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3.1数系的扩充与复数的概念导学案 文


3.1 数系的扩充与复数的概念 3.1.1 实数系 3.1.2 复数的概念
一、学习目标: 1.了解引进复数的必要性;理解并掌握虚数的单位 i 2.正确对复数进行分类,掌握数集之间的从属关系; 3.掌握复数的有关概念,如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等. 4.理解并掌握复数相等的有关概念 二、教学重点难点: 重点:复数的概念,虚数单位 i ,复数的分类(实数、

虚数、纯虚数)和复数相等等概念是 本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用 难点:虚数单位 i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点. 三、学习过程: (一)复习引入: 数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期,人们在狩猎、采集果实等劳 动中,由于计数的需要,就产生了 1,2,3,4 等数以及表示“没有”的数 0.自然数的全体构 成自然数集 N . 随着生产和科学的发展,数的概念也得到发展,为了解决测量、分配中遇到的将某些量 进行等分的问题,人们引进了分数;为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要, 人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集 Q .如果把自然数集(含正整数和 0)与负整 数集合并在一起,构成整数集 Z .如果把整数看作分母为 1 的分数,那么有理数集实际上就是 分数集. 有些量与量之间的比值,例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果,无法用有 理数表示,为了解决这个矛盾,人们又引进了无理数.所谓无理数,就是无限不循环小数.有 理数集与无理数集合并在一起,构成实数集 R .因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有 限小数),无理数都是无限不循环小数,所以实数集实际上就是小数集. 因生产和科学发展的需要而逐步扩充,数集的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了 在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,

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负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是,数集扩到 实数集 R 以后,像 x 2 ? ?1 这样的方程还是无解的,因为没有一个实数的平方等于 ?1 .由于解 方程的需要,人们引入了一个新数 i ,叫做虚数单位,并由此产生了复数. 复数集的分类:分类要求不重复、不遗漏,同一级分类标准要统一.根据上述原则,复数 集的分类如下:

(二)新课讲授: 1.复数的概念:设 a , b 都是实数,形如 a ? bi 的数叫做复数(complex number),复数通 常用小写字母 z 表示,即 z ? a ? bi(a, b ? R) ,其中 a 叫复数 z 的实部, b 叫复数 z 的虚部,

i 称为虚数单位.全体复数所成的集合叫做复数集(set of complex numbers),用字母 C 表示.
2.虚数单位 :
2 (1)它的平方等于-1,即 i ? ?1 ;

(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立.
2 1 的一个根,方程 x 2 ? - 1的 3. i 与 ?1 的关系: i 就是 ?1 的一个平方根,即方程 x ? -

另一个根是 ? i . 4. i 的周期性: i
4n?1

? i, i 4n?2 ? ?1, i 4n?3 ? ?i, i 4n ? 1

5.复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系:对于复数 ,当且仅当 b ? 0 时,复数

z ? a ? bi(a, b ? R) 是实数 a ;当 b ? 0 时,复数 z ? a ? bi(a, b ? R) 叫做虚数;当 a ? 0 且

b ? 0 时, z ? bi 叫做纯虚数;当且仅当 a ? b ? o 时, z 就是实数 0 .
6.复数集与其它数集之间的关系: N
*

N

Z

Q

R

C
的实部与虚

7. 两个复数相等的定义: 如果两个复数 a ? bi(a, b ? R) 与 c ? di(c, d ? R)

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部分别相等,就说这两个复数相等. 即: a ? bi ? c ? di 的充要条件是 a ? c 且 b ? d . 例如: a ? bi ? 0 的充要条件是 a ? 0 且 b ? 0 . 复数相等的定义是求复数值,在复数集中解方程的重要依据 8.两个复数不能比较大小:两个实数可以比较大小,但两个复数,如果不全是实数,只 有相等与不等关系,不能比较它们的大小.如 3 ? 5i 与 4 ? 3i 不能比较大小. 现有一个命题: “任何两个复数都不能比较大小”对吗?不对 .如果两个复数都是实数, 就可以比较大小 .只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 (三) 典例分析 例 1.①指出下列各数中,哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数,为什么?

2 2 ? 7, 0.618, i, 0, i, i 2 ,5i ? 8,3 ? 9 2i, i(1 ? 3), 2 ? 2i 7

②写出下列复数的实部与虚部,并指出哪些是实数, 哪些是虚数,哪些是纯虚数.

1 4 4, 2 ? 3i, 0, ? ? i,5 ? 2i, 6i 2 3

例 2.实数 m 取什么值时,复数 z ? m(m ? 1) ? (m ? 1)i 是 (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?

(变式引申) :已知 m ? R ,复数 z ?

m(m ? 2) ? (m 2 ? 2m ? 1)i ,当 m 为何值时: m ?1

(1) z ? R ; (2) z 是虚数; (3) z 是纯虚数.

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例 3.已知 ( x ? y) ? ( x ? 2 y)i ? (2 x ? 5) ? (3x ? y)i ,求实数 x, y 的值.

(四)变式训练: 已知复数 z ? k 2 ? 3k ? (k 2 ? 5k ? 6)i (k ? R) ,且 z ? 0 ,求 k 的值 .

(五)课时小结 :这节课我们学习了虚数单位 i 及它的两条性质,复数的定义、实部、虚部及 有关分类问题,复数相等的充要条件等等.基本思想是:利用复数的概念,联系以前学过的实 数的性质,对复数的知识有较完整的认识,以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题.
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四、课后反思

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