5 n- 1 故 an= · 3 或 an=-5· (-1)n-1. 3

大题 规范

类型四 数列的探索性问题

1 1 1 (2)是否存在正整数 m, 使得 + +?+ ≥1?若存在, 求 m 的最小值; a1 a2 am 若不存在,说明理由.
5 n- 1 1 3?1? 若 an= · 3 ,则 = ? ?n-1, 3 an 5?3? 则
? ? ? ? ? ? ? ? n? ?

1 3 1 是首项为 ,公比为 的等比数列. a 5 3
m

从而 ?
n= 1

3? ?1?m? ?1-? ? ? 1 5? ?3? ? 9 ? ?1?m? 9 ?1-? ? ? < <1. = = · an 1 10 ? ?3? ? 10 1- 3

大题 规范

类型四 数列的探索性问题

1 1 若 an=-5· (-1)n-1,则 =- (- 1)n-1, an 5 1 1 故 是首项为- ,公比为-1 的等比数列, a 5 从而 ?
n= 1 m
? ? ? ? ? ? ? ? n? ?

1 m ?-5,m=2k-1 ?k∈N*?, 1 ? 1 = 故 ? <1. an ? an * =1 n ? ?k∈N ?. ?0,m=2k

综上,对任何正整数 m,总有

?
n= 1

m

1 <1. an

1 1 1 故不存在正整数 m,使得 + + ?+ ≥1 成立. a1 a2 am

大题 规范

类型四 数列的探索性问题

处理探索性问题的一般方法是:假设题中的数学对象存在或结论成立或 其中的一部分结论成立,然后在这个前提下进行逻辑推理.若由此导出矛 盾,则否定假设,否则,给出肯定结论,其中反证法在解题中起着重要 的作用.还可以根据已知条件建立恒等式,利用等式恒成立的条件求解.

大题 规范

类型四 数列的探索性问题
自我挑战

4.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1+a2=16 且 Sn=2Sn-1+n+4(n≥2, n∈N*). (1)求数列{an}的通项 an;
由已知 Sn=2Sn- 1+n+4,可得 Sn- 1=2Sn- 2+n+3(n≥3,n∈N*), 两式相减得,Sn-Sn- 1=2(Sn- 1-Sn- 2)+1,即 an=2an- 1+1,从而 an+1 =2(an- 1+1), 当 n=2 时,S2=2S1+6,则 a2-a1=6,又 a1+a2=16,所以 a1=5,a2 =11.

大题 规范

类型四 数列的探索性问题
自我挑战

从而 a2+1=2(a1+1),故总有 an+1=2(an-1+1),n≥2,n∈N*. 又 a1=5,a1+1≠0, an+1 从而 =2(n≥2,n∈N*),即数列{an+1}是以 6 为首项,2 为公比的 an- 1+1 等比数列,则 an+1=6· 2n-1, 故 an=3×2n-1.

大题 规范

类型四 数列的探索性问题
自我挑战

(2)令 bn=nan,求{bn}的前 n 项和 Tn,并判断是否存在唯一不等于 1 的 n 使 Tn=22n-17 成立?若存在,求出 n 的值;若不存在,说明理由.
由(1),知 Tn=a1+2a2+?+nan=(3×2-1)+2(3×22-1)+?+n(3×2n-1) =3(2+2×22+?+n×2n)-(1+2+?+n)=3(n-1)· 2n+1- n?n+1? +6, 2

Tn-(22n-17)=3(n-1)· 2n+1- =3(n-1)· 2
n +1

n?n+1? 2 -22n+23

1 2 1 -2(n +45n-46)=2(n-1)[6· 2n+1-(n+46)],

令 f(n)=6· 2n+1-n-46, 因为 f(n+1)-f(n)=6· 2n+1-1>0, 所以 f(n)单调递 增,观察可知 f(2)=6· 23-(2+46)=0,所以存在唯一不为 1 的 n 使 Tn= 22n-17 成立,此时 n=2.

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数列与函数转化

(1)函数条件的转化.直接利用函数与数列的对应关系,把函数解析式中 的自变量 x 换为 n 即可; (2)方程条件的转化.一般要根据方程解的有关条件进行转化; (3)数列向函数的转化.可将数列中的问题转化为函数的相应问题求解, 但要注意自变量取值范围的限制.对于数列中的最值、范围等问题的求 解,可转化为相应函数的单调性或利用方程有解的条件来求解.

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数列与函数转化

一、函数条件的转化 [ 例 1] 3 (1)数列{an}中, a1=2, 点(an, an+1)(n∈N )都分布在函数 g(x)= 2
* 7

x 的图象上,若有函数 f(x)=x(x-a1)(x-a2)?(x-a7),则 f′(0)=( A.2
7

B.-2

D

)

C.47

D.-47

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数列与函数转化

因为点(an,an+ 1)(n∈N )都分布在直线 g(x)= 2x 上,所以 an+1= 2an, 3 3 所以数列{an}是以 2 为首项, 以 2为公比的等比数列. 则 a4=2( 2)3= 4, 而 f′(x)=(x-a1)(x-a2)?(x- a7)+ x(x-a2)?(x- a7)+ ?+ x(x-a1)(x- a2)?(x-a6),
7 所以 f′(0)= (-a1)· (-a2)· (-a3)· ?· (-a7)=-(a1· a7)3· a4=-a7 4=-4 ,

*

3

3

D

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数列与函数转化

(2)已知数列{an},a1=2,点(nan+1,(n+1)an)在函数 f(x)=x 的图象上,则
* a = 2 n ( n ∈ N ) . n 数列{an}的通项公式为______________

因为点(nan+1, (n+1)an)在函数 f(x)=x 的图象上,所以 nan+ 1= (n+1)an, an+ 1 n+1 a2 1+1 a3 2+1 3 an n 即 = ,所以 = =2, = = ,?, = (n≥2 且 an n a1 1 a2 2 2 an- 1 n-1 a2 a3 a2 an 3 n∈ N*),又 a1= 2,以上式子累乘,得 an= a1· · · ?· · = 2×2× a1 a2 a1 an- 1 2 n ×?× =2n,所以数列{an}的通项公式是 an=2n(n∈N*). n-1

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数列与函数转化

从函数解析式入手,将变量x与y的关系转化为数列an或Sn的关系.

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数列与函数转化

二、方程条件的转化 [ 例 2] (1)(2014· 高考安徽卷)数列{an}是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5

1 +5 构成公比为 q 的等比数列,则 q=__________.

(1)设等差数列的公差为 d,则 a3=a1+2d, a5=a1+4d, ∴ (a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得 d=-1, a3+3 a1-2+3 ∴q= = =1. a1+1 a1+1

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数列与函数转化

(2)等差数列{an}的前 16 项和为 640, 前 16 项中偶数项和与奇数项和之比 a9 为 22∶18,则公差 d, 的值分别是( a8 10 A.8, 9 10 B.9, 9 11 C.9, 9 ) 11 D.8, 9

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数列与函数转化

设 S 奇=a1+a3+?+a15,S 偶=a2+a4+?+a16,则有 S 偶-S 奇= (a2-a1) 8?a2+a16? S偶 2 a9 + (a4-a3)+ ?+(a16-a15)=8d, = = . S奇 8?a1+a15? a8 2 ?S奇+S偶=640, S偶-S奇 64 由? 解得 S 奇=288, S 偶=352.因此 d= = =8, 8 8 ?S偶∶S奇=22∶18, a9 S偶 11 = = .故选 D. a8 S奇 9

D

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数列与函数转化

以数列中的某个?些?量为未知数,根据数列的公式或概念建立方程?组?求解.

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数列与函数转化

三、数列向函数转化 [ 例 3] (1)(2014· 高考辽宁卷)设等差数列{an}的公差为 d.若数列{2a1an}为 ) B.d<0 D.a1d<0

递减数列,则( A.d>0 C.a1d>0

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数列与函数转化

法一:{an}是等差数列,∴an=a1+(n-1)d,2a1an=2a2 1+a1d(n- 1),设 y
u 2 =2u,u=a2 1+a1d(n-1),由 y=2 为增函数,而 2a1+a1d(n-1)为减函数,

∴u=a2 1+a1d(n-1)为减函数,∴a1d<0.
法二:把 2a1an 看成一个整体 bn,利用递减数列的关系式 bn> bn+ 1 求解. 设 bn=2a1an,则 bn+1=2a1an+1,由于{2a1an}是递减数列,则 bn>bn+ 1,即 2a1an>2a1an+ 1.∵ y=2x 是单调增函数,∴a1an>a1an+ 1,∴ a1an-a1(an+d) >0,∴a1(an-an-d)>0,即 a1(-d)>0,∴a1d<0.

D

解题绝招 系列讲座

数列与函数转化

(2)(2014· 高考江西卷)在等差数列{an}中,a1=7,公差为 d,前 n 项和为 Sn, ? 7? ?-1,- ? 8? . ? 当且仅当 n=8 时 Sn 取得最大值,则 d 的取值范围为____________

先根据条件确定等差数列中特定项的符号,再利用不等式组求解.
?a8>0, 当且仅当 n=8 时,Sn 取得最大值,说明? ?a9<0. ?7+7d>0, 7 ? ∴ ∴-1<d<- . 8 7 + 8 d < 0. ?

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数列与函数转化

根据数列所研究的问题来构造函数用函数性质求解:如函数的单调性→ 数列的单调性;函数的周期性→数列的周期性;函数的最值→数列的最 值.


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