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北师大版数学【选修2-3】练习:2.3 条件概率与独立事件(含答案)


第二章

§3

一、选择题 1.一个电路上装有甲、乙两根保险丝,甲熔断的概率为 0.85,乙熔断的概率为 0.74, 甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立,则两根保险丝都熔断的概率为( A.1 C.0 [答案] B [解析] 事件“两根保险丝都熔断”即事件“甲保险丝熔断”“乙保险丝熔断”同时 B.0.629 D.0.74 或 0.85 )

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发生,依题意得事件“两根保险丝都熔断”的概率为 0.85×0.74=0.629. 2.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子 向上的点数是 3”为事件 B,则事件 A,B 中至少有一件发生的概率是( 5 A. 12 7 C. 12 [答案] C 1 1 [解析] 依题意得 P(A)= , P(B)= , 事件 A, B 中至少有一件发生的概率等于 1-P( A 2 6 1 1 5 7 B )=1-P( A )P( B )=1-(1- )×(1- )=1- = . 2 6 12 12 3.(2014· 哈师大附中高二期中)一盒中装有 5 个产品,其中有 3 个一等品,2 个二等品, 从中不放回地取出产品,每次 1 个,取两次,已知第二次取得一等品的条件下,第一次取得 的是二等品的概率是( 1 A. 2 1 C. 4 [答案] A [解析] 解法 1:设 A=“第一次取到二等品”,B=“第二次取得一等品”,则 AB= 2×3 5×4 P?AB? 1 “第一次取到二等品且第二次取到一等品”,∴P(A|B)= = = . P?B? 2×3+3×2 2 5×4 解法 2:设一等品为 a、b、c,二等品为 A、B, “第二次取到一等品”所含基本事件有(a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b), (A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c)共 12 个,其中第一次取到一等品的基本事 ) 1 B. 3 2 D. 3 1 B. 2 3 D. 4 )

6 1 件共有 6 个,∴所求概率为 P= = . 12 2 二、填空题 1 1 1 4.3 人独立地破译一个密码,每人破译出密码的概率分别为 , , ,则此密码被破译 5 4 3 出的概率为________. [答案] 3 5

1? ? 1? ? 1? 4 3 [解析] 可从对立事件考虑,此密码不被译出的概率是? ?1-5?×?1-4?×?1-3?=5×4 2 2 2 3 × = ,所以此密码被破译出的概率是 1- = . 3 5 5 5 5.若 P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.2,则 P(A|B)=________,P(B|A)=________. [答案] 2 2 3 5

P?AB? 0.2 2 [解析] P(A|B)= = = , P?B? 0.3 3 P(B|A)= P?AB? 0.2 2 = = . P?A? 0.5 5

三、解答题 6.(2014· 陕西理,19)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000 元,此作物的 市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表: 作物产量(kg) 概率 300 0.5 500 0.5

作物市场价格(元/kg) 概率

6 0.4

10 0.6

(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (2)若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 ...2000 元的 概率. [解析] (1)设 A 表示事件“作物产量为 300kg”,B 表示事件“作物市场价格为 6 元 /kg”, 由题设知 P(A)=0.5,P(B)=0.4, ∵利润=产量×市场价格-成本, ∴X 所有可能的取值为 500×10-1000=4000,500×6-1000=2000, 300×10-1000=2000,300×6-1000=800,

- - P(X=4000)=P( A )P( B )=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3, - - P(X=2000)=P( A )P(B)+P(A)P( B )=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5, P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2, 所以 X 的分布列为 X P 4000 0.3 2000 0.5 800 0.2

(2)设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2000 元”(i=1,2,3), 由题意知 C1,C2,C3 相互独立,由(1)知, P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3), 3 季的利润均不少于 2000 元的概率为 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512; 3 季中有 2 季利润不少于 2000 元的概率为 - - - P( C 1C2C3)+P(C1 C 2C3)+P(C1C2 C 3)=3×0.82×0.2=0.384, 所以,这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为 0.512+0.384=0.896.

一、选择题 1 2 1.已知 P(B|A)= ,P(A)= ,则 P(AB)等于( 3 5 5 A. 6 2 C. 15 [答案] C 1 2 [解析] 本题主要考查由条件概率分式变形得到的乘法公式, P(AB)=P(B|A)· P(A)= × 3 5 2 = ,故选 C. 15 1 1 2.假日期间,甲去黄山的概率是 ,乙去黄山的概率是 ,假定两人的行动相互之间没 4 5 有影响,那么在假日期间甲、乙两人至少有一人去黄山的概率是( 3 A. 20 2 C. 5 [答案] C 1 B. 5 9 D. 20 ) 9 B. 10 1 D. 15 )

1 1 [解析] 设甲、乙去黄山分别为事件 A、B,则 P(A)= ,P(B)= ,∴P=1-P( A 4 5 3 4 2 =1- × = . 4 5 5

B)

3.甲、乙两班共有 70 名同学,其中女同学 40 名.设甲班有 30 名同学,而女同学 15 名,则在碰到甲班同学时,正好碰到一名女同学的概率为( 1 A. 2 1 C. 4 [答案] A 3 [解析] 设“碰到甲班同学”为事件 A,“碰到甲班女同学”为事件 B,则 P(A)= , 7 3 1 P?AB? 1 P(AB)= × ,所以 P(B|A)= = ,故选 A. 7 2 P?A? 2 4.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B =“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)=( 1 A. 8 2 C. 5 [答案] B
2 C2 4 C2 1 P?AB? 1 2+C3 2 [解析] ∵P(A)= = ,P(AB)= 2= ,∴P(B|A)= = . 2 C5 10 C5 10 P?A? 4

)

1 B. 3 1 D. 5

) 1 B. 4 1 D. 2

5. 已知每门大炮射击一次击中目标的概率是 0.3, 现用 n 门这样的大炮同时对某一目标 射击一次,若要使目标被击中的概率超过 95%,则 n 的最小整数值为( A.8 C.10 [答案] B [解析] 把每门大炮射击一次看成做了一次试验,击中目标看成试验成功,则试验成功 的概率为 0.3, 用 X 表示这 n 门大炮击中目标的次数. 事件“目标被击中”即{X>0}, 则“目 标被击中”的概率为 P(X>0)=1-P(X=0)=1-(1-0.3)n.为使目标被击中的概率超过 95%, 则有 1-(1-0.3)n>95%,解得 n>8.4.根据实际意义,至少要用 9 门这样的大炮才能使目标被 击中的概率超过 95%,即 n 的最小整数值为 9. 二、填空题 6.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手若能连续正确回答出两 个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8,且每个 问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于 B.9 D.11 )

________. [答案] 0.128 [解析] 由题设,分两类情况:(1)第 1 个正确,第 2 个错误,第 3、4 个正确,由概率 乘法公式得 P1=0.8×0.2×0.8×0.8=0.102 4; (2)第 1、2 个错误,第 3、4 个正确, 此时概率 P2=0.2×0.2×0.8×0.8=0.025 6. 由互斥事件概率公式得 P=P1+P2=0.102 4+0.025 6=0.128. 7. 甲罐中有 5 个红球, 2 个白球和 3 个黑球, 乙罐中有 4 个红球, 3 个白球和 3 个黑球, 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A1,A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球,白球 和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下 列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号). 2 ①P(B)= ; 5 5 ②P(B|A1)= ; 11 ③事件 B 与事件 A1 相互独立; ④A1,A2,A3 是两两互斥的事件; ⑤P(B)的值不能确定,因为它与 A1,A2,A3 中究竟哪一个发生有关. [答案] ②④ 5×5 2×4 3×4 9 [解析] P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)= + + = ,故①⑤错误; 10×11 10×11 10×11 22 5×5 10×11 5 ②P(B|A1)= = ,正确; 1 11 2 ③事件 B 与 A1 的发生有关系,故错误; ④A1,A2,A3 不可能同时发生,是互斥事件. 三、解答题 8.甲、乙两地都位于长江下游,根据一百多年的气象记录,知道甲、乙两地一年中雨 天占的比例分别为 20%和 18%,两地同时下雨的比例为 12%,问: (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少? (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少? [分析] 设 A=“甲地为雨天”,B=“乙为雨天”,则根据题意有 P(A)=0.20,P(B) =0.18,P(A∩B)=0.12.问题(1)为求 P(A|B),(2)为求 P(B|A). [解析] 设 A=“甲地为雨天”,B=“乙地为雨天”,则 (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是

P(A|B)=

P?A∩B? 0.12 = =0.67. 0.18 P?B?

(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是 P(B|A)= P?A∩B? 0.12 = =0.60. 0.20 P?A?

[点评] 要弄清所求事件的概率是在什么条件下的发生的概率,以便正确地运用条件概 率公式. 9.(2014· 北京理,16)李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛互相 独立): 场次 主场 1 主场 2 主场 3 主场 4 主场 5 投篮 次数 22 15 12 23 24 命中 次数 12 12 8 8 20 场次 客场 1 客场 2 客场 3 客场 4 客场 5 投篮 次数 18 13 21 18 25 命中 次数 8 12 7 15 12

(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率; (2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不 超过 0.6 的概率; - (3)记 x 为表中 10 个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记 X 为李明在这 - 场比赛中的命中次数,比较 EX 与 x 的大小.(只需写出结论) [解析] (1)根据投篮统计数据,在 10 场比赛中,李明投篮命中率超过 0.6 的场次有 5 场,分别是主场 2,主场 3,主场 5,客场 2,客场 4. 所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5. (2)设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”, 事件 B 为 “在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”,事件 C 为“在随机选择的一 个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不超过 0.6”. - - 则 C=A B ∪ A B,A,B 独立. 3 2 根据投篮统计数据,P(A)= ,P(B)= , 5 5 - - P(C)=P(A B )+P( A B) 3 3 2 2 = × + × 5 5 5 5 = 13 . 25

所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不 13 超过 0.6 的概率为 . 25 - (3)EX= x . 10.(2012· 全国大纲文,20)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一 方连续发球 2 次后,对方再连续发球 2 次,依次轮换.每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得 1 分的概率为 0.6,各次发球的胜负结果相 互独立.甲、乙在一局比赛中,甲先发球. (1)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (2)求开始第 5 次发球时,甲得分领先的概率. [解析] 记 A1 表示事件:第 1 次和第 2 次这两次发球,甲共得 i 分,i=0,1,2; B1 表示事件:第 3 次和第 4 次这两次发球,甲共得 i 分,i=0,1,2; A 表示事件:第 3 次发球,甲得 1 分; B 表示事件:开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2; C 表示事件:开始第 5 次发球时,甲得分领先. (1)B=A0· A+A1·A , P(A)=0.4,P(A0)=0.42=0.16,P(A1)=2×0.6×0.4=0.48, P(B)=P(A0· A+A1·A ) =P(A0· A)+P(A1·A ) =P(A0)P(A)+P(A1)P( A ) =0.16×0.4+0.48×(1-0.4) =0.352. (2)P(B0)=0.62=0.36, P(B1)=2×0.4×0.6=0.48, P(B2)=0.42=0.16, P(A2)=0.62=0.36. C=A1· B2+A2· B1+A2· B2 P(C)=P(A1· B2+A2· B1+A2· B2) =P(A1· B2)+P(A2· B1)+P(A2· B 2) =P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B2) =0.48×0.16+0.36×0.48+0.36×0.16 =0.307 2.


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